Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama - 2001/Sorular
İçindekiler
BİRİNCİ BÖLÜM[düzenle]
[math][/math]
1. Soru[düzenle]
1. Bir $ABC$ üçgeninde iç teğet çemberinin merkezinden geçen ve $BC$ ye paralel olan doğru, $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarını sırasıyla $E$ ve $F$ noktalarında kesiyor. $|AB| = 12$ ve $|AC| = 18$ olduğuna göre, $AEF$ üçgeninin çevresinin uzunluğu nedir?
(a) 20 (b) 24 (c) 28 (d) 30 (e) 32
2. Soru[düzenle]
2. 20 toptan 10 tanesinin üstünde 0 yazılı olup, diğer 10 tanesi de, her birine farklı bir numara düşecek biçimde, 1 den 10 a kadar olan tam sayılar kullanılarak numaralanmıştır. Bu 20 toptan 10 top kaç değişik biçimde seçilebilir?
(a) 1023 (b) 1024 (c) 1847 (d) 2048 (e) Hiçbiri
3. Soru[düzenle]
3. Düzlem üstünde, herhangi üçü doğrudaş olmayan $n$ nokta sırayla ve her yeni nokta seçilişinde oluşan nokta kümesi en az bir doğruya göre simetrik olacak biçimde seçiliyor. $n$ en çok kaç olabilir?
(a) 3 (b) 4 (c) 5 (d) 0 (e) Hiçbiri
4. Soru[düzenle]
4. $ABCD$ yamuğunda $AB \| CD,\ |AB| = 3,\ |BC| = 7,\ |CD| = 11,\ |AD| = 5$ tir. $CD$ ye paralel bir $d$ doğrusu, yamuğu, çevre uzunlukları eşit iki yamuğa ayırıyor. $d$ doğrusunun $[AD]$ kenarını kestiği nokta $E$ ise $\dfrac{|AE|}{|ED|}$ nedir?
(a) $\dfrac15$ (b) 5 (C) 4 (d) $\dfrac14$ (e) 1
5. Soru[düzenle]
5. İçlerinde $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7$ rakamlarının tam olarak birer kez geçtiği 7 basamaklı tam sayıları küçükten büyüğe doğru dizersek, 2001inci sıradaki sayı kaç olur?
(a) 3675421 (b) 3652417 (c) 3542617 (d) 3467512 (6) 3412576
6. Soru[düzenle]
6. $6 + 13 + 20 +\ldots + 1994 + 2001$ ifadesinin başından en az kaç terimi attığımız zaman, kalan terimlerin toplamı 17 ile bölünür?
(a) 8 (b) 10 (C) 12 (d) 14 (e) Hiçbiri
7. Soru[düzenle]
7. İki farklı noktada kesişen $C_1$ ve $C_2$ çemberlerine sırasıyla $A$ ve $B$ noktalarında teğet olan $t_1$ doğrusu ile, çemberlere, yine aynı sıra ile $C$ ve $D$ noktalarında teğet olan $t_2$ doğrusu, $P$ noktasında kesişiyor. $BC$ doğrusu $C_1$ ve $C_2$ çemberlerini ikinci kez sırasıyla $E$ ve $F$ noktalarında kesiyor. $|BP| > |AP| = 18 ,\ |EF| = 1$ ve $|BE| = 4$ ise, $Alan(BPC)/ Alan(APC)$ nedir?
a) $\dfrac{\sqrt6}{2}$ b) $\dfrac32$ c) $\dfrac{2\sqrt3}{3}$ d) $\dfrac43$ e) $\sqrt2$
8. Soru[düzenle]
8. Saat 5 ile 6 arasinda, bir saatin akrep ile yelkovanı iki kez birbirine dik hale gelir. Bu iki an arasindaki süre kaç dakikadır?
(a) 29$\frac12$ (b) 30 (C) 30$\frac12$ (d) 31$\frac34$ (e) 32$\frac{8}{11}$
9. Soru[düzenle]
9. $a^{2000} + b^{2000} + c^{2000} = d^{2001}$ eşitliğini sağlayan kaç $(a,\ b,\ c,\ d)$ pozitif tam sayı sıralı dörtlüsü vardır?
(a) 0 (b) 1 (c) 3 (d) 6 (e) Sonsuz çoklukta
10. Soru[düzenle]
10. Bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üzerinde $D$, $[AO]$ kenarı üzerinde de $E$ noktaları, $\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{DC}{CE}$ olacak şekilde alınıyor. $EDC$ üçgeninde $D$ açısının iç açıortayı $[EC]$ yi $F$ noktasında kesiyor. $|AB| = lAC|$ ve $|AD| = 1$ ise, $|AF|$ nedir?
(a) $\dfrac43$ (b) \sqrt2 (c) 1 (d) $\dfrac54$ e) $\sqrt3$
11. Soru[düzenle]
11. Bir okulda Matematik, Fen Bilgisi ve Sosyal Bilgiler derslerinin her birini 50 öğrenci seviyor. 71 öğrenci bu derslerden sadece birini severken, 35 öğrenci tam olarak ikisini seviyor. Üç dersin hepsini birden seven öğrenci sayısı kaçtır?
(a) 3 (b) 7 (c) 10 (d) 12 (e) Hiçbiri
12. Soru[düzenle]
12. $n(2n - 1)$ sayısının ondalık yazılımının basamakları toplamının 2000 olmasını sağlayan kaç $n$ pozitif tam sayısı vardır?
(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) Sonsuz (e) Hiçbiri çoklukta
13. Soru[düzenle]
13. Bir $ABCD$ dışbükey kirişler dörtgeninin köşegenleri $L$ noktasında, $AD$ ve $BC$ de $K$ noktasında kesişiyor. $|AL| = a,\ |LD| = b$ ve $|DK| = c$ ise, $|BK|$ nedir?
(a) $\dfrac{ab}{c}$ (b) $\dfrac{bc}{a}$ (c) $\dfrac{ac}{b}$ (d) $\dfrac{3ac}{2b}$ (e) $\dfrac{2ab}{3}$
14. Soru[düzenle]
14. $\{1,\ 2,\ldots,\ 127\}$ kümesi, her birinin içindeki elemanların toplamı aynı olan $n$ ayrık altkümenin bileşimi olarak yazılabiliyorsa, $n$ asağıdakilerden hangisi olabilir?
(a) 5 (b) 7 (c) 10 (d) 27 (e) Hiçbiri
15. Soru[düzenle]
15. $1 \leq 71 \leq 100$ ve $2^n + n^5 \equiv 1 \pmod {11}$ koşullarını sağlayan kaç $n$ tam sayısı vardır?
(a) 2 (b) 4 (c) 5 (d) 9 (e) Hiçbiri
16. Soru[düzenle]
16. Yarıçapı 1 olan 0 merkezli bir çember ve $|OA| = 4$ olacak şekilde bir $A$ noktası veriliyor. Çemberin $[OA]$ yi kestiği nokta $B$; $A$ dan çembere çizilen teğetin çembere değme noktası da $C$ ise, $O,\ B$ ve $C$ noktalarından geçen çemberin alanı nedir?
(a) $\dfrac{2\pi}{4}$ (b) $\dfrac{3\pi}{5}$ (c) $\dfrac{\pi}{2}$ d) $\dfrac{\pi}{4}$ (e) $\dfrac{4\pi}{5}$
17. Soru[düzenle]
17. Bir bilgisayar oyununda, $50\text{ cm}\times 50\text{ cm}$ boyutundaki bir ekranda hareket eden bir karınca, ekranı herhangi bir kenardan terkettiğinde, ekrana, karşı kenardan ve aynı hizadan yeniden giriyor. Bu karıncanın, ekranın sol alt köşesinden yatay uzaklığı 10 cm ve dikey uzaklığı 45 cm olan noktadan hareketle, ekranın aynı köşesinden yatay ve dikey uzaklıkları sırasıyla 40 cm ve 15 cm olan noktaya varması için, ekran üstünde en az kaç cm yol katetmesi gerekir?
(a) $5\sqrt{13}$ (b) $10\sqrt{13}$ (c) $20\sqrt2$ (d) $30\sqrt2$ (e) 50
18. Soru[düzenle]
18. $p^q + q^p$ sayısının asal olmasını sağlayan kaç $(p,\ q)$ asal sayı sıralı ikilisi vardır?
(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) Sonsuz çoklukta (e) Hiçbiri
19. Soru[düzenle]
19. Köşeleri bir çember üzerinde bulunan dışbükey $ABCDEF$ altıgeninde $|AB| = |CD| = |EF|$ olup, $AD,\ BE$ ve $CF$ köşegenleri bir noktada kesişiyor. $AD$ ve $CE$ kösegenlerinin kesişme noktası $H$ olmak üzere, $\dfrac{|CH|}{|HE|}=a$ ise $\dfrac{|AC|}{|CE|}$ nedir?
(a) $a^2$ (b) $a$ (c) $\dfrac{1}{a}$ (d) $\sqrt{a}$ e) 1
20. Soru[düzenle]
20. $n \geq 2$ olmak üzere, $\left(1-\dfrac{1}{2^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3^2}\right)\ldots\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)<\dfrac{1001}{2001}$ sağlayan en küçük $n$ tam sayısı kaçtır?
(a) 1999 (b) 2000 (c) 2001 (d) 2002 (e) Hiçbiri
21. Soru[düzenle]
21. Bir ülkede $A,\ B,\ C,\ D,\ E,\ F,\ G,\ H,\ I$ kentlerinden $A$ ile $B$; $A$ ile $F$; $A$ ile $G$; $B$ ile $C$; $C$ ile $D$; $C$ ile $C$; $D$ ile $E$; $D$ ile $H$; $E$ ile $F$; $E$ ile $H$; $E$ ile $I$; $F$ ile $G$; $G$ ile $H$ ve $H$ ile $I$ arasinda karşılıklı uçak seferleri yapılmaktadır. Bunlara yeni iki karşılıklı sefer daha eklendiginde, bir yolcu, bir kentten hareket edip, mevcut seferlerden her birini tam olarak bir yönde kullanarak, yolculuğa başladığı kente geri dönebilir hale geliyor. Yeni konan ek seferler, asağıdakilerden hangisi olabilir?
(a) $B$ ile $H$; $G$ ile $I$; (c) $B$ ile $F$; $F$ ile $I$; (e) $A$ ile $E$; $B$ ile $F$;
(b) $A$ ile $C$; $D$ ile $F$; (d) $A$ ile $E$; $C$ ile $E$;
İKİNCİ BÖLÜM[düzenle]
1. Soru[düzenle]
1. Köşeleri $O$ merkezli bir çember üzerinde bulunan bir $ABCD$ yamuğunun, $[AB]$ ve $[CD]$ kenarları paralel olup, $s(\angle AOD) = 60^\circ$ dir. Bu yamuğun yüksekliği 10 ise, alanı nedir?
2. Soru[düzenle]
2. $N > 1$ tam sayısını, kendisinden küçük pozitif tam sayıların her birine bölüp, bu bölümlerin bıraktığı kalanları topluyoruz. Bu toplam $N$ den küçükse, $N$ nin alabileceği bütün değerleri bulunuz.
3. Soru[düzenle]
3. Her biri en çok 7 kg ağırlığında olan toplam 270 kg karpuzun 11 taşıyıcı tarafından tek seferde taşınması gerekiyor. Her taşıyıcı, bir seferde en çok 30 kg taşıyabiliyorsa, bu taşıma işleminin, tek tek karpuzların ağırlığı ne olursa olsun, yapılabileceğini gösteriniz.
