Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama - 2000/Sorular
İçindekiler
BİRİNCİ BÖLÜM
1. Soru
Alanı $16\sqrt{15}$ olan bir $ABC$ ikizkenar üçgeninde $|AB| = |AC| = 2|BC|$ ise, bu üçgende $B$ den $AC$ doğrusuna indirilen dikmenin ayağının $C$ noktasına uzaklığı nedir?
a) $\sqrt{15}$ b) 4 c) 2 d) $\sqrt5$ e) $\sqrt2$
2. Soru
$(x^2 - 3x +1)^{x+1} = 1$ eşitliğinin kaç tam sayı çözümü vardır?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
3. Soru
Bir kitabin sayfalarını numaralamak için toplam olarak 2933 rakam kullanılmıştır. Bu kitap kaç sayfadır?
a) 1015 b) 1100 c) 1105 d) 1001 e) 1010
4. Soru
Tabanı kare ve yüksekliği, taban köşegeninin yarısına eşit olan bir düzgün piramidin taban köşegeninin uzunluğu 12 ise, yanal alanı nedir?
a) 144 b) $48\sqrt3$ c) $60\sqrt2$ d) 48 e) $72\sqrt3$
5. Soru
\begin{array}{cccc}8 & 1 & 2 & 7\\ 4 & a & b & 1\\ 6 & c & d & 9\\ 6 & 5 & 7 & 3\\ \end{array} dizilisinde $a,\ b,\ c,\ d$ sayılarının her birisi, sağındaki, solundaki, üstündeki, altındaki dört komsusunun aritmetik ortalamasına eşit ise, $ad - bc$ nedir?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
6. Soru
Parantezler yerleştirilerek $1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6$ ifadesinden elde edilebilecek en büyük sayı nedir?
a) 360 b) 80 c) 45 d) 180 e) 720
7. Soru
Kenar uzunlukları $a$ ve $b$ ($a > 6$) olan dikdörtgen biçiminde bir kâğıt, bir köşegeninden bükülerek ikiye katlanıyor ve tek kat kalan kısımlar kesilerek kâğıt tekrar açılıyor. Ortaya çıkan seklin alanı aşağıdakilerden hangisidir?
a) $\dfrac{b}{2a}(a^2+b^2)$ b) $\dfrac{a}{4b}(a^2+b^2)$ c) $\dfrac{a^2+b^2}{2}$ d) $\dfrac{a^2}{\sqrt2b}\sqrt{a^2+b^2}$ e) $\dfrac{b^2}{\sqrt2a}\sqrt{a^2+b^2}$
8. Soru
$10^{999}$ sayısının rastgele seçilmiş bir pozitif böleninin 10100 ün bir tam kati olması olasılığı nedir?
a) $\dfrac{11}{111}$ b) $\dfrac{1}{11}$ c) $\dfrac{9}{10}$ d) $\dfrac{81}{100}$ e) $\dfrac{1}{10}$
9. Soru
$x,\ y,\ z$ pozitif tam sayılar ve $$x+\dfrac{1}{y+\frac{1}{z}}=\dfrac{30}{13}$$ ise, $z^3 - xy$ aşağıdakilerden hangisidir?
10. Soru
Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde $[AD]$ ve $[BE]$ iki yükseklik olmak üzere, $[AB]$ ve $[DE]$ nin orta noktaları $F$ ve $G$ ile gösterildiğinde, $|DE| = 30$ ve $[AB] = 34$ ise, $[FG]$ nedir?
a) 16 b) $10\sqrt2$ c) 8 d) 10 e) $6\sqrt2$
11. Soru
$T(n)$ ile $n$ pozitif tam sayısının rakamlarının toplamı gösterilsin. $T(n) + 3n = 2000$ eşitliğini sağlayan kaç tane üç basamaklı $n$ pozitif tam sayısı vardır?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 3 ten çok
12. Soru
$x_1$ ve $x_2$ sayıları $ax^2 + bx + c = 0$ denkleminin kökleri; $\dfrac{x_1}{x_2}$ ve $\dfrac{x_2}{x_1}$ sayıları da $Ax^2 + Bx +1 = 0$ denkleminin kökleri ise, $B$ nedir?
a) $\dfrac{b^2}{ac}-2$ b) $2-\dfrac{b^2}{c}$ c) $2-\dfrac{b^2}{ac}$ d) $\dfrac{b^2}{c}-2$ e) $2-\dfrac{ab^2}{c}$
13. Soru
Bir $ABCD$ karesinde köşegenlerin kesişim noktası $E$, $BAC$ açısına ait açıortayın $[DB]$ ve $[BC]$ ile kesişim noktaları, sırasıyla $E$ ve $C$ ile gösterildiğinde, $|EF| = \sqrt2$ ise, $|CC|$ nedir?
a) 2 b) 3 c) $\dfrac32\sqrt2$ d) $3\sqrt2$ e) $2\sqrt2$
14. Soru
Kitabinin sayfa numaralarının toplamını bulmak isteyen bir öğrenci bir sayfanın numarasını dalgınlıkla iki kez hesaba katıyor ve sonuçta 2000 buluyor. İki kez hesaba katılan sayfa numarası nedir?
a) 66 b) 67 c) 45 d) 55 e) 47
15. Soru
Bir pozitif tam sayının 9 katinin rakamlarının toplamına bu sayının ”özsayısı” diyelim. Tüm iki basamaklı sayıların özsayılarının toplamı nedir?
a) 2115 b) 1125 c) 1918 d) 1215 e) 1999
16. Soru
Çap uzunluğu 6 olan $[AB]$ çaplı yarım çemberin $[AD]$ ve $[DC]$ kirişlerinin her birinin uzunluğu 2 ise, $[BC]$ kirişinin uzunluğu nedir?
a) $\dfrac{14}{3}$ b) 4 c) $\dfrac72$ d) 3 e) $2\sqrt3$
17. Soru
On iki terimli bir sayı dizisinin ilk terimi 12, son terimi 21 dir. Bu dizinin ardışık numaralı her üç teriminin toplamı 121 ise, sekizinci terimi kaçtır?
a) 91 b) 88 c) 21 d) 12 e) Veriler yetersizdir
18. Soru
Bir kenarının uzunluğu 10 birim olan eşkenar üçgenin kenarlarına eşit aralıklarla paraleller çizilerek her kenar 10 parçaya bölünüp küçük eşkenar üçgenler oluşturuluyor. Kenar uzunluğu 1 birim olan üçgenlerden toplam olarak en az kaç kenar silinmelidir ki, kalan şekilde hiç üçgen bulunmasın?
a) 55 b) 50 c) 45 d) 60 e) 65
19. Soru
Bir $ABCD$ karesinin $A$ köşesinin ve $[AB]$ kenarının orta noktasının, kareyi sadece $D$ noktasında kesen bir $d$ doğrusuna uzaklıkları, sırasıyla 10 ve 22 ise, $C$ noktasının $d$ doğrusuna uzaklığı nedir?
a) 16 b) $10\sqrt3$ c) $15\sqrt2$ d) 24 e) 20
20. Soru
$3^m - 1 = n^3$ denklemini sağlayan kaç $(m,\ n)$ pozitif tam sayı sıralı ikilisi vardır?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 3 ten çok
21. Soru
$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 5,\ 4,\ 3,\ 2,\ 1$ dizisi, her hamlede sadece iki teriminin kendi aralarında yerleri değiştirilerek $x_1,\ x_2,\ldots, x_{11}$ dizisine dönüştürülüyor. $x_1 \leq x_2\leq \ldots\leq x_{11}$ koşulunun sağlanması için en az kaç hamle yapılmalıdır?
a)5 b)6 c)7 d)8 e)9
İKİNCİ BÖLÜM
1. Soru
Bir $ABC$ dik üçgeninin düzleminde ve $BC$ doğrusuna göre $A$ noktasının bulunmadığı tarafta $BDEC$ karesi çiziliyor. $\angle BAC$ dik açısına ait açıortayın $[BC]$ ve $[DE]$ kenarlarıyla kesişim noktaları sırasıyla $F$ ve $G$ ile gösterilmek üzere, $|AB| = 24$ ve $|AC| = 10$ ise, $BDGF$ dörtgeninin alanını hesaplayınız.
2. Soru
Tüm $a_1\,\ a_2,\ldots,\ a_{15}$ pozitif tam sayıları için $$ a_1a_2\ldots a_{15}(a_1^n +a_2^n +\ldots+a_{15})$$ çarpımının 15 ile tam bölünmesini sağlayan en küçük pozitif $n$ tam sayesini bulunuz.
3. Soru
$a$ gerçel bir sayı olmak üzere, bir $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonu her gerçel $x,\ y$ için $$f(x)f(y) - af(xy) = x + y$$ eşitliğini sağlıyor. $a$ nin alabileceği tüm değerleri bulunuz.
