Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama - 2010/Sorular

[math][/math]

1. Soru

1. Bir $ABC$ eşkenar üçgeninin iç bölgesindeki bir $D$ noktası için $m(BAD) = m(ABD) = 5^\circ$ ve dış bölgesindeki bir $E$ noktası için de, $m(C'AE) = m(ACE) = 5^\circ$ ise, $m(EDC)$ kaçtır?

a) $45^\circ$ b) $40^\circ$ C) $35^\circ$ d) $30^\circ$ e) $25^\circ$

2. Soru

2. $y^2 - x^2 = 2y + 7x +4$ eşitliğini sağlayan kaç $(x,\ y)$ pozitif tam sayı ikilisi Vardır?

a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 e) Sonsuz çoklukta

3. Soru

3. $x^2+2y=2xy$ $x^3+x^2y=y^24 denklem sistemini sağlayan kaç $(x,\ y)$ gerçel sayı ikilisi vardır?

a) 3 b) 2 C) 1 d) 0 e) Hiçbiri

4. Soru

4. Rakamlarının faktöriyellerinin toplamı kendisine eşit olan 2010 dan küçük kaç pozitif tam sayı vardır?

a) 5 b) 4 C) 3 d) 2 e) Hiçbiri

5. Soru

5. Dışbükey bir $ABCD$ dörtgeninde, $|AB| = 10,\ |CD| = 3\sqrt6,\ m(ABD) = 60^\circ, m(BDC) = 45^circ,\ |BD| = 13+3\sqrt3$ ise, $|AC|$ kaçtır?

a) 20 b) 18 c) 16 d) 14 e) 12

6. Soru

6. $2011y^2 = 2010x + 3$ eşitliğini sağlayan kaç $(x,\ y)$ tam sayı ikilisi vardır?

a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 e) Sonsuz çoklukta

7. Soru

7. $r$ metre yarıçaplı daire biçiminde bir adacığın merkezinde duran bir kurbağa 1/2 metrelik bir atlayışla başlayıp, her seferinde $90^\circ$ sağa veya sola dönerek bir öncekinin yarısı uzunluğunda bir atlayış yapıyor. Sonlu sayıda atlayışta kurbağanın suya varamamasını sağlayan en küçük $r$ değeri nedir?

a) $\dfrac{\sqrt5}{3}$ b) $\dfrac{\sqrt{13}}{5}$ c) $\dfrac{\sqrt{19}}{6}$ d) $\dfrac1{\sqrt2}$ e) $\dfrac34$

8. Soru

8. İlk 2010 pozitif tam sayının rakamlarının toplamı kaçtır?

a) 30516 b) 28068 C) 25020 d) 20100 e) Hiçbiri

9. Soru

9. Bir $ABCD$ karesinin dışındaki bir $E$ noktasının $AC$ doğrusuna uzaklığı 6, $BD$ doğrusuna uzaklığı da 17 birimdir. $E$ noktasının karenin en yakın köşesine uzaklığı 10 birim ise, karenin alanı nedir?

a) 200 b) 196 e) 169 d) 162 e) 144

10. Soru

10. $0 \leq n < 840$ koşulunu sağlayan kaç tam sayı için, $n^8 - n^4 + n - 1$ sayısı 840 ile bölünür?

a)1 b)2 c)3 d)6 e)8

11. Soru

11. $xy$-düzleminde $(\sqrt{ 20},\ \sqrt{10})$ merkezli bir çemberin üstünde koordinatları tam sayı olan en çok kaç tane nokta bulunabilir?

a) 8 b) 4 C) 2 d) 1 e) Hiçbiri

12. Soru

12. $0 \leq a,\ b,\ c,\ d < 7$ olmak üzere, 7 nin $ab - cd$ yi bölmesini sağlayan kaç $(a,\ b,\ c,\ d)$ tam sayı dörtlüsü vardır?

a) 412 b) 385 C) 294 d) 252 e) Hiçbiri

13. Soru

13. $|AB| = |AC|$ ve $m(BAC)= 40^\circ$ olan bir $ABC$ üçgeninin $[AB]$ ve $[AC]$ kenarları üstünde sırasıyla, $D$ ve $E$ noktaları alınıyor. $BC$ doğrusu üstünde de $C$ noktası, $B$ ile $F$ arasında kalacak biçimde bir $F$ noktası alınıyor. $|BE| = |CF|,\ |AD| = |AE|$ ve $m(BEC) = 60^\circ$ ise, $m(DBF)$ kaçtır?

a) $45^\circ$ b) $40^\circ$ C) $35^\circ$ d) $30^\circ$ e) $25^\circ$

14. Soru

14. Gerçel sayı doğrusu üstünde 0 noktasından başlayarak, her adımda doğru boyunca istediği yönde 364 veya 715 birim sıçrayan bir çekirgenin konduğu noktaların 2010 noktasına uzaklığı en az ne kadar olabilir?

a) 5 b) 8 C) 18 d) 34 e) 164

15. Soru

15. $x,\ y,\ z$ gerçel sayıları, $\dfrac{xyz}{x+y}= -1,\ \dfrac{xyz}{y+z}= 1$ ve $\dfrac{xyz}{z+x}= 2$ eşitliklerini sağlıyorsa, $xyz$ aşağıdaki değerlerden hangisini alabilir?

a) $-\dfrac8{\sqrt{15}}$ b) $-\dfrac8{\sqrt{5}}$ c) $-8\sqrt{\dfrac35$ d) $-\dfrac7{\sqrt{15}}$ e)Hiçbiri

16. Soru

16. 11 farklı kitap üç raflı bir kitaplığa, en çok bir raf boş kalacak biçimde kaç farklı şekilde yerleştirilebilir?

a) $75\cdot 11!$ b) $62 \cdot 11!$ c) $68\cdot 12!$ d) $12\cdot 13!$ e) $6\cdot 13!$

17. Soru

17. Uzayda yer alan $A,\ B,\ C,\ D$ noktaları için, $|AB| = |AC| = 3, |DB| = |DC| = 5,\ |AD| = 6$ ve $|BC| = 2$ dir. $BC$ doğrusunun $D$ noktasına en yakın noktası $P$ ve $ABC$ üçgeninin bulunduğu düzlemin $D$ noktasına en yakın noktası da $Q$ ise, $|PQ|$ kaçtır?

a) $\dfrac{1}{\sqrt2}$ b) $\dfrac{3\sqrt7}{2}$ c) $\dfrac{57}{2\sqrt{11}}$

d) $\dfrac{9}{2\sqrt2}$ e) $2\sqrt2$

18. Soru

18. 1000 elemanlı bir kümenin 500 elemanlı alt kümelerinin sayısı aşağıdaki sayılardan hangisine bölünmez?

a) 3 b) 5 c) 11 d) 13 e) 17

19. Soru

19. $x^5 - 2x^2 - 9x - 6$ polinomunun farklı gerçel köklerinin toplamı nedir?

a) 0 b) 1 c) -2 d) 6 e) -17

20. Soru

20. 0 sayısı ile başlanıp, her adımda bir önceki sayının 1 fazlası veya 2 katı alınarak, aşağıdaki sayılardan hangisini en az sayıda adımda elde edilir?

a) 2011 b) 2010 e) 2009 d) 2008 e) 2007

21. Soru

21. Merkezleri aynı ve yarıçapları 10 ve 20 birim olan iki düzlemdeş daireyi sırasıyla taban kabul eden, herbiri 20 birim yüksekliğinde bir dik silindir Ve bir dik koni düzlemin aynı tarafında kalacak biçimde alınıyor. Koninin silindirin içinde kalan kısmının hacminin, silindirin dışında kalan kısmının hacmine oranı nedir?

a) 3 b) 2 c) $\dfrac53$ d) $\dfrac43$ e) 1

22. Soru

22. $\dfrac{x}{y+7} + \dfrac{y}{x+7} = 1$ eşitliğini sağlayan kaç $(x,\ y)$ tam sayı ikilisi vardır?

a) 18 b) 17 c) 15 d) 14 e) 11

23. Soru

23. $1 \leq n \leq 2010$ koşulunu sağlayan kaç tane $n$ tam sayısı için $1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 +\ldots + (2n - 1)^2 - (2n)^2$ sayısı 2010 ile bölünür?

a) 9 b)8 c)7 d)6 e)5

24. Soru

24. On tabanına göre tersten yazılımı ile kendisi aynı olup 11 ile bölünen kaç tane yedi basamaklı pozitif tam sayı vardır?

a) 900 b) 854 c) 818 d) 726 e) Hiçbiri

25. Soru

25.$m(BAC) = 90^\circ,\ |AB| = 1$ ve $|AC| = \sqrt2$ olan bir $ABC$ üçgeniyle aynı düzlemde yer alan $P$ ve $Q$ noktaları, $|PB| = 1 = |QB|,\ |PC| = 2 = |QC|$ ve $|PA| > |QA|$ koşullarını sağlıyorsa, $|PA|/|QA|$ nedir?

a) $\sqrt2 +\sqrt3$ b) $5-\sqrt6$ c) $\sqrt6-\sqrt2 d) $\sqrt6+1$ e) Hiçbiri

26. Soru

26. $m$ nin aşağıdaki değerlerinden hangisi için $3x^2 +4y^2 -5z^2 = m$ eşitliğini sağlayan $(x,\ y,\ z)$ pozitif tam sayı üçlüsü yoktur?

a) 16 b) 14 C) 12 d) 10 e) 8

27. Soru

27. Katsayılarının her biri 1 veya -1 ve tüm kökleri gerçel sayılar olan bir polinomun derecesi en çok kaç olabilir?

a) 5 b) 4 C) 3 d) 2 e) Hiçbiri

28. Soru

28. 2010 kişinin yaşadığı bir köyde her ikisi de aynı arkadaş sayısına sahip olan bir tek ikili varsa, bu sayı kaç farklı değer alabilir?

a) 1 b) 2 C) 3 d) 4 e) Hiçbiri

29. Soru

29. Bir $ABC$ üçgeninin iç açıortaylarının kesişme noktası $I$ ve $[AC]$ kenarına teğet olan dış teğet çemberinin merkezi de $O$ noktasıdır. $|BI| = 12,\ |IO| = 18$ ve $|BC| = 15$ ise, $|AB|$ kaçtır?

a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 e) 24

30. Soru

30. $N = [\![\dfrac25]\!]+[\![\dfrac{2^2}5]\!]+\ldots [\![\dfrac{2^{2009}5]\!]$ ise, $2^{2010}$ un $N$ ile bölümünden kalan nedir?

a) 5034 b) 5032 c) 5031 d) 5028 e) 5024

31. Soru

31. Aşağıdaki $(A,\ B)$ ikililerinden hangisi için

$$x^2+xy+y=A$$ $$\dfrac{y}{y-x}=B$$

denklem sisteminin gerçel çözümü yoktur?

a) $(1/2,\ 2)$ b) $(-1,\ 1)$ C) $(\sqrt2,\ \sqrt2)$ d) $(1, 1/2)$ e) $(2,\ 2/3)$

32. Soru

32. 1001 kişilik bir okulda herhangi üç öğrenciden en az ikisi arkadaştır. Bu okulda en çok arkadaşa sahip olan öğrencilerden birinin arkadaş sayısı, 334, 412, 450, 499 değerlerinden kaçını alabilir?

a) 4 b) 3 C) 2 d) 1 e) Hiçbiri

33. Soru

33. $m(ABC)= 90^\circ$ ve $|AC| = 10$ olan bir $ABC$ üçgeninde $[AC]$ kenarının orta noktası $D$ olmak üzere, $[AD]$ ve $[BD]$ nin orta dikmeleri $E$ noktasında, $[BD]$ Ve $[CD]$ nin orta dikmeleri de $F$ noktasında kesişiyor. $|EF| = 13$ ise, $|AB|$ aşağıdaki değerlerden hangisini alabilir?

a) $20\sqrt{\dfrac2{13}} b) $15\sqrt{\dfrac2{13}} c) $10\sqrt{\dfrac2{13}} d) $5\sqrt{\dfrac2{13}} e)Hiçbiri

34. Soru

34. Aşağıdaki sayılardan hangisi $2^{2^{2010}} + 2^{2^{2009}} + 1$ sayısını böler?

a) 19 b) 17 c) 13 d) 11 e) Hiçbiri

35. Soru

35. Aşağıdaki ifadelerden hangisi, $0 < x < 1$ ve $0 < y < 1$ koşullarını sağlayan tüm $x,\ y$ gerçel sayıları için $x^3 + y^5$ ten küçük değildir?

a) $x^2y$ b) $x^2y^2 C) $x^2y^3 d) $x^3y$ e) $xy^4$

36. Soru

36. Başlangıçta $71 \times 71$ bir satranç tahtasının yalnızca sol alt köşesinde bir taş bulunuyor. Oyuncular sırayla hamle yaparak, her hamlede taşı bulunduğu karenin hemen sağındaki, hemen üstündeki veya hemen sağ üst çaprazındaki kareye kaydırıyorlar. Hamle yapamayan oyuncu oyunu kaybediyor. Oyun, $6 \times 7,\ 6 \times 8,\ 7 \times 7,\ 7 \times 8$ ve $8 \times 8$ tahtalarda birer kez oynanırsa, bu oyunlardan kaçını ilk hamleyi yapan oyuncu kazanmayı garanti edebilir?

a) 1 b) 2 C) 3 d) 4 e) Hiçbiri