Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama - 2009/Sorular

[math][/math]

1. Soru

$ABCD$ karesinin $[BC]$ kenarı üstünde bir $E$ noktası ve $[ED]$ üstünde bir $F$ noktası için, $|DF| = |BF|$ ve $|EF| = |BE|$ ise, $m(DFA)$ nedir?

a) $45^\circ$ b) $60^\circ$ C) $75^\circ$ d) $80^\circ$ e) $85^\circ$

2. Soru

$a^2 + b^4 = 5^n$ eşitliğini sağlayan kaç $(a,\ b,\ n)$ pozitif tam sayı üçlüsü vardır?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Sonsuz çoklukta

3. Soru

$x = \sqrt[3]{11+\sqrt{337}}+\sqrt[3]{11-\sqrt{337}}$ olduğuna göre, $x^3 + 18x$ kaçtır?

a) 24 b) 22 C) 20 d) 11 e) 10

4. Soru

Biri 5, diğeri 7 ile bölünebilen iki bileşik pozitif tam sayının toplamı şeklinde yazılamayan en büyük tam sayı kaçtır?

a) 82 b) 47 C) 45 d) 42 e) Hiçbiri

5. Soru

Bir dik üçgenin hipotenüse ait dış teğet çemberinin yarıçapı 30 ise, bu üçgenin çevresinin uzunlugu kaçtır?

a) 40 b) 45 C) 50 d) 60 e) 75

6. Soru

$a^2b + ab^2 = 2009201020092010$ eşitliğini sağlayan kaç (a,\ b)$ tam sayı ikilisi vardır?

a) 4 b) 2 c) 1 d) 0 e) Hiçbiri

7. Soru

$x^4 + 2x^3 - 8x^2 - 6x + 15$ ve $x^3 + 4x^2 - x - 10$ polinomlarının ortak olmayan gerçel köklerinin çarğımı kaçtır?

a) -4 b) 4 c) -6 d) 6 e) Hiçbiri

8. Soru

$\{1,\ 2,\ \ldots,\ n\}$ kümesi iki altkümeye nasıl ayrılırsa ayrılsın, altkümelerden en az birindeki iki farklı elemanın toplamı bir tam kare oluyorsa, $n$ en az kaçtır?

a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17

9. Soru

Dışbükey bir $ABCD$ dörtgeninin köşegenlerinin kesişim noktası $E$ olmak üzere, $AEB$ , $BEC$, $CED$ ve $DEA$ üçgenlerinin çevre uzunlukları birbirlerine eşittir. $AEB$, $BEC$ ve $CED$ üçgenlerinin içteget çemberlerinin yarıçapları sırasıyla, 3, 4 ve 6 ise, $DEA$ üçgeninin içteğet çemberinin yarıçapı kaçtır?

a) $\dfrac92$ b) $\dfrac72$ c) $\dfrac{13}3$ d) 15 e) Hiçbiri

10. Soru

$n$ tam sayısının kaç farklı değeri için $n^4 + 4n^3 + 3n^2 - 2n + 7$ sayısı asaldır?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Sonsuz çoklukta

11. Soru

Her $n$ pozitif tam sayısı için, $a_n \neq 0$ ve $a_na_{n+3} = a_{n+2}a_{n+5$ koşullarını sağlayan bir $\left(a_n\right)_{n=1}^\infty$ gerçel sayı dizisinde $a_1a_2 + a_3a_4 + a_5a_6 = 6$ ise, $a_1a_2 + a_3a_4 + \ldots + a_{41}a_{42}$ toplamı kaçtır?

a) 21 b) 42 c) 63 d) 882 e) Hiçbiri

12. Soru

Tam olarak yedi farklı rakamın kullanıldığı kaç tane sekiz basamaklı sayı vardır?

a) $\choose{9 3}^2 \cdot 6! \cdot 3$ b) $\choose{8 3}^2 \cdot 7!$ c) $\choose{7 3}^2 \cdot 7!$ e) $\choose{9 4}^2 \cdot 6! \cdot 8$

13. Soru

$AB/|CD$ ve $ < 90^\circ olan ABCD yamuğunda, $|AB| = 5,\ |CD| = 3$ ve $|AC| = 15$ ise, $|BD|$ nin alabileceği farklı tam sayı değerlerin toplamı nedir?

a) 101 b) 108 C) 115 d) 125 e) Hiçbiri

14. Soru

Kaç $(m,\ n)$ pozitif tam sayı ikilisi için, $2008 \cdot 2009 \cdot 2010$ sayısı $mn$ ile bölünür?

a) $2\cdot 37\cdot 5$ b) $2^5\cdot 3\cdot 5$ c) $2^5\cdot 3^7\cdot 5$ d) $2^3\cdot 3^5\cdot 5^2$ e)Hiçbiri

15. Soru

$|x| + |y| = 13$ eşitliğini sağlayan $(x,\ y)$ gerçel sayı ikilileri için, $x^2 + 7x - 3y + y^2$ ifadesi aşağıdaki değerlerden hangisini alamaz?

a) 208 b) $15\sqrt2$ c) $\dfrac{35}{2}$ ) 37 e) Hiçbiri

16. Soru

$x + 19y \equiv 0 pmod {23}$ ve $x + y < 69$ koşularını saylayan kaç $(x,\ y)$ pozitif tam sayı ikilisi vardır?

a) 100 b) 102 C) 105 d) 109 e) Hiçbiri

17. Soru

$ABC$ eşkenar üçgeninin iç bölgesindeki bir $D$ noktası, $|AD| = 8,\ |BD| = 13$ ve $m(ADC) = 120^\circ$ koşularını sağlıyorsa $|DC|$ kaçtır?

a) 12 b) 13 C) 14 d) 15 e) 16

18. Soru

$1 \leq n \leq 455$ ve $n^3 \equiv 1 \pmod {455}$ koşullarını sağlayan kaç $n$ tam sayısı vardır?

a) 9 b) 6 C) 3 d) 1 e) Hiçbiri

19. Soru

$a$ bir gerçel sayı; $x_1$ ve $x_2$, $x^2 + ax + 2 = x$ denkleminin farklı iki kökü $x_3$ ve $x_4$ de, $(x - a)^2 + a(x - a) + 2 = x$ denkleminin farklı iki kökü olmak üzere, $x_3 - x_1 = 3(x_4 - x_2)$ ise, $x_4 - x_2$ nedir?

a) $\dfrac{a}{2}$ b) $\dfrac{a}{3}$ c) $\dfrac{2a}{3}$ d) $\dfrac{3a}{2}$ e) Hiçbiri

20. Soru

İlk rakamı tek olup, çift rakam geçen basamaklarının sayısı çift olan beş basamaklı pozitif tam sayıların sayısı $A$ ve ilk rakamı çift olup çift rakam geçen basamaklarının sayısı çift olan beş basamaklı pozitif tam sayıların sayısı B ise, A - B kaçtır?

a) 5000 b) 4640 C) 3200 d) 0 e) Hiçbiri

21. Soru

$ABC$ üçgeninde $|AB| = |AC|$ ve $m(BAC)= 80^\circ$ dir. $ABC$ üçgeninin iç bölgesindeki bir $E$ noktası, $|AE| = |EC|$ ve $m(EAC) = 10^\circ$ koşullarını sağlıyorsa, $m(EBC)$ nedir?

a) $10^\circ$ b) $15^\circ$ C) $20^\circ$ d) $25^\circ$ e) $30^\circ$

22. Soru

Her $n \geq 0$ için, $a_{n+1} = a_n^3 + a_n^2 koşulunu saylayan bir $\left(a_n\right)_{n=0}^\infty$ tam sayı dizisinin terimlerinin 11 e bölümünden kalanların oluşturduğu kümenin en çok kaç elemanu vardır?

a) 2 b) 3 C) 4 d) 5 e) 6

23. Soru

$x$ bir gerçel sayı olmak üzere, $x(x+4) (x+8) (x+ 12)$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

a) -240 b) -252 C) -256 d) -260 e) -280

24. Soru

$xy$-düzlemine, $m$ mavi ve $k$ kırmızı dikdörtgen, kenarları eksenlere paralel olacak, eksenlerden herhangi birine paralel olan hiçbir doğru aynı renkte birden fazla dikdörtgeni kesmeyecek ve farklı renkte hangi iki dikdörtgen alınırsa alınsın, yalnızca bunları kesen ve eksenlerden birine paralel olan bir doğru bulunacak biçimde yerleştirilmişse, $(m,\ k)$ tam sayı ikilisi aşağıdakilerden hangisi olamaz?

a) $(1,\ 7)$ b) $(2,\ 6)$ c) $(3,\ 4)$ d) $(3,\ 3)$ e) Hiçbiri

25. Soru

$ABC$ üçgeninin iç teğet çemberi, $BC$, $AC$ ve $AB$ kenarlarına sırasıyla, $A_1$, $B_1$ ve $C_1$ noktalarında teğettir. $AA_1$ doğrusu, iç teget çemberi ikinci kez $Q$ noktasında kesiyor. $A_1C_1$ ve $A_1B_1$ doğruları, $A$ noktasından geçen ve $BC$ ye paralel olan doğruyu sırasıyla, $P$ ve $R$ noktalarında kesiyor. $m(PQC_1) = 45^\circ$ ve $m(RQB_1) = 65^\circ$ ise, $m(PQR)$ nedir?

a) $110^\circ$ b) $115^\circ$ C) $120^\circ$ d) $125^\circ$ e) $130^\circ$

26. Soru

Her $0\leq i \leq 17$ için, $a_i$ sayısı, $-1$, 0 veya 1 olmak üzere, $$a_0 + 2a_1 + 2^2a_2 + \ldots + 2^{17}a_{17} = 2^{10}$$ eşitliğini sağlayan kaç(a_0,\ a_1,\ \ldots,\ a_{17})$ on sekizlisi vardır?

a) 9 b) 8 C) 7 d) 4 e) 1

27. Soru

$f(x)=\dfrac{x^5}{5x^4-10x^3+10x^2-5x+1} ve, $1\leq i\leq 2009$ için, $x_i=\dfrac{i}{2009}$ ise, f(x_1) + f(x_2) + \ldots + f(x_{2009})$ toplamı kaçtır?

a) 1000 b) 1005 C) 1010 d) 2009 e) 2010

28. Soru

Tüm tam sayılar kümesi, farkları asal bir sayıya eşit olan herhangi iki tam sayı aynı altkümeye düşmeyecek biçimde, $n$ altkümeye ayırılabiliyorsa, $n$ en az kaçtır?

a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) Hiçbiri

29. Soru

$ABCD$ kirişler dörtgeninin $[AC]$ ve $[BD]$ köşegenleri, $P$ noktasında kesişiyor. $APB$ ve $CPD$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin merkezleri, $ABCD$ dörtgeninin çevrel çemberi üstünde ve $|AC| + |BD| = 18$ ise, $ABCD$ dörtgeninin alanı nedir?

a) 36 b) $\dfrac{81}{2}$ c) $\dfrac{36\sqrt3}{2}$ d) $\dfrac{81\sqrt3}{4}$ e) Hiçbiri

30. Soru

$11^2 + 13^2 + 17^2,\ 24^2 + 25^2 + 26^2,\ 12^2 + 24^2 + 36^2,\ 11^2 + 12^2 + 132^2$ sayılarından kaçı bir tam sayının karesine eşittir?

a) 4 b) 3 C) 2 d) 1 e) 0

31. Soru

$|x^3 + 3x^2 - 33x - 3| \geq 2x^2$ eşitsizliğini, $|x|\geq n$ koşulunu sağlayan her $x$ gerçel sayısı için doğru kılan $n$ tam sayısının alabileceği en küçük değer nedir?

a) 9 b) 8 C) 7 d) 6 e) 5

32. Soru

Her biri dört elemanlı $n$ kümeden, hangi farklı ikisini alırsak alalım, bu iki kümeden yalnızca birine ait olan tüm elemanlardan oluşan küme, baslangıçtaki $n$ kümeden birine eşitse, $n$ en çok kaçtır?

a) 3 b) 5 c) 7 d) 15 e) Hiçbiri

33. Soru

$ABC$ üçgeninin $[AL]$ ve $[BM]$ kenarortayları $K$ noktasında kesişiyor. $C,\ K,\ L,\ M$ noktaları çembersel ve $|AB| =\sqrt3$ ise, $[CN]$ kenarortayının uzunlugu nedir?

a) 1 b) $\sqrt3$ c) $\dfrac{3\sqrt3}{2}$ d) 3 e) Hiçbiri

34. Soru

$x$ ve $y$ farklı pozitif tam sayılar olmak üzere, $(x + y^2)(x^2 -y)/(xy)$ ifadesinin alabileceği en küçük pozitif tam sayı değer nedir?

a) 3 b) 8 C) 14 d) 15 e) 17

35. Soru

Her $n \geq 2$ için, $a_n = \sqrt[3]{n^3+n^2-n-1}/n$ ise, $n_2n_3\ldots a_k > 3$ eşitsizliğinin sağlanması için $k$ pozitif tam sayısının en az kaç olması gerekir?

a) 100 b) 102 C) 104 d) 106 e) Hiçbiri

36. Soru

Yüz kenti olan bir ülkedeki bazı kentler arasında yapılan tek yönlü uçak seferleri, başkentten başlayıp, ülkedeki her kentten en az bir kez geçerek, yeniden başkente dönmeyi mümkün kılan en az bir sefer dizisi bulunacak biçimde düzenlenmiştir. Böyle bir düzenlemede, bu şekildeki uçak seferi dizilerinden sefer sayısı en az olanın sefer sayısı, bütün bu tür düzenlemeler arasında en çok kaç olabilir?

a) 1850 b) 2100 C) 2550 d) 3060 e) Hiçbiri