Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama - 2008/Sorular

[math][/math]

1. Soru

1. $ABC$ üçgeninde, $AD$ kenarortay olmak üzere, $m(ADB)= 45^\circ$ ve $m(ACB) = 30^\circ$ ise $ABC$ açısı kaç derecedir?

a) 75 b) 90 c) 105 d) 120 e) 135

2. Soru

2. $3m^2n = n^3 + A$ denkleminin doğal sayılarda aşağıdaki $A$ değerlerinden hangisi için çözümü vardır?

a) 301 b) 403 c) 415 d) 427 e) 481

3. Soru

3. $P(x) = 1 - x +x^2 - x^3\ldots + x^{18} - x^{19} polinomu verilsin. $Q(x) = P(x - 1)$ şeklinde tanımlanan Q polinomunda $x^2$ nin katsayısı kaçtır?

a) 840 b) 816 c) 969 d) 1020 e) 1140

4. Soru

4. YARIŞMA sözcüğünün harfleriyle, her harf bu Sözcükte olduğu sayıda kullanılmak üzere, anlamlı veya anlamsız, iki kelimeden oluşan kaç Cümle yazılabilir?

a) 2520 b) 5040 e) 15120 d) 20160 e) Hiçbiri

5. Soru

5. Bir üçgenin kenarları $a,\ b,\ c$ olsun, eğer $a^2,\ b^2,\ c^2$ uzunluğundaki doğru parçaları bir üçgen oluşturuyorsa bu üçgene iyi üçgen diyoruz. Aşağıda açıları verilen üçgenlerden kaç tanesi iyi üçgendir?

(i) $40^\circ,\ 60^\circ,\ 80^\circ$ (ii) $10^\circ,\ 10^\circ,\ 160^\circ$ (iii) $110^\circ,\ 35^\circ,\ 35^\circ$ (iv) $50^^\circ,\ 30^\circ,\ 100^\circ$ (v) $90^\circ,\ 40^\circ,\ 50^\circ$ (vi) $80^\circ, 20^\circ, 80^\circ$

a)1 b)2 c)3 d)4 e)5

6. Soru

6. Eğer $n$ pozitif tamsayısına bölünen her tamsayı, basamaklarının yerleri nasıl değiştirilirse değiştirilsin yine n ye bölünüyorsa, n ye ”iyi” sayı diyelim. Kaç iyi sayı vardır?

a) 3 b) 4 c) 6 d) 12 e) Sonsuz Sayıda

7. Soru

7. $a = \sqrt[3]{9} - \sqrt[3]3 + 1$ olduğuna göre, $(\dfrac{4-a}{a})^6$ ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

a) 3 b) 6 c) 8 d) 9 e) 12

8. Soru

8. $10 \times 10$ bir satranç tahtasının birinci satırının karelerine sırasıyla $0,\ 1,\ 2,\ \ldots ,\ 9$, ikinci satırının karelerine sırasıyla $10,\ 11,\ \ldots,\ 19,\ \ldots,$ onuncu satırının karelerine sırasıyla $90,\ 91,\ \ldots,\ 99$ sayıları yazılmıştır. Sayıların bazılarının önüne, her satır ve her sütunda tam olarak beş tane olacak şekilde eksi işaretleri ekleyerek tüm sayıların toplamı en az kaç yapılabilir?

a) -10 b) -2 c) 2 d) 10 e) Hiçbiri

9. Soru

9. $ABCD$ karesinin dışında bir $E$ noktası verilmiştir. $m(BEC)= 90^\circ,\ F \in $[GE],\ $[AF] \perp [GE],\ |AB| = 25$ ve $|BE| = 7$ olduğuna göre $|AF|$ kaç birimdir?

a) 29 b) 30 c) 31 d) 32 e) 33

10. Soru

10. $\sqrt{xy} - 71\sqrt{x} + 30 = 0$ denkleminin pozitif tamsayılarda kaç tane $(x,\ y)$ çözüm ikilisi Vardır?

a) 8 b) 18 c) 72 d) 2130 e) Sonsuz Sayıda

11. Soru

11. Bir $(a_n)$ dizisi $a_1 = 1,\ a_2 = 5$ ve her $n \geq 2$ için $a_{n+1} - 2a_n + a_{n-1} = 7$ şeklinde tanımlanmaktadır. Buna göre $a_{17}$ kaçtır?

a) 895 b) 900 c) 905 d) 910 e) Hiçbiri

12. Soru

12. Yedi renk kullanılarak her yüzeyi farklı bir renge boyanmış kaç küp oluşturulabilir?

a) 154 b) 203 c) 210 d) 240 e) Hiçbiri

13. Soru

13. $C$ açısı geniş açı olan $ABC$ üçgeninde $D \in [AB]$ ve $[DC] \perp [BC]$ dir. $m(ABC) = \alpha,\ m(BCA) = 3\alpha$ ve $|AC| - |AD| = 10$ olduğuna göre $|BD|$ kaç birimdir?

a) 10 b) 14 c) 18 d) 20 e) 22

14. Soru

14. 49^{303}\cdot 3993^{202} \cdot 39^{606} sayısının son üç rakamı nedir?

a) 001 b) 081 c) 561 d) 721 e) 961

15. Soru

15. $a_1=\dfrac13$ ve her $n \geq 1$ için $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{\sqrt{1+13a_n^2}}$ şeklinde tanımlanan $(a_n)$ dizisinin $a_k < \dfrac{1}{50}$ koşulunu sağlayan en büyük terimi $a_k$ ise $k$ kaçtır?

a) 194 b) 193 c) 192 d) 191 e) Hiçbiri

16. Soru

16. 50 kişilik bir sınıfta yapılan 4 soruluk bir sınavda, herhangi 40 kişiden en az 1 kişi tam olarak 3 soruyu, en az 2 kişi tam olarak 2 soruyu, en az 3 kişi tam olarak 1 soruyu doğru, en az 4 kişi ise bütün soruları yanlış çözmüştür. Tek sayıda soru çözen öğrencilerin sayısı en az kaçtır?

a) 18 b) 24 c) 26 d) 23 e) Hiçbiri

17. Soru

17. $B$ açısı dik olan $ABC$ üçgeninin $A$ ve $C$ köşeleri, $B$ merkezli 20 birim yarıçaplı çeyrek çemberin üzerindedirler. Bu çeyrek çemberin iç bölgesine $[AB]$ çaplı bir yarım çember çizilmiştir. $C$ noktasından yarım çembere çizilen teğetin değme noktası $B$ den farklı bir $D$ noktası ve $CD$ doğrusunun çeyrek çemberi kestiği nokta $F$ dir. Buna göre $|FD|$ kaç birimdir?

a) 1 b) $\dfrac52$ c) 3 d) 4 e) 5

18. Soru

18. Kaç tane $n$ pozitif tamsayısı için $\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}}$ tamsayıdır?

a) 1 b) 2 c) 3 d) Sonsuz e) Hiçbiri

19. Soru

19. $f : (0,\ \infty) \Rightarrow (0, \infty)$ fonksiyonu her $x,\ y \in (0, \infty)$ için $$10\cdot \dfrac{x+y}{xy}= f(x)\cdot f(y)-f(xy)-90$$ denklemini sağlıyorsa $f(\dfrac{1}{11})$ kaçtır?

a) 1 b) 11 c) 21 d) 31 e) Tek türlü bulunamaz

20. Soru

20. $a_1,\ a_2,\ a_3,\ \ldots a_{2008}$ tam sayılarından her biri en az 1 en çok ise 5 tir. $(a_n,\ a_{n+1})$ ikilisine, $a_n < a_{n+1}$ ise artan ikili, $a_n > a_{n+1}$ ise azalan ikili diyelim. Dizideki artan ikili sayısı 103 tane ise azalan ikili sayısı en az kaçtır?

a) 21 b) 24 c) 36 d) 102 e)Hiçbiri

21. Soru

21. $ABC$ dik üçgeninde $m(A) = 90^\circ$ olsun. $P \in [AC],\ Q \in [BC],\ R \in [AB]$ olacak şekildeki $APQR$ karesinin alanı $9,\ N,\ K \in [BC],\ M \in [AB]$ ve $L \in [AC]$ olacak şekildeki $KLMN$ karesinin alanı da 8 ise $|AB| + |AC|$ kaçtır?

a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16

22. Soru

22. Kaç $a \geq b$ şartını sağlayan $(a,\ b)$ pozitif tamsayı ikilisi için $a^2 + b^2$ ifadesi $a^3 + b$ ve $a + b^3$ ifadelerini böler?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) Sonsuz Sayıda

23. Soru

23. $a,\ b,\ c,\ d$ gerçel sayıları $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 - ab - bc - cd - d+ \dfrac25 = 0$ eşitliğini sağlıyorsa $a$ kaçtır?

a) 3 ) 3 c) 2 d) 5 e) Hiçbiri

24. Soru

24. $a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$ ve $a_6 sayıları $\{-1,\ 0,\ 1\}$ kümesinin elemanları olmak üzere, $$(a_1\cdot 5^1 + a_2\cdot 5^2 + a_3\cdot 5^3 + a_4\cdot 5^4 + + a_5\cdot 5^5 + + a_6\cdot 5^6$$ ifadelerine bakalım. Bu ifadelerin kaç tanesi negatif değer alır?

a) 121 b) 224 c) 275 d) 364 e) 375

25. Soru

25. $O$ merkezli çemberde $[AB]$ çaptır. $C$ ve $D$ noktaları çember ü0zerinde $[AB]$ çapına göre farklı yarım çemberler üzerindedirler. $B$ den [CD]$ ye inen dikmenin ayağı $H$ olsun. $|AO| = 13,\ \AC] = 24 Ve $[HD] = 12$ olduğuna göre $DCB$ açısı kaç derecedir?

a) 30 b) 45 c) 60 d) 75 e) 80

26. Soru

26. $A=\dfrac{2^2+3\cdot 2+1}{3!\cdot 4!}+\dfrac{3^2+3\cdot 3+1}{4!\cdot 5!}+\dfrac{4^2+3\cdot 4+1}{5!\cdot 6!}+\ldots+\dfrac{10^2+3\cdot 10+1}{11!\cdot 12!}$ toplamı için $11!\cdot 12! \cdot A$ sayısını 11 e bölünce kalan nedir?

a) 0 b) 1 c) 5 d) 8 e) 10

27. Soru

27. Bir üçgenin açıları olan $\alpha,\ beta,\gamma$ aritmetik dizi oluşturuyorlar. $\sin20\alpha,\ sin20\beta$ ve $\sin20\gamma) da aritmetik dizi oluşturuyorsa, $d$ kaç farklı değer alabilir?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Hiçbiri

28. Soru

28. $8 \times 8 bir satranç tahtasının bir köşesinden bir birim kare kesilip atıldığında kalan şekli eşit alanlı üçgenlere bölmek için en az kaç üçgen gerekir?

a) 17 b) 19 c) 20 d) 21 e) Hiçbiri

29. Soru

29. $ABCD$ konveks dörtgeninde $[AB]$ ile $[CD]$ paralel değildir. $[AD]$ nin orta noktası $E,\ [BC]$ nin orta noktası $F$ dir. $|CD| = 12,\ |AB| = 22$ ve $|EF| = x$ olduğuna göre, $x$ in alabileceği tamsayı değerlerinin toplamı kaçtır?

a) 110 b) 114 c) 113 d) 121 e) Hiçbiri

30. Soru

30. İlk terimi pozitif tam sayı olan bir dizide, her terime en büyük rakamı eklenerek bir sonraki terim elde ediliyor. Bu dizinin en çok kaç ardışık terimi tek sayı olabilir?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

31. Soru

31. $xy = 1$ koşulunu sağlayan her $x,\ y$ gerçel sayıları için $ $$((x+y)^2+4)((x+y)^2-2)\geq A\cdot (x-y)^2$$ eşitsizliği sağlanıyorsa, $A$ sayısının alabileceği en büyük değer aşağıdakilerden hangisidir?

a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20

32. Soru

32. $n\geq 4$ kişilik bir partide, her 3 kişinin tam olarak 1 ortak arkadaşı varsa $n$ kaç farklı değer alabilir?

a) 1 b) 2 c) 4 d) Sonsuz sayıda e) Hiçbiri

33. Soru

33. $E$ noktası, $ABCD$ eşkenar dörtgeninin iç bölgesinde olmak üzere $|AE| = |EB|,\ m(EAB) = 12^\circ$ ve $m(DAE) = 72^\circ$ dir. Buna göre $m(CDE)$ kaç derecedir?

a) 64 b) 66 e) 68 d) 70 e) 72

34. Soru

34. Ondalık yazılımında 0 dan farklı olan tüm rakamlarına bölünen pozitif bir tam sayıya “özel sayı” diyelim. En fazla kaç ardışık özel sayı vardır?

a) 9 b) 10 C) 12 d) 13 e) 14

35. Soru

35.$x$ bir gerçel sayı ise $\sqrt{x^2 - 6x + 13} + \sqrt{x^2 - 14x + 58$ ifadesinin alabileceği en küçük gerçel değer kaçtır?

a) \sqrt{39} b) 6 c) \dfrac{43}{6} d) 2\sqrt2 + \sqrt{13} e) Hiçbiri

36. Soru

36. Üst üste dizilmiş 2008 madeni paranın bulunduğu bir beyaz masa ve iki boş siyah masadan başlayarak, her hamlede herhangi bir masadaki en üst pozisyondaki parayı alıp herhangi bir boş masaya veya herhangi bir masadaki en üst pozisyona yerleştirerek, en az kaç hamlede tüm paralar beyaz masaya ters sırada yerleştirilebilir?

a) 6016 b) 6017 c) 6022 d) 6023 e) 6024