Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama - 2007/Sorular

[math][/math]

1. Soru

1. Bir $ABC$ üçgeninde $m(A) = 90^\circ,\ |AB| = 4,\ |AC| = 3$ ve $A$ köşesinden $[BC]$ kenarına inilen dikmenin ayağı $D$ olmak üzere, $[BD]$ üstünde bir $P$ noktası için $5|AP| = 13|PD|$ ise, $|CP|$ nedir?

a) $\dfrac{9+4\sqrt3}{5} b) $\dfrac{56}{15} c) $\dfrac{14}{5} d) $\dfrac{37}{13} e) $\dfrac{5\sqrt5}{5}

2. Soru

2. $10 \cdot 3^{195} \cdot 49^{49}$ sayısının dört tabanına göre yazımının son üç basamağı aşağıdakilerden hangisidir?

a) 112 b) 130 e) 132 d) 212 e) 232

3. Soru

3. $a < b < c < d$ tam sayılar olmak üzere, $(x-a)(x-b)(x-c)(-d)-9 = 0$ denkleminin bir kökü $x = 7$ ise, $a + b + c + d$ kaçtır?

a) 14 b) 21 c) 28 d) 42 e) 63

4. Soru

4. Bir matematik dersinde öğretmen tahtaya yazdığı soruyu, Ali, Betül, Cem, Çağla, Dursun, Emre Ve Fatma'nın gruplar halinde çözmesini istiyor. Her grup iki veya üç kişiden oluşacaksa, bu yedi öğrenci kaç farklı biçimde gruplara ayrılabilir?

a) 70 b) 105 c) 210 d) 280 e) 630

5. Soru

5. $O$ merkezli $AB$ çaplı yarım çember üstünde $C$ ve $D$ noktaları, $ABCD$ bir dışbükey dörtgen olacak biçimde alınıyor. $[AC]$ ve $[BD]$ köşegenlerinin kesişim noktası $Q$, yarım çembere $C$ ve $D$ noktalarında teğet olan doğruların kesişim noktası $P$ olmak üzere, $m(AOB)=2m(COD)$ ve $|AB| = 2 ise, |PO| nedir?

a) $\sqrt2$ b) $\sqrt3$ c) $\dfrac{1+\sqrt3}{2} d) $\dfrac{1+\sqrt3}{2\sqrt2} e) $\dfrac{2\sqrt3}{3}$

6. Soru

6. $n!(2n + 1)$ ve 221 sayılarının aralarında asal olmasını sağlayan kaç $n$ pozitif tam sayısı vardır?

a) 10 b) 11 C) 12 d) 13 e) Hiçbiri

7. Soru

7. [\![\dfrac{6x+5}{8}]\!]= \dfrac{15x-7}{5}eşitliğini sağlayan gerçel sayıların toplamı kaçtir?

a) 2 b) $\dfrac{81}{90}$ c) $\dfrac{7}{15}$ d) $\dfrac45$ e) $\dfrac{19}{15}$

8. Soru

8. 123456789 sayısı ile başlanarak, her adımda, her ikisi de sıfırdan farklı bitişik iki rakamın değerleri birer azaltılarak yerleri kendi aralarında değiştiriliyor. Sonlu sayıda adım sonucunda elde edilebilecek en küçük sayının rakamları toplamı nedir?

a)0 b)1 c)3 d)5 e)9

9. Soru

9. Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 3$ ve $C$ ye ait yüksekliğin uzunluğu 2 ise, diğer iki yükseklik uzunluklarının çarpımı en fazla kaç olabilir?

a) $\dfrac{144}{25} b) 5 C) $3\sqrt2$ d) 6 e) Hiçbiri

10. Soru

10. Bir tam sayının karesinin iki katına ve bir tam sayının küpünün üç katına eşit olup, $10^6$ dan küçük olan kaç pozitif tam sayı vardır?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) Hiçbiri

11. Soru

11. Farklı pozitif tam sayılardan oluşan bir kümenin en büyük iki elemanının çarpımının 8/19 u, geriye kalan elemanların toplamından büyük değilse, kümedeki sayılardan en büyüğünün alabileceği en küçük değer nedir?

a) 8 b) 12 c) 13 d) 19 e) 20

12. Soru

12. 10 farklı kitap üç raflı bir kitaplığa, hiçbir raf boş kalmayacak biçimde kaç farklı şekilde yerleştirilebilir?

a) $36\cdot 10!$ b) $50\cdot 10!$ e) $55\cdot 10!$ d) $31\cdot 10!$ e) Hiçbiri

13. Soru

13. Bir $ABCD$ teğetler dörtgeninde $m(A)=m(B)= 120^\circ,\ m(C) = 30^\circ$ ve $|BC| = 2$ ise, $|AD|4 nedir?

a)$\sqrt3-1$ b) $2-\sqrt3$ c) $\sqrt6-\sqrt2$ d) $2-\sqrt2$ e) $3-\sqrt3$

14. Soru

14. $3^n$ nin, $(100^2 - 99^2)(99^2 - 98^2)\ldots (3^2 - 2^2)(2^2 - 1^2)$ çarpımını bölmesini sağlayan en büyük $n$ tam sayısı kaçtır?

a) 49 b) 53 C) 97 d) 103 e) Hiçbiri

15. Soru

15. $a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f,\ g,\ h$ farklı pozitif tam sayılar olmak üzere, $ab+cd = ef+gh$ ise, $ab + cd$ nin alabileceği en küçük değer nedir?

a) 34 b) 33 C) 32 d) 31 e) 30

16. Soru

16. $x,\ y,\ z \leq 9$ pozitif tam sayılar olmak üzere, her $(x,\ y,\ z)$ üçlüsü için, bu sayılardan en büyüğü ile en küçüğünün toplamına bu üçlünün gücü diyoruz. Bu tür tüm $(x,\ y,\ z)$ üçlülerinin güçlerinin toplamı kaçtır?

a) 9000 b) 8460 c) 7290 d) 6150 e) 6000

17. Soru

17. $m(A) > m(B)$ olan bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberine $C$ noktasında teğet olan doğru ile $AB$ doğrusunun kesişimi $K$ noktasıdır. $L,\ [BC]$ kenarı üstünde bir nokta olmak üzere, $m(ALB)= m(CAK),\ 5|LC| = 4|BL|$ ve $|KC|=12$ ise, $|AK| nedir?

a) $4\sqrt2$ b) 6 c) 8 d) 9 e) Hiçbiri

18. Soru

18. $n^3 + 8$ sayısının en çok üç pozitif böleninin bulunmasını sağlayan kaç $n$ tam sayısı vardır?

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) Hiçbiri

19. Soru

19. $x_1=5,\ x_2=401$ ve her $3\leq n \leq m$ için $$x_n=x_{n-2}-\dfrac{1}{x_{n-1}}$$ ise, $m$ nin alabileceği en büyük değer nedir?

a) 406 b) 2005 c) 2006 d) 2007 e) Hiçbiri

20. Soru

20. 9 ardışık bölümden oluşan bir şeridin her bölümü kırmızı veya beyaza boyanıyor. Herhangi bitişik iki bölüm birlikte beyaza boyanamıyorsa, bu boyama kaç değişik biçimde yapılabilir?

a) 34 b) 89 c) 128 d) 144 e) 360

21. Soru

21. $m(A)= m(D)= 90^\circ$ olan bir $ABCD$ dörtgeninin $[DC]$ kenarının orta noktası $M$ ile gösterilmek üzere, $AC \perp BM,\ |DC| = 12$ ve $|AB| = 9$ ise, $|AD|$ nedir?

a) 4 b) 6 c) 9 d) 12 e) Hiçbiri

22. Soru

22. $n$ ve $m$ tam sayılar olmak üzere, $n \leq 2007 \leq m$ ve $n^n \equiv -1 \equiv m^m pmod {5} ise, $m - n$ nin alabileceği en küçük değer nedir?

a) 4 b) 5 C) 6 d) 7 e) 8

23. Soru

23. Birim kenarlı bir eşkenar üçgenle başlanarak her kenarın orta üçte birini taban alan eşkenar üçgenler kesilerek çıkarılıyor. Sonra, elde edilen çokgenin her kenarının orta üçte birini taban alan eşkenar üçgenler kesilerek çıkarılıyor. Böylece bu işlem sonsuz kez tekrarlandığında elde edilen şeklin alanı nedir?

a) $\dfrac{1}{2\sqrt3}$ b) $\dfrac{\sqrt3}{8}$ c) $\dfrac{\sqrt3}{10}$ d) $\dfrac{1}{4\sqrt3} e) Hiçbiri

24. Soru

24. Aşağıdaki $n$ sayılarından hangisi için, 1 den $n$ ye kadar olan tam sayılar bir çemberin etrafına, her sayı, her iki yanındaki sayıların farkına bölünecek biçimde dizilebilir?

a) 5 b) 6 c) 7 d) 9 e) 13

25. Soru

25. Birim çember üstünde $|AB| = |BC|$ ve $m(ABC)= 72^\circ$ olacak şekilde $A,\ B,\ C$ noktaları alınıyor. $BCD$ bir eşkenar üçgen olacak şekilde çemberin iç bölgesinde alınan bir $D$ noktası için, $AD$ doğrusu çemberi ikinci kez $E$ noktasında kesiyorsa, $|DE|$ nedir?

a) $\dfrac12$ b) $\dfrac{\sqrt3}{2}$ c) $\dfrac{\sqrt2}{2} d) $\sqrt3-1$ e) Hiçbiri

26. Soru

26. $c,\ a$ ve $b$ nin pozitif ortak katlarının en küçüğünü ve $d$ de, ortak bölenlerinin en büyüğünü göstermek üzere, $$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}=1$$ eşitliğini sağlayan kaç tane $(a,\ b)$ pozitif tam sayı ikilisi Vardır?

a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2

27. Soru

27. $$\left(x+1\right)\left(x+\dfrac14\right)\left(x+\dfrac12\right)\left(x+\right)=\dfrac{45}{32}$$ denkleminin gerçel çözümlerinin toplamı kaçtır?

a) 0 b) -1 c) $-\dfrac32$ d) $-\dfrac54$ e) $-\dfrac7{12}$

28. Soru

28. Bir çember etrafında yazılı $n$ tam sayıdan her biri, kendisini saat yönünde izleyen iki sayının farkının mutlak değerine eşit olup, tüm sayıların toplamı 278 ise, $n$ kaç farklı değer alabilir?

a) 1 b) 2 c) 4 d) 139 e) Hiçbiri

29. Soru

29. Bir $ABCD$ karesinin sırasıyla $[BC]$ ve $[CD]$ kenarları üstünde alınan $M$ ve $N$ noktaları için $|BM| = 21,\ |DN| = 4$ ve $|NC|= 24$ ise, $m(MAN)$ nedir?

a) $15^\circ$ b) $30^\circ$ c) $37^\circ$ d) 45^\circ e) $60^\circ$

30. Soru

30. Her $n \geq 1$ için $a_{n+48} \equiv a_n \pmod {35}$ koşulunun sağlandığı bir $(a_n)_{n=1}^\infty$ tam sayı dizisinde, $i$ ve $j$ sırasıyla, her $n \geq 1$ için, $a_{n+i}\equiv a_n \pmod 5 ne $a_{n+j} \equiv a_n \pmod 7$ bağıntılarını sağlayan en küçük pozitif tam sayılarsa, $(i,\ j)$ ikilisi aşağıdakilerden hangisi olamaz?

a) (16,4) b) (3,16) c) (8,6) d) (1,48) e) (16,18)

31. Soru

31. Kare şeklindeki bir arazi, sınırlarına paralel doğrular çizilerek dikdörtgen şeklindeki $n$ tarlaya bölünüyor. Tarlaların çevre uzunluklarının toplamı, arazinin çevre uzunluğunun 100 katıysa, $n$ en çok kaç olabilir?

a) 10000 b) 20000 c) 50000 d) 100000 e) 200000

32. Soru

32. $8 \times 8$ bir satranç tahtasının birim karelerinden her birinin merkezine 0 ve 1 sayılarından birini yazıyoruz. Her satır, her sütun ve iki köşegenden birine paralel olup birim karelerin merkezlerinden geçen her doğru üstündeki sayıların toplamları çift ise, tahtaya yazılı bütün sayıların toplamı en fazla kaç olabilir?

a) 32 b) 48 c) 52 d) 56 e) 64

33. Soru

33. Bir $A$ noktasından $C$ çemberine çizilen teğetlerin değme noktaları $M$ ve $N$ dir. $[AN]$ üstünde alınan bir $P$ noktası için $MP$ ile $C$ nin ikinci kesişim noktası $Q,\ P$ den geçen ve $MA$ ya paralel olan doğru ile $MN$ nin kesişim noktası $R$ olmak üzere, $|MA| = 2,\ |MN| = \sqrt3$ ve $QR/|AN$ ise, $|PN|$ nedir?

a) $\dfrac32$ b) 1 c) $\dfrac{\sqrt3}{2}$ d) $\sqrt2$ e) $\sqrt3$

34. Soru

34. 15 den küçük kaç $p$ asal sayısı için,

$$m+n+k\equiv 0 \pmod p$$ $$mn+mk+nk \equiv 1 \pmod p$$ $$mnk\equiv 2 \pmod p$$

sistemini sağlayan $(m,\ n,\ k)$ tam sayı üçlüsü Vardır?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

35. Soru

35. $\sqrt[3]{2+\sqrt5} + \sqrt[3]{2-\sqrt5}$ sayısının ondalık yazımında, virgülden sonra üçüncü basamaktaki rakam nedir?

a) 8 b) 5 c) 3 d) 1 e) Hiçbiri

36. Soru

36. Herhangi üçü bir doğru üstünde bulunmayan beş noktadan bazılarını köşe kabul eden dışbükey çokgenlerin sayısının alabileceği en küçük değer nedir?

a) 10 b) 11 C) 12 d) 15 e) 15