Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama - 2003/Sorular

[math][/math]

1. Soru

1. Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 7,\ |BC| = 8,\ |AC| = 6$ ve $[BC]$ kenarının orta noktası $D$; $A,\ B$ ve $D$ noktalarından geçen çemberin $AC$' yi kestiği noktalar $A$ ve $E$ olmak üzere, $|AE|$ nedir?

a) $\dfrac23$ b) 1 c) $\dfrac32 d) 2 e) 3

2. Soru

2. $1\cdot 2003+2\cdot 2002+3\cdot 2001+\ldots +2001\cdot 3+2002\cdot 2+2003\cdot 1$ sayısının kaç asal böleni vardır?

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

3. Soru

3. Hiçbiri bir diğerinin 3 katı olmayan en çok kaç 51 den küçük pozitif tam sayı vardır?

a) 17 b) 36 c) 38 d) 39 e) Hiçbiri

4. Soru

4. $x^2 - ax - b$ polinomunun köklerinin 5 ten büyük olmamasını sağlayan kaç $(a,\ b)$ pozitif tam sayı ikilisi vardır?

a) 40 b) 50 c) 65 d) 75 e) Hiçbiri

5. Soru

5. Bir $ABC$ üçgeninde, $C$ köşesinden $AB$ ye inilen dikmenin ayağı $D$, yüksekliklerin kesişim noktası $H$ dir. $|CH| = |HD|$ olduğuna göre, $\tan A- \tan B$ nedir?

a) 1 b) $\sqrt2$ c) 3/2 d) $\sqrt3 e) Hiçbiri

6. Soru

6. 2000! sayısının ondalık yazılımının sonunda tam olarak kaç 0 vardır?

a) 222 b) 499 c) 625 d) 999 e) Hiçbiri

7. Soru

7. AAAIEE dizisi ile başlanıp, AIE yerine EA, AE yerine IE, E yerine Al koyma işlemleri istenildiği kadar tekrarlanarak aşağıdaki dizilerden hangisi elde edilemez?

a) AIAIIAI b) AIAIAI c) AIAAA d) AIAA e) Hiçbiri

8. Soru

8. $P$ polinomu, her gerçel $x$ için $(x- 4)P(2x) = 4(x - 1)P(x)$ eşitliğini ve $P(0) \neq 0$ koşulunu sağlıyorsa, $P$ nin derecesi nedir?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) Hiçbiri

9. Soru

9. İçteğet çemberinin yarıçapı 1 ve her kenar uzunluğu bir tam sayı olan kaç üçgen vardır?

a) 0 b) 1 C) 2 d) 3 e) Sonsuz

10. Soru

10. $x^3 + 3x^2 - 2x + 4 \equiv 0 \pmod {25}$ ve $0 \leq x < 25$ koşullarını sağlayan tam sayıların toplamı 25 modunda aşağıdakilerden hangisine denktir?

a) 3 b) 4 c) 17 d) 22 e) Hiçbiri

11. Soru

11. ABRAKADABRA kelimesinin harfleri, rastgele sıralandığında ilk A harfinin ilk B harfinden önce gelme olasılığı nedir?

a) $\dfrac23$ b) $\dfrac57$ c) $\dfrac56$ d) $\dfrac67$ e) Hiçbiri

12. Soru

12. $\dfrac{4x^2}{1+4x^2}=y,\ \dfrac{4y^2}{1+4y^2}=z,\ \dfrac{4z^2}{1+4z^2}=x$ sistemini tam olarak kaç $(z,\ y,\ z)$ üçlüsü sağlar?

a) 2 b) 4 c) 6 d) Sonsuz çoklukta e) Hiçbiri

13. Soru

13. Bir $ABC$ üçgeninde, $|AB| = 8$ ve $|AC| = 2|BC|$ dir. $[AB]$ kenarına ait yükseklik en fazla kaç olabilir?

a) $3\sqrt2 b) $3\sqrt3$ c) 5 d) $\dfrac{16}{3}$ e) 6

14. Soru

14. $5p(2^{p+1} - 1)$ sayısını tam kare yapan kaç $p$ asal sayısı vardır?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) Hiçbiri

15. Soru

15. A ve B isimli Türk takımları Avrupa Kupası'nda son 16 takım arasında yer alıyor. Bu takımların kura ile eşleştirilmesiyle oynanan sekiz maçta yenilen takımlar eleniyor. Kalan takımlar ise yeniden kura ile eşleştirilerek, tek bir takım kalana kadar kupa bu şekilde sürüyor. Her maçta her takımın diğerini yerime olasılığı aynı ise, A ve B takımlarının karşılaşma olasılığı nedir?

a) $\dfrac{1}{32}$ b) $\dfrac1{16}$ c) $\dfrac18$ d) $\dfrac14$ e) Hiçbiri

16. Soru

16. $t$ gerçel sayısının aşağıdaki değerlerinden hangisi için $x^4 - tx + \dfrac{1}{t} = 0$ denkleminin hiçbir kökü $[1,2]$ aralığında yer almaz?

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) Hiçbiri

17. Soru

17. Bir $C_1$ çemberi ile, $C_1$ in merkezinden geçen ve onu $A$ ve $B$ noktalarında kesen bir $C_2$ çemberi veriliyor. $C_2$ çemberine $B$ noktasında teğet olan doğru, $C_1$ çemberini $B$ ve $D$ noktalarında kesiyor. $C_1$ in yarıçapı $\sqrt3$; $C_2$ in yarıçapı 2 olduguna gore $\dfrac{|AB|}{|BD|}$ yi bulunuz.

a) $\dfrac12$ b) $\dfrac{\sqrt3}{2} c) $\dfrac{2\sqrt3}{3}$ d) 1 e) $\dfrac{\sqrt5}{2}$

18. Soru

18. $5^n + n^5$ sayısının 11 ile bölünmesini sağlayan 2003 ten büyük en küçük $n$ tam sayısı nedir?

a) 2010 b) 2011 c) 2012 d) 2014 e) Hiçbiri

19. Soru

19. Düzlemde 2003 farklı noktayı birleştiren doğru parçalarının orta noktalarından oluşan kümenin en az kaç elemanı olabilir?

a) 2006 b) 4001 c) 4003 d) 4006 e) Hiçbiri

20. Soru

20. $\sqrt{x+1-4\sqrt{x-3}}+\sqrt{x+6-6\sqrt{x-3}} = 1$ denklemini sağlayan kaç $x$ gerçel sayısı vardır?

a) 3 b) 4 c) 6 d) 7 e) Hiçbiri

21. Soru

21. $C_1$ ve $C_2$ çemberleri bir $T$ noktasında dıştan teğettir. $T$ den geçen bir doğru, $C_1$ çemberini $A,\ C_2$ çemberini de $B$ noktasında kesiyor. $C_1$ çemberine $A$ de teğet olan doğru, $C_2$ yi $D$ ve $E$ noktalarında kesiyor. $D \in [AE],\ |TA| = a,\ |TB| = b$ olduğuna göre $|BE|$ nedir?

a) $\sqrt{a(a+b)}$ b) $\sqrt{a^2+b^2+ab} c) $\sqrt{a^2+b^2-ab}$ d) $\sqrt{a^2+b^2}$ e) $\sqrt{(a+b)b}$

22. Soru

22. Aşağıdaki $n$ tam sayılarından hangisi için $x^2 \equiv -1 \pmod {n}$ denkliğini sağlayan en az bir $x$ tam sayısı vardır?

a) 97 b) 98 c) 99 d) 100 e) Hiçbiri

23. Soru

23. Ayşe, masanın üstünde duran farklı renklerdeki dokuz topun ağırlıklarının $1,\ 2,\ \ldots ,\ 9$ gram olduğunu biliyor, ancak hangi topun hangi ağırlıkta olduğunu bilmiyor. Barış ise, her topun ağırlığını biliyor. Barış, hangi kefenin ağır olduğunu ve kefelerindeki ağırlıkların farkını gösteren bir teraziyi en az kaç kez kullanarak bu bilgisini Ayşe'ye kanıtlayabilir?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

24. Soru

24. $3a = 1 + \sqrt2$ ise, $9a^4 - 6a^3 + 8a^2 - 6a + 9$ u aşmayan en büyük tam sayı nedir?

a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) Hiçbiri

25. Soru

25. Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde, $[AB]$ nin orta noktası $D$, çevrel çemberin merkezi $O$ dur. $ADO$ üçgeninin çevrel çemberi, $[AC]$ yi $A$ ve $E$ noktalarında kesiyor. $|AE| = 7,\ |DE| = 8$ ve $m(AOD) = 45^\circ$ olduğuna göre $ABC$ üçgeninin alanı nedir?

a) $56\sqrt3$ b) $56\sqrt2$ c) $50\sqrt2$ d) 84 e) Hiçbiri

26. Soru

26. $n,\ n+1,\ n+2,\ n+3$ sayılarından her birinin kendi ondalık yazılımındaki basamaklar toplamı ile bölünmesini sağlayan ve ondalık yazılımının birler basamağı 8 olan $n$ tam sayılarının onlar basamağı kaç farklı değer alabilir?

a)1 b)2 c)3 d)4 e)5

27. Soru

27. $1 \times 1$ boyutlarında bir karenin içine çevre uzunlukları toplamı $C$ olan sonlu sayıda çember yerleştirilmiştir. $C = \dfrac{43}{5},\ 9,\ \dfrac{91}{10},\ \dfrac{19}{2},\ 10$ değerlerinden kaçı için, bu çemberlerden dördünü kesen bir doğrunun varlığını kesin olarak söyleyebiliriz?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

28. Soru

28. $a,\ x,\ y,\ z$ gerçel sayıları, $ax -y +z = 3a -1$ ve $x - ay + z = a^2 -1$ eşitliklerini sağlıyorsa, $x^2 + y^2 + z^2$ aşağıdakilerden hangisi olamaz?

a) $\sqrt2$ b) $\sqrt3$ ç) 2 d) $\sqrt[3]4$ e) Hiçbiri

29. Soru

29. $ABC$ dik üçgeninde $[AB]$ hipotenüsünün orta noktası $D$, çevrel çember yarıçapı $\dfrac52$ ve $|BC| = 3$ olduğuna göre, $ACD$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi ile $BCD$ üçgeninin içteğet çemberinin merkezi arasındaki uzaklık nedir?

a) $\dfrac{\sqrt{29}}{2}$ b) 3 c) $\dfrac52 d) $\dfrac{5\sqrt{34}}{12}$ e) $2\sqrt2$

30. Soru

30. $n$ pozitif tam sayısının ondalık yazılımının basamakları toplamı 111, $7002n$ sayısınınki de 990 ise, 2003n sayısının ondalık yazılımının basamakları toplamı en çok kaç olabilir?

a) 309 b) 330 ç) 550 d) 555 e) Hiçbiri

31. Soru

31. $n$ sayısı $n$ defa kullanılmak koşuluyla, sonsuz bir satranç tahtasının her birim karesine bir pozitif tam sayı yazılmıştır. Ortak kenarı olan herhangi iki karedeki sayıların farkının mutlak değeri $k$ den büyük değilse, $k$ nin alabileceği en küçük değer nedir?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Hiçbiri

32. Soru

32. f fonksiyonun her gerçel $x$ için $f(x)+3f(1-x) = x^2$ eşitliğini sağlıyorsa, $S =\{x| f(x) = 0\}$ olmak üzere, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? a) $S$ sonsuz bir kümedir b) $\{0,\ 1\} \altkume S$ c) $S = \empty$ d) $S = \{(3 + \sqrt3/2, (3 - \sqrt3/2)\}$ e) Hiçbiri

33. Soru

33. Bir $ABC$ üçgeninde kenar ortaylarının kesişim noktası $G$, içteğet çemberin merkezi $I$ ve $GI \perp BC$ dir. $|AB| = c,\ |AC|= b$ olduğuna göre $|BC|$ nedir?

a) $\dfrac{b+c}2$ b) $\dfrac{b+c}{3} c) $\dfrac{b^2+c^2}{2}$ d) $\dfrac{\sqrt{b^2+c^2}}{3\sqrt2}$ e) Hiçbiri

34. Soru

34. $m $ve $n$ pozitif tam sayılar olmak üzere, $m,\ m+1,\ \ldots ,\ m+n$ sayılarından yalnızca $m$ ve $m + n$ nin ondalık yazılımlarındaki basamakların toplamları 8 ile bölünüyorsa, $n$ en çok kaç olabilir?

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) Hiçbiri

35. Soru

35. $n + m - 1$ tane birim kare, bir kenarı $n$, diğer kenarı $m$ kareden oluşan bir $L$ şeklinde dizilmiştir. Ayşe ve Betül, Ayşe'nin başladığı ve sırası gelen oyuncunun, bitişik olarak aynı kenar boyunca sıralanmış istediği pozitif sayıda kareyi aldığı bir oyun oynuyorlar. Son kareyi alan oyuncu oyunu kaybediyor. Oyun, $(n,\ m) = (2003,\ 2003),\ (2002,\ 2003),\ (2003,\ 3),\ (2001,\ 2003)$ değerleri için dört kez oynanıyorsa, Ayşe kaç kez oyunu kazanmayı garantileyebilir?

a)0 b)1 c)2 d)3 e)4

36. Soru

36. $a_1,\ a_2,\ldots ,\ a_{2003}$ tam sayıları, $|a_1| = 1$ ve $la_{i+1}| = la_i + 1l$ $(1 \leq i \leq 2002)$ koşullarını sağlıyorsa, $|a_1 + a_2\ldots + a_{2003}$ en az kaç olabilir?

a) 4 b) 34 c) 56 d) 65 e) Hiçbiri