Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama - 2002/Sorular

[math][/math]

1. Soru

1. Bir $ABC$ üçgeninde $[AB],\ [BC]$ ve $[CA]$ nın orta noktaları sırasıyla $C',\ A'$ ve $B'$; $A$ dan $BC$ ye inilen dikmenin ayağı $H$ dir. $|A'C'| = 6$ olduğuna göre, $|B'H|$ nedir?

a) 5 b) 6 c) $5\sqrt2$ d) $6\sqrt2$ e) 7

2. Soru

2. 11 modunda $3^{2002}$ aşağıdakilerden hangisine denktir?

a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) Hiçbiri

3. Soru

3. Başlangıçta bütün birim kareleri beyaz olan $m \times n$ bir tahtayı, sonuçta, ortak kenara sahip herhangi iki kareden biri siyah biri beyaz olacak şekilde boyamak istiyoruz. Boyama işleminin her adımında tahta üstünde $2 \times 2$ bir kare seçilerek, beyaz birim kareleri siyaha, siyah birim kareleri beyaza boyanıyor. Aşağıdakilerden hangi $(m,\ n)$ sıralı ikilisi için, tahta istenilen biçimde boyanabilir?

a) $(3,\ 3)$ b) $(2,\ 6)$ c) $(4,\ 8)$ d) $(5,\ 5)$ e) Hiçbiri

4. Soru

4. $x^5 + x^4 - x^3 - x^2 - 2x - 2$ polinomunun kaç gerçel kökü vardır?

a) 1 b) 2 C) 3 d) 4 e) Hiçbiri

5. Soru

5. Bir üçgenin iki yüksekliği 8 ve 12 dir. Üçüncü yükseklik aşağıdakilerden hangisi olamaz?

a) 4 b) 7 c) 8 d) 12 e) 23

6. Soru

6. Ondalık yazılımı beş basamaklı bir sayının binler basamağı 3 olup, bu sayı 37 ve 173 ile bölünüyorsa, bu sayının yüzler basamağı kaçtır?

a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8

7. Soru

7. Her seferinde tam olarak iki karpuzu birlikte tartmak koşuluyla, 13 karpuzun toplam ağırlığı en az kaç tartıda bulunabilir?

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

8. Soru

8. $x^{60} - 1$ polinomu aşağıdaki polinomlardan hangisi ile bölünmez?

a) $x^2 + x + 1$ b) $x^4 - 1$ C) $x^5 - 1$ d) $x^{15} - 1$ e) Hiçbiri

9. Soru

9. Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 5,\ |BC| = 9$ ve $|AC| = 8$ dir. $\angle BCA$ nın açıortayı $BA$ yı $X$ noktasında, $CAB$ nin açıortayı $BC$ yi $Y$ noktasında kesiyor. $XY$ ve $AC$ doğrularının kesiştiği nokta $Z$ olmak üzere, $|AZ|$ nedir?

a) $\sqrt{104} b) $\sqrt{145}$ c) $\sqrt{89}$ d) 9 e) 10

10. Soru

10. $x^3 - 13y^3 = 1453$ eşitliğini sağlayan $(x,\ y)$ tam sayı sıralı ikililerinin sayısı aşağıdakilerden hangisine bölünmez?

a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) Hiçbiri

11. Soru

11. $(1 + x + x^2)^9$ ifadesinin açılımında $x^5$ in katsayısı nedir?

a) 1680 b) 882 c)729 d) 450 e) 246

12. Soru

12. $a,\ b,\ c$ gerçel sayıları $a^2 + b^2 + c^2 = 1$ eşitliğini sağlıyorsa, $ab + bc + ac$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

a) -1 b) $-\dfrac12 e) $-\dfrac13 d) $-\dfrac{1}{2\sqrt2} e) 0

13. Soru

13. $AB$ nin $CD$ ye paralel olduğu bir $ABCD$ yamuğunda $lBCl+ lADl = 7,\ lABl = 9$ ve $|BC| = 14$ tür. $\angle BCD$ ve $\angle CDA$ nın açıortayları ile $CD$ nin oluşturduğu üçgenin alanının yamuğun alanına oranı nedir?

a) $\dfrac{9}{14}$ b) $\dfrac57$ c) $\sqrt2$ d) $\dfrac{49}{69} e) $\dfrac13$

14. Soru

14. $39p + 1$ sayısını tam kare yapan kaç $p$ asal sayısı vardır?

a) 0 b) 1 C) 2 d) 3 e) Hiçbiri

15. Soru

15. Bir tiyatro salonunda onar koltukluk on sıra bulunmaktadır ve koltuklar numaralanmıştır. Birbirinden habersiz bilet alan iki arkadaşın koltuklarının yan yana düşmesi olasılığı nedir?

a) $\dfrac{1}{55}$ b) $\dfrac{1}{50}$ c) $\dfrac{2}{55}$ d) $\dfrac{1}{25}$ e) Hiçbiri

16. Soru

16. $x$ pozitif bir gerçel sayı olmak üzere $x^2 + \dfrac{1}{4x}$ ifadesi aşağıdaki değerlerden hangisini alamaz?

a) $\sqrt3 - 1$ b) $2\sqrt2 - 2$ c) $\sqrt5 -1 $ d) 1 e) Hiçbiri

17. Soru

17. $AD \| BC$ ve $|AB| = |CD|$ koşullarını sağlayan bir $ABCD$ yamuğu aynı zamanda bir teğetler dörtgenidir. Iç teğet çemberinin $[CD]$ kenarına değme noktası $N,\ [AN]$ nin çemberi ikinci kez kestiği nokta $K,\ [BN]$ nin çemberi ikinci kez kestiği nokta $L$ olmak üzere, $\dfrac{|AN|}{|AK|}+ \dfrac{|BN|}{|BL|} nedir?

a) 8 b) 9 C)10 d) 12 e) 16

18. Soru

18. $|15x^2 -32x-28|$ sayısının asal olmasını sağlayan kaç $x$ tam sayısı vardır?

a) 0 b) 1 C) 2 d) 4 e) Hiçbiri

19. Soru

19. Bir $A$ sayısının ondalık gösteriminin sağına üç rakam yazarak, $1 + 2 + \ldots + A$ toplamına eşit bir sayı elde edilmesini olanaklı kılan kaç tane $A$ pozitif tam sayısı vardır?

a) 0 b) 1 e) 2 d) 2002 e) Hiçbiri

20. Soru

20. $x,\ y$ gerçel sayıları $x^2 + xy + y^2 = 1$ eşitliğini sağlıyorsa, $x^2 + y^2$ aşağıdakilerden hangisi olamaz?

a) $\dfrac{1}{\sqrt2}$ b) $\dfrac12$ c) $\sqrt2$ d) $3 - \sqrt3$ e) Hiçbiri

21. Soru

21. Düzgün $A_1A_2\ldots A_{10}$ 10-geninin $[A_1A_4]$ köşegeninin uzunluğu $b$, çevrel çemberinin yarıçapı $R$ dir. Bu 10-genin kenar uzunluğu nedir?

a)$b-R$ b) $b^2-R^2$ c) $R+\dfrac{b}{2}$ d) $b-2R$ e) $2b-3R$

22. Soru

22. $5^{256} - 1$ sayısı $2^n$ ile bölünüyorsa, $n$ en çok kaç olabilir?

a) 8 b) 10 C) 11 d) 12 e) Hiçbiri

23. Soru

23. $\{1,\ 2,\ \ldots,\ n\}$ kümesinin, $1 \leq r \leq n$ olmak üzere, $r$ elemanlı altkümelerinin en küçük elemanlarının aritmetik ortalaması nedir?

a) $\dfrac{n+1}{r+1} b) $\dfrac{r(n+1)}{r+1}$ c) $\dfrac{nr}{r+1}$ d) $\dfrac{r(n+1)}{(r+1)n}$ e) Hiçbiri

24. Soru

24. $[\sqrt[3]{7n+2}] = [\sqrt[3]{7n + 3}]$ eşitliğini sağlamayan kaç $n$ pozitif tam sayısı vardır?

a) 0 b) 1 c) 7 d) Sonsuz çoklukta e) Hiçbiri

25. Soru

25. Bir $ABCD$ eşkenar dörtgeninin $[AD]$ kenarı üzerinde bir $E$ noktası işaretleniyor. $AB$ ve $CE$ doğruları $F$ de; $BE$ ve $DF$ doğruları $G$ de kesişiyor. $m(DAB) = 60^\circ$ ise, $m(DGB)$ nedir?

a) $45^\circ$ b) $50^\circ$ c) $60^\circ$ d) $65^\circ$ e) $75^\circ$

26. Soru

26. Üç bileşik tek sayının toplamı olarak yazılabilen tüm tam karelerin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

a) $\{(2k + 1)^2 : k: \geq 0\}$ b) $\{(4k+3)^2 : k \leq 1\}$ c) $(2k+1)^2 : k \geq 3\}$ d) ${(4k + 1)^2 k: \geq 2\}$ e) Hiçbiri

27. Soru

27. Bir kasanın beş kilidine ait anahtarlar çoğaltılarak sekiz kişiye, bu sekiz kişiden herhangi beşinin birlikte kasayı açmalarını olanaklı kılacak biçimde dağıtılacaktır. Anahtarların toplam sayısı en az ne olmalıdır?

a) 18 b) 20 C) 22 d) 24 e) 25

28. Soru

28. $a_{2001} = 2002$ ve$ 0 \leq k \leq 2000$ için $a_k = -k - 1$ ise, $x^{2002} + a_{2001}x^{2001}+ a_{2000}x^{2000}+\ldots + a_1x+a_0$ polinomunun kaç pozitif kökü Vardır?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 1001 e) 2002

29. Soru

29. Bir $ABC$ üçgeninde $\angle CAB$ nin açıortayı $BC$ yi $L$ de, $\angle ABC$ nin açıortayı $AC$ yi $N$ de kesiyor. $AL$ ile $BN$ doğruları $O$ da kesişiyor. $|NL| = \sqrt3$ ise, $|ON| + |OL|$ nedir?

a) $3\sqrt3 b) $2\sqrt3$ c) 2 d) 3 e) 5

30. Soru

30. $x^3 - 2x + 6 \equiv 0 \pmod 125$ ve $0 \leq x < 125$ koşullarını sağlayan kaç $x$ tam sayısı vardır?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) Hiçbiri

31. Soru

31. $N \geq 2$ olmak üzere, $1,\ 2, \ldots,\ N$ sayıları bir çember etrafına diziliyor. Her sayı ondalık gösterimde her komşusuyla bir ortak rakama sahip ise, $N$ en az kaç olmalıdır?

a) 18 b) 19 C) 28 d) 29 e) Hiçbiri

32. Soru

32. $S= \dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\ldots \dfrac{1}{2001^2}+\dfrac{1}{2002^2}$ ise, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

a)$1\leq S<\dfrac43$ b) $\dfrac43 \leq S<2$ c) $2\leq S<\dfrac73$ d) $\dfrac73\leq S<\dfrac52$ e)$\dfrac52 \leq S<3$

33. Soru

33. Bir $ABCD$ eşkenar dörtgeninde $m(ABC) = 40^\circ$, $[BC]$ nin orta noktası $E$ ve $A$ dan $DE$ ye indirilen dikmenin ayağı $F$ ise, $m(DFC)$ nedir?

a) $100^\circ$ b) $110^\circ$ c) $115^\circ$ d) $120^\circ$ e) $135^\circ$

34. Soru

34. $3n^2 + 3n + 7$ sayısının tam küp olmasını sağlayan kaç $n$ pozitif tam sayısı vardır?

a) 0 b) 1 c) 3 d) 7 e) Sonsuz çoklukta

35. Soru

35. Her $i = 0,\ 1,\ 2, \ldots$ tam sayısı için, ağırlığı 21 olan sekiz top bulunmaktadır. $n$ kutunun her birinin içine istenildiği kadar top konabiliyor. Her kutuya konulan topların ağırlıklarının toplamı aynıysa, $n$ en çok kaç olabilir?

a) 8 b) 10 C) 12 d) 15 e) 16

36. Soru

36. $a \neq -1$ olmak üzere, $a$ gerçel sayısı, $a^5 + 5a^4 + 10a^3 + 3a^2 - 9a - 6 = 0$ eşitliğini sağlıyorsa, $(a + 1)^3$ nedir?

a) 1 b) 3\sqrt3 c)7 d) 8 e) 27