Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama - 2014/Sorular

[math][/math]

1. Soru

1. $|AB| = |AO| = 12$ ve $|BC| = 4$ olan bir $ABC$ üçgeninde $C$ köşesine ait içaçıortayın $[AB]$ kenarını kestiği nokta $D$ ve $[AC]$ kenarının orta noktası $E$ ise, $|DE|$ nedir?

a) $3\sqrt2$ b) $\sqrt{15}$ c) 4 d) $2\sqrt3 e) $\sqrt{13}$

2. Soru

2. $3x^2y^3 + y^3 - 21x^2 = 35$ eşitliğini sağlayan kaç $(x,\ y)$ tam sayı ikilisi vardır?

a) 6 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

3. Soru

3. En az birer beyaz top içeren iki kutudan birincisindeki beyaz topların sayısı kırmızı topların sayısından %25 daha az, ikinci kutudaki beyaz topların sayısı da kırmızı topların sayısından %20 daha fazladır. İki kutudaki toplam beyaz top sayısı toplam kırmızı top sayısından %5 daha fazla ise, toplam beyaz top sayısı toplam kırmızı top sayısından en az kaç tane fazla olabilir?

a) 8 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3

4. Soru

4. 2014 negatif olmayan gerçel sayı bir çemberin etrafina herhangi ardışık dördünün toplamı 19 olacak biçimde yazılmışsa, bu sayılardan en büyüğü en fazla kaç olabilir?

a) $\dfrac{19}{4}$ b) $\dfrac{19}{2}$ c) $\dfrac{21}{2}$ d) 18 e) 19

5. Soru

5. $|AB| = 9$ ve $|BC| = 8$ olan bir $ABCD$ dikdörtgeninin $[AB]$ ve $[AD]$ kenarlarına teğet olup $C$ köşesinden geçen çemberin yarıçapı kaçtır?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) Hiçbiri

6. Soru

6. $n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere, $6n + 15$ ve $10n + 21$ sayılarının en büyük ortak böleni kaç farklı değer alabilir?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

7. Soru

7. $5^xx^2 + 125 = 5^{x+2} + 5x^2$ denklemini sağlayan kaç $x$ gerçel sayısı vardır?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

8. Soru

8. Dört basamaklı pozitif tam sayılardan kaç tanesinin her bir basamağı asal sayı ve basamakları toplamı çifttir?

a) 136 b) 144 c) 150 d) 168 e) 172

9. Soru

9. $|AB| = 32$ olmak üzere, $[AB]$ ye ve $[AB]$ çaplı $C_1$ çemberine içten teğet olan $C_2$ çemberinin yarıçapı 8 birimdir. $[AB]$ ye, $C_2$ ye dıştan ve $C_1$ e içten teğet olan ve $AB$ doğrusuna göre $C_2$ ile aynı tarafta yer alan çemberin yarıçapı kaçtır?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

10. Soru

10. 849 sayısının 343 ile bölümünden kalan kaçtır?

a) 1 b) 8 c) 50 d) 64 e) 99

11. Soru

11. Bir matematik testindeki sorulardan Aslı'nın doğru yanıtladıklarının sayısı Banu'nun doğru yanıtladıklarının sayısının 7 katı, Banu'nun yanlış yanıtladıklarının sayısı da Aslı'nın yanlış yanıtladıklarının sayısının 5 katıdır. Her iki öğrenci de testteki tüm soruları yanıtladıklarına göre, ikisinin de yanlış yanıtladığı soruların sayısı en az kaç olabilir?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

12. Soru

12. Altı tane 1 ve beş tane 2 rakamı kullanılarak yazılan 11 basamaklı pozitif tam sayılardan kaç tanesinin herhangi ardışık beş basamağında en az üç tane 1 vardır?

a) 18 b) 16 c) 14 d) 12 e) 10

13. Soru

13. Aşagidakilerden hangisi düzlemdeki beş doğrunun kesişim noktalarının kümesinin eleman sayısı olamaz?

a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8

14. Soru

14. $2^{2014} + 3^{2014} + 4^{2014} + 5^{2014} + 6^{2014} toplamının 13 ile bölümünden kalan nedir?

a) 12 b) 9 c) 6 d) 3 e) 1

15. Soru

15. Toplamlari $n$ ve kareleri toplamı $n+ 19$ olan iki gerçel sayı bulunmasını sağlayan en büyük $n$ pozitif tam sayısı kaçtır?

a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4

16. Soru

16. $\{1,\ 2,\ \ldots,\ 33\}$ kümesinin $k$ elemanlı her altkümesinde biri diğerinin iki katı olan iki eleman bulunuyorsa, $k$ en az kaç olabilir?

a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25

17. Soru

17. $AB/ |CD$ olmak üzere, bir $ABCD$ yamuğunun sırası ile $[AD]$ ve $[BC]$ kenarları üzerinde alınan $E$ ve $F$ noktaları için $EF/ |AB$ dir. $|AB| = 33,\ |CD| = 9$ ve $ABFE$ yamuğunun alanı $CDEF$ yamuğunun alanının altı katı ise, $|EF|$ nedir?

a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

18. Soru

18. $(n - 1)^3(n + 1)^4$ ifadesinin $2^{19}$ ile tam bölünmesini sağlayan 2014 ten küçük kaç $n$ pozitif tam sayısı vardır?

a) 72 b) 175 c) 188 d) 212 e) 216

19. Soru

19. $a + b + c+ d + e + f = 9$ koşulunu sağlayan $a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f$ tam sayıları için, $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 + f^2$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

a) 19 b) 17 c) 15 d) 13 e) 11

20. Soru

20. $1, 2, \ldots ,9$ sayıları, $3 \times 3$ bir tahtanın birim karelerine, her bir birim karede bir sayı bulunacak ve her satır ve her sütündaki sayıların toplamı tek sayı olacak şekilde kaç farklı biçimde yerleştirilebilir?

a) 11520 b) 14400 C) 17280 d) 23040 e) 25920

21. Soru

21. $|AC| = 30$ ve $s(ABC)= 90^\circ$ olan bir $ABC$ üçgeninde $C$ köşesine ait içaçıortayın $[AB]$ kenarı ile kesişimi $D$ noktası ve $[CD] = 5\sqrt6$ ise, $|BC|$ kaçtır?

a) 6 b) 8 c) $4\sqrt6$ d) 10 e) $5\sqrt5$

22. Soru

22. $3^{23} + 14!$ sayısının ondalık yazılımı $87A86B79808$ ise, $A - B$ çarpımı kaçtır?

a) 6 b) 10 c) 12 d) 64 e) 72

23. Soru

23. $x^2 + 2xy = 4x + 3y^2$ eşitliğini sağlayan kaç $(x,\ y)$ tam sayı ikilisi vardır?

a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8

24. Soru

24. Bir masanın üstünde 300 tane fındıktan oluşan bir öbek vardır. Her adımda, Ali seçtigi bir öbekten bir tane fındık yiyip, sonra bu öbekte kalan fındıkları en az birer fındık içeren iki öbeğe ayırıyor. Bir kaç hamle sonucunda tüm öbeklerde $k$ tane fındık varsa, $k$ sayısı 3, 4, 5, 6, 7 değerlerinden kaçını alabilir?

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

25. Soru

25. Bir $ABC$ üçgeninin $A$ ve $B$ köşelerinden geçen bir çember $[BC]$ ve $[AC]$ kenarlarını sırasıyla, $D$ ve $E$ noktalarında kesiyor. $[AB]$ ve $[AD]$ nin orta noktaları sırasıyla, $P$ ve $Q$ olsun. $BC$ doğrusunun $A$ ya göre farklı tarafunda olan bir $Z$ noktası için, $ZD$ ve $AD$ doğruları birbirine dik ve $|DZ| = |DP|$ dir. $|AE| = 1,\ |BD| = 4$ ve $|DC| = 2$ ise, nedir?

a) 3 b) $\sqrt{10}$ c) $2\sqrt3$ d) 4 e) $2\sqrt5$

26. Soru

26. Farklı üç pozitif tam sayı böleninin toplamı kendisine eşit olan 2014 ten küçük kaç pozitif tam sayı vardır?

a) 77 b) 165 c) 258 d) 335 e) 770

27. Soru

27. $x^3 + 2y^3 = 3$ ve $xy^2 = 1$ koşullarını sağlayan $(x,\ y)$ gerçel sayı ikilileri için, $x^3 + y^3$ ifadesinin alabileceği değerlerin çarpımı nedir?

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

28. Soru

28. 101 madeni paranın tam olarak 3 tanesi sahtedir. Gerçek paraların ve sahte paraların ağırlıkları kendi aralarında eşit olup, sahte paralar gerçek paralardan daha hafiftir. İki kefeli bir tartı en az kaç kez kullanılarak gerçek paralardan 25 tanesini belirlemek garantilenebilir?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

29. Soru

29. $|AB| = 1,\ |BC| = \sqrt3$ ve $|CA| = \sqrt2$ olan bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarına ait bir $D$ noktası için, $AD$ doğrusu $B$ köşesine ait kenarortayı $P$ noktasında kesiyor ve $|PD|/|PA| = \sqrt2 - 1$ ise, $s(\angle DAC)$ nedir?

a) $15^\circ$ b) $30^\circ$ c) $45^\circ$ d) $60^\circ$ e) $75^\circ$

30. Soru

30. Tam olarak 19 tane pozitif tam sayı böleni olan bir tam sayının 11 ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisi olamaz?

a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

31. Soru

31. $a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca = b - c - 1$ eşitliğini sağlayan kaç $(a,\ b,\ c)$ gerçel sayı üçlüsü vardır?

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0

32. Soru

32. Başlangıçta tahtada Aslı ve Berk'e ait olmak üzere beşer sayı bulunuyor. Oyunun her hamlesinde sayılarının toplamı daha büyük olan öğrenci kendi sayılarından birini siliyor. Toplamların eşit olması durumunda sayı silme sırası Berk'e veriliyor. Kendi sayılarının tümünü ilk silen öğrenci oyunu kazanıyor. Oyun, Aslı ve Berk'in sayıları sırasıyla $(1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9)$ ve $(2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10);\ (1,\ 2,\ 5,\ 9,\ 10)$ ve $(1,\ 3,\ 4,\ 8,\ 9);\ (1,\ 2,\ 5,\ 9,\ 10)$ ve $(1,\ 4,\ 5,\ 7,\ 9);\ (2,\ 4,\ 5,\ 8,\ 10)$ ve $(1,\ 4,\ 5,\ 7,\ 9)$ olarak birer kez oynanırsa, Aslı bu oyunlarin kaçını kazanmayı garantileyebilir?

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0