Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama - 2005/Sorular

BİRİNCİ BÖLÜM

[math][/math]

1. Soru

1. Hem % 15 i, hem de % 33 ü tam sayı olan en küçük pozitif sayı nedir?

a) $\dfrac{15}{33}$ b) $\dfrac{20}{33}$ c) $\dfrac{100}{33}$ d) $\dfrac{20}{3}$ e) $\dfrac{100}{3}$

2. Soru

2. Bir okulun kantininde, 1., 2., 3., 4. ve 5. sınıflarda okuyan toplam 30 öğrenci elma yiyor. Her öğrencide en az bir tane olmak üzere, toplam 40 elma vardır. Aynı sınıftaki öğrencilerin aynı sayıda, farklı sınıflardakilerin de farklı sayıda elması varsa, kaç öğrencinin tam olarak üç elması vardır?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3. Soru

3. Aşağıdaki şıklardan hangisindeki koşulları sağlayan tam olarak bir $ABC$ üçgeni vardır?

a) $s(\angle A) = 45^\circ,\ |AB| = 2,\ |BC| = 1$

b) $s(\angle A) = 40^\circ,\ s(\angle B) = 80^\circ,\ s(\angle C) = 60^\circ$

c) $|AB| = 7,\ s(\angle A) = 20^\circ,\ s(\angle B) = 50^\circ$

d) $|AB| = 1, |BC| = 3, |AC| = 5$

e) $s(\angle A) = 30^\circ,\ |AB| = 3,\ |BC| = 2$

4. Soru

4. Bir kentten diğerine giden bir otobüs, yolun ilk yarısını 40 km/saat, ikinci yarısını ise 60 km/ saat hızla gittiyse, otobüsün ortalama hızı kaç km/ saat olmuştur?

a) 45 b) 48 c) 50 d) 52 e) 55

5. Soru

5. Her harf sıfırdan farklı bir rakamı göstermek üzere, $ABCD = 4 \times DCBA$ ise, $B + C$ kaçtır?

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

6. Soru

6. Bir $ABC$ üçgeninin $[AC]$ kenarı üstünde bulunan $D$ noktasından ve $[AB]$ kenarı üstünde bulunan $F$ noktasından geçen doğru, $[CB$ ışınını $E$ noktasında kesiyor. $s(\angle CED)=s(\angle CAB) = 20^\circ$ ise, $s(\angle DFB)+ s(\angle CDF) - s(\angel BCD) - s(\angle sFBC)$ nedir?

a) $20^\circ/4 b) $30\circ$ c) $35^\circ$ d) $40^\circ$ e) Hiçbiri

7. Soru

7.$n_1,\ n_2,\ n_3,\ n_4,\ n_5$ farklı doğal sayılar olmak üzere, $$\left|dfrac1{n_1}+\dfrac1{n_2}+\dfrac1{n_3}+\dfrac1{n_4}+\dfrac1{n_5}-1\right|$$ ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

a) 0 b) $\dfrac1{24}$ c) $\dfrac1{16}$ d) $\dfrac1{12} e) $\dfrac1{8}$

8. Soru

8. Tahtaya soldan sağa doğru yazılı $n$ tane rakamdan, her seferinde üçü hariç diğerlerini silerek tüm üç basamaklı sayılar elde edilebiliyorsa, $n$ en az kaç olabilir?

a) 28 b) 29 c) 30 C) 31 e) 36

9. Soru

9. $E$ noktası, $ABC$ üçgeninin içinde, $D$ ve $F$ noktaları ise, $[AC]$ kenarının üstünde olmak üzere, $ED/|AB,\ EF/BC$ ve $5|DF| = |AC|$ ise, $ABC$ üçgeninin çevresinin $DEF$ üçgeninin çevresine oranı nedir?

a) $\dfrac12$ b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

10. Soru

10. $625^{2005} + 376^{2006} sayısının son üç rakamı nedir?

a) 721 13) 601 c) 371 d) 121 e) 001

11. Soru

11. Bir çember üstünde beş renge boyanmış $n$ nokta var. Bu beş renkten hangi farklı ikisini alırsak alalim, bu renklere boyanmış ardışık iki nokta bulunuyorsa, $n$ en az kaç olabilir?

c) 12 d) 13 e) 14

12. Soru

12. $D$ noktası, $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üstünde; $E$ noktası da $[AC]$ kenarı üstünde olsun. $5|BD| = 3|DC|$ ve $|EC| = 2|AE|$ ise, $ADE$ üçgeninin alanının, $ABD$ üçgeninin alanına oranı nedir?

a) $\dfrac13$ b) $\dfrac49$ c) $\dfrac59$ d) $\dfrac25$ e) Hiçbiri

13. Soru

13. Özdeş iki pul, $8 \times 8$ bir satranç tahtasının karelerine, ikisi birden ne aynı satır, ne aynı sütun, ne de aynı renkte karelerde bulunacak biçimde, kaç farklı şekilde yerleştirilebilir?

a) 768 b) 784 c) 1008 d) 1568 e) 2016

14. Soru

14. $A$ sayısının aşağıdaki değerlerinden hangisi için, $2x - 3y = 1,\ xy = 7$ ve $x^2 + y^2 = A$ eşitliklerinin hepsini birden sağlayan $x,\ y$ gerçel sayıları bulunur?

a) $\dfrac{65}{4}$ b) 10 c) $\dfrac{15}{4}$ d) $\dfrac52$ e) 1

15. Soru

15. $A$ açısı dik olan bir $ABC$ üçgeninin, $A$ köşesinden geçen yüksekliğin ayağı $H$ noktası olsun. $D$ noktası $[HC]$ üstünde ve $E$ noktası $[AH]$ üstünde olmak üzere, $|DC|= 2|BD|,\ BE \perp ED$ ve $|AB| = 1$ ise, $|BE| nedir?

a) $\dfrac12$ b) $\sqrt2$ c) $\dfrac{\sqrt2}{2}$ d) $\sqrt3$ e) $\dfrac{\sqrt3}{3}$

16. Soru

16. Ali, $1 \leq 16 \leq 50$ olmak üzere, bir $k$ tam sayısı tutuyor. Betül, her seferinde, tutulan tam sayının, kendisinin belirleyip söylediği bir tam sayıya bölünüp bölünmediğini soruyor. Ali, Betül'ün her sorusunu “evet” ya da “hayır” diye yanıtlıyor. Ali'nin tuttuğu sayı ne olursa olsun, Betül, bu sayıyı bulmasını garanti etmek için, en az kaç soru hakkı istemelidir?

a) 8 b) 15 c) 25 d) 35 e) 50

17. Soru

17. $k\geq 3$ olmak üzere, $k$ değişik pozitif tam sayıdan herhangi farklı üçünün toplamı bir asal sayı ise, $k$ en çok kaç olabilir?

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) Hiçbiri

18. Soru

18. $AB /| CD$ olmak üzere $ABCD$ ikizkenar yamuğunun $D$ köşesinden geçen bir doğru, $[AC]$ köşegenini $F$ noktasında ve $AB$ doğrusunu, $[AB]$ kenarı dışındaki bir $E$ noktasında kesiyor. $|AC| = |BE|$ ve $s(\angle FAB) = 40^\circ$ ise, $s(\angle DEA)$ nedir?

a) $10^\circ$ b) $20^\circ$ c) $25^\circ$ d) $30^\circ$ e) $35^\circ$

19. Soru

19. Bir çember üstünde, aralarındaki uzaklıkların aldığı farklı değerlerin sayısı 100 den çok olmayacak biçimde $n$ nokta alınıyor. $n$ en çok kaç olabilir?

a) 100 b) 101 c) 102 d) 200 e) 201

20. Soru

20. $x^2 + bx + c = 0$ denkleminin her iki kökü de tam sayı olup, $b + c =306$ ise, bu köklerden küçük olanı kaç farklı değer alabilir?

a) 1 b) 2 c) 3 d) Sonsuz çoklukta e) Hiçbiri

21. Soru

21. $D$ noktası, $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üstünde olmak üzere, $2|AC| = 2|DC| = 3|BD|$ ve $8|AD| = 3|AB|$ ise, $s(\angle BAD)$ nedir?

a) $15^\circ$ b) $30^\circ$ c) $45^\circ$ d) $60^\circ$ e) $75^\circ$

İKİNCİ BÖLÜM

1. Soru

1. Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde, $H$ noktası $[AC]$ kenarı, $D$ noktası da $[BC]$ kenarı üstünde olmak üzere, $BH \perp AC$ ve $HD \perp BC$ dir. $ABH$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O_1$ , $BHD$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O_2$ ve $HDC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O_3$ olsun. $O_1O_2O_3$ üçgeninin alanının, $ABH$ üçgeninin alanına oranını bulunuz.

2. Soru

2. $x^3 + y^3 = (x + y)^2$ eşitliğini sağlayan tüm $(x,\ y)$ tam sayı ikililerini bulunuz.

3. Soru

3. Tüm terimlerinin toplamı negatif ve herhangi üç ardışık teriminin toplamı da pozitif olan bir $a_1,\ a_2,\ \ldots,\ a_{19},\ a_{20}$ tam sayılar dizisinin bulunup bulunmadığını belirleyiniz.