Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama - 2004/Sorular

BİRİNCİ BÖLÜM

1. Soru

1. Beş tam sayının toplamı 3 e bölünüyorsa, bu sayılardan en çok kaç tanesi 3 e bölünmeyebilir?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2. Soru

2. Her $a\geq 0$ gerçel sayısı için, $\left(\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}\right)^4$ aşağıdakilerden hangisine eşittir?

a) $x^5$ b) $x^4\sqrt{x}$ c) $x^3\sqrt{x}$ d) $x^2\sqrt{x}$ e) $\sqrt{x}$

3. Soru

3. $ABCD$ kirişler dörtgeninin $[AC]$ ve $[BD]$ köşegenlerinin kesişim noktası $P,\ |AB|=2,\ |BC| =1 |CD| =3$ ve $\dfrac{|CP|}{|PA|}=\dfrac12$ ise, $|AD|$ kaçtır?

a) $\dfrac{11}{2}$ b) 5 c) $\dfrac92$ d) 4 e) 3

4. Soru

4. Bir su tankerinin tam doluyken toplam ağırlığı 23 ton; yarı yarıya doluyken toplam ağırlığı $y$ ton ise, boş tankerin ağırlığı kaç tondur?

a) $\dfrac{x-y}{2}$ b) $x-y$ c) $x-2y$ d) $2y-x$ e) $2x-2y$

5. Soru

5. $a$ ve $b$, $a + 1 = b$ ve $b < 6$ koşullarını sağlayan pozitif tam sayılar olmak üzere, kaç $(a,\ b)$ sıralı ikilisi için $a^b < b^a$ eşitsizliği sağlanır?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

6. Soru

6. Bir $ABC$ çeşitkenar üçgeninde, $E,\ AB$ üstünde, $F$ de $AC$ üstünde olmak üzere, $CE$ ve $BF$ , sırasıyla $C$ ve $B$ nin iç açıortaylarıdır. $CEA$ ve $BFA$ üçgenlerinin çevrel çemberleri $BC$ kenarı üstünde kesişiyorsa, $s(\angle BAC)$ nedir?

a) $15^\circ$ b) $30^\circ$ c) $45^\circ$ d) $60^\circ$ e) $75^\circ$

7. Soru

7. Ayın birinde pazartesilerin sayısı, salı günlerinin sayısından; cumartesilerin sayısı da çarsamba günlerininkinden çoktur. Bu ayın 7 si, haftanın hangi günüdür?

a) Pazartesi b) Sali c) Çarsamba d) Persembe e) Cuma

8. Soru

8. Ağırlıkları aynı olması gerekmeyen $n$ tane taş, 3 kişi arasında da, 4 kişi arasında da, herkese düşen taşların toplam ağırlığı aynı olacak şekilde paylaştırılabiliyor. $n$ en az kaç olabilir?

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 12

9. Soru

9. Tüm iç açıları eşit olan bir dışbükey $ABCDEF$ altıgeninde $|AB| = 3,\ |BC| = 4,\ |CD| = 5$ ve $|EF|=1$ ise, $|AF|-|DE|$ kaçtır?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) Hiçbiri

10. Soru

10. Ali ve Betül, bir kutudan sırayla şeker alıyor. Önce Ali 1 şeker, sonra Betül 2 şeker, sonra Ali 3 şeker, sonra Betül 4 şeker biçiminde, sırası gelen çocuk, kutuda yeterince şeker kalmışsa, bir önceki seferde diğer çocuğun aldığı şekerin bir fazlasını alıyor. Kutuda yeterli sayıda şeker kalmamışsa, sırası gelen çocuk kutudaki bütün şekerleri alıyor. Ali sonuçta toplam 101 şeker almışsa, başlangıçta kutudaki şeker sayısı nedir?

a) 210 b) 211 c) 220 d) 222 e) 233

11. Soru

11. Altı yüzüne 1, 2, 3,4, 5, 6 sayıları yazılı olan bir küp yüzlerinden biri üstünde dururken, yan yüzlerindeki dört sayının toplamı 14 tür. Aynı küp, başka bir yüzü üstünde dururken, yan yüzlerindeki sayıların toplamı 17 ise, 6 nın bulunduğu yüzün karşısındaki yüzde hangi sayı vardır?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

12. Soru

12. $|AB | = |BC|$ olmak üzere, $ABC$ ikizkenar üçgeninin $[AB]$ ve $[BC]$ kenarları, bu üçgenin içteget çemberine sırasıyla $D$ ve $E$ noktalarında teğettir. $AE$ doğrusu, içteget çemberini $E$ dışında $F$ noktasında; $DF$ doğrusu da $[AC]$ tabanını $G$ noktasında kesiyor. $|AC| = 24$ ise, $|AC|$ kaçtır?

a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9

13. Soru

13. $1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + 99^2$ sayısının son rakamı kaçtır?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 7

14. Soru

14. Bir grup turist, saat 12:00 da otelden ayrılıp, geziye çıkıyor. Grup, daha önce belirlenmiş yol boyunca sabit hızla yürürken, grubun rehberi, saat 12:30 da, müze giriş kartını otelin resepsiyonunda unuttuğunu fark edip, aynı yoldan ve sabit hızla otele geri koşuyor. Grup, hızını değiştirmeden yoluna devam ederken, rehber otelden kartını alıp, hiç zaman yitirmeksizin aynı hızla ve aynı yoldan gruba doğru koşuyor. Grubu saat 14:00 da müzeye varmadan yakalıyor. Rehber otele saat kaçta ulaşmıştır?

a) 1245 b) 1243 c) 1250 d) 1254 e) 13:05

15. Soru

15. $ABC$ üçgeninde $s(\angle BAC)=2s(\angle ABC),\ |AB| = 9,\ |AC| = 6$ ise, $|BC|$ kaçtır?

a) 10 b) 15 c) $3\sqrt6$ d) $2\sqrt{10}$ e) $3\sqrt{10}$

16. Soru

16. $\{1,\2,\ldots,\ 2004\}$ kümesinin tek sayıda eleman içeren kaç altkümesi vardır?

a) $2^{1002}$ b) $2^{2002} - 2$ c) $2^{2003} - 1$ d) $2^{2003}$ e) Hiçbiri

17. Soru

17. $n > 5$ bir tam sayı olmak üzere, $2n + 13$ ve $2n + 27$ sayılarının ortak bölenlerinin en büyüğü $n - 4$ ise, bunların ortak katlarının en küçügü nedir?

a) 105 b) 245 c) 351 d) 851 e) 975

18. Soru

18. Bir $ABC$ dik üçgeninde $s(\angle C) = 90^\circ,\ |AC| = 15$ ve $|BC| = 3$ dir. Bu üçgenin içteget çemberinin merkezi $O$; $[CO]$ ile bu çemberin kesiştiği nokta $D$ ise, $|CD|$ kaçtır?

a) 4 b) $2\\sqrt2$ c) $3(\sqrt2 -1)$ d) $3\sqrt3$ e) $2\sqrt3 +1$

19. Soru

19. On tabanında basamaklarından birini 4, birini 67 diğer ikisini de istenilen herhangi iki $a$ ve $b$ rakamlarının oluşturduğu ve değeri $46(10a + b)$ ye eşit olan kaç tane dört basamaklı sayı vardır?

a) 0 b) 1 c) 3 d) 6 e) 12

20. Soru

20. Toplamları 407 olan üç pozitif tam sayının çarpımı en çok kaç sıfırla biter?

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

21. Soru

21. Bir $ABC$ üçgeninde $s(\angle CAB) = 115^\circ,\ s(\angle ABC) = 25^\circ,\ |CB| = a,\ |AC| = b$ ise, $C$ den $AB$ ye inilen yüksekliğin uzunluğu nedir?

a) $\dfrac{ab}{a+b}$ b) $\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$ c) $\sqrt{a^2+b^2}-\dfrac{a+b}{3}$ d) $\sqrt{a^2+b^2-ab}$ e) $\dfrac{a-b}{ab}$

İKİNCİ BÖLÜM

1. Soru

1. Bir $ABC$ üçgeninde, $D$ noktası $[BC]$ kenarı, $E$ noktası da $[AB]$ kenarı üstünde olmak üzere, $[AD]$ ve $[CE]$ iç açıortayları çiziliyor. $B$ köşesinden $AD$ ve $CE$ dogrularına inilen dikmelerin ayakları sırasıyla $K$ ve $M$ olmak üzere, $|BK| = |BM|$ ise, $ABC$ üçgeninin ikizkenar olduğunu gösteriniz.

2. Soru

2. $n$ pozitif tam sayısı, $n + 6$ sayısını bölen iki pozitif tam sayının toplamı ise, $n$ nin alabileceği tüm değerleri bulunuz.

3. Soru

3. Aynı akşam, bir okuldaki öğrencilerin $\dfrac13$ ünden fazlasi sinemaya, $\dfrac3{10}$ undan fazlası tiyatroya, $\dfrac4{11}$ inden fazlası da konsere gidiyorsa, bu okulda en az kaç öğrenci vardır?