Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama - 2002/Sorular
İçindekiler
BİRİNCİ BÖLÜM[düzenle]
[math][/math]
1. Soru[düzenle]
1. Bir ikizkenar $ABC$ üçgeninde, $[BC]$ tabanının orta noktasını $H$ ; $[BH]$ üzerinde alınan bir noktayı da $P$ ile gösterelim. $P$ den $[BC]$ ye çizilen dik, $AB$ yi $M$; $AC$ yi de $N$ noktasında kesiyor. $|PM| + |PN| = 2|AH|$ ise, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
a) $|BP| = |PH|$ olmalıdır. b) $|BP| = 2|PH|$ olmalıdır. c) $|PH| = 2|BP|$ olmalıdır. d) Böyle bir $P$ noktası yoktur. e) Hiçbiri
2. Soru[düzenle]
2. Görünüşleri aynı olan 101 bilyeden 100 tanesinin ağırlığı aynı olup, birinin ağırlığı diğerlerinden farklıdır. İki kefeli bir teraziyle, ağırlığı farklı olan bilyenin diğerlerinden daha mı hafif, yoksa daha mı ağır oldugunu, en az kaç tartıda bulabiliriz?
a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 11
3. Soru[düzenle]
3. $$\sqrt{x}-3 \geq \sqrt{x-y}$$ eşitsizliğini gerçekleyen bir $x$ gerçel sayısının bulunmasını sağlayan en küçük y gerçel sayısı nedir?
a) 3 b) 4 c) 6 d) 9 e) 12
4. Soru[düzenle]
4. $AD$ nin $BC$ ye paralel olduğu bir $ABCD$ yamuğunda $|AD| = 1$ ve $|BCl = 2$ dir. Yamuğun $[BC]$ tabanına paralel olan bir doğru, $[AB]$ kenarını $P$; $[CD]$ kenarını ise $Q$ noktasında kesiyor. $|AP| : |PB| = 2 : 3$ ise, $|PQ|$ kaçtır?
a) $\dfrac73$ b) $\dfrac74$ c) $\dfrac53$ d) $\dfrac32$ e) $\dfrac75$
5. Soru[düzenle]
5. Bir köyde yetişkin erkeklerin $\dfrac23$ si, yetişkin kadınların da $\dfrac37$ ü evlidir. Evli çiftlerin tümü birlikte köyde yaşıyorsa, bu köydeki yetişkinlerin kaçta kaçı evlidir?
a) $\dfrac{11}{23}$ b) $\dfrac{12}{23}$ c) $\dfrac{5}{11}$ d) $\dfrac{6}{11}$ e) Hiçbiri
6. Soru[düzenle]
6. $n$ pozitif bir tam sayı ve $x$ pozitif bir gerçel sayı olmak üzere, $$xn+\dfrac{1}{x^n}$$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?
a) 1 b) $\dfrac32$ c) $\dfrac43$ d) 2 e) Hiçbiri
7. Soru[düzenle]
7. Kenar uzunluğu 1 olan bir $ABCD$ karesinin $[AC]$ köşegeni üzerinde bir $E$ noktası; $[AB]$ kenarı üzerinde de bir $F$ noktası alınıyor. $|AE| =|EF| = |FB|$ ise, $CEFB$ dörtgeninin alanı kaçtır?
a) $\dfrac12$ b) $\dfrac{\sqrt2}{4}$ c) $\sqrt2-1$ d) $1-\dfrac{\sqrt2}{2}$ e) $\dfrac18(4-\sqrt2)$
8. Soru[düzenle]
8. $$\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{y}$$ eşitliğini sağlayan kaç $(x,\ y)$ asal sıralı ikilisi vardır?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) Sonsuz çoklukta
9. Soru[düzenle]
9. Bir aritmetik dizide ilk 2002 terimin toplamı 10; ilk 10 terimin toplamı da 2002 ise, bu dizinin ortak farkı kaçtır?
a) $-\dfrac{1}{546}$ b) $-\dfrac{1006}{5005}$ c) $\dfrac{1}{1006}$ d) $\dfrac{996}{5005}$ e) Hiçbiri
10. Soru[düzenle]
10. Dışbükey bir dörtgenin iki kenarının uzunlukları 1 ve 4 olup, bu dörtgeni 2 uzunluğundaki bir köşegeni dörtgeni iki ikizkenar üçgene ayırıyorsa, bu dörtgenin çevresi kaçtır?
a) 11 b) $\dfrac{25}{2}$ c) 13 d) 14 e) $\dfrac{29}{2}$
11. Soru[düzenle]
11. Kendisiyle, ondalık gösterimindeki basamakların ters sırada yazılmasıyla elde edilen sayının toplamı bir tam kareye eşit olan kaç tane iki basamaklı pozitif tam sayı vardır?
a) 0 b) 2 c) 6 d) 8 e) 10
12. Soru[düzenle]
12. $5(x + y) = xy$ eşitliğini sağlayan kaç $(x,\ y)$ sıralı tam sayı ikilisi vardır?
a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) Hiçbiri
13. Soru[düzenle]
13. Bir $ABC$ üçgeninde $s(\angle B)=s(\angle C)=90^\circ$ dir. Yüksekliklerin kesişim noktası $H$ olduğuna göre, $\dfrac{Alan(ABC)}{Alan(HBC)}$ nedir?
a) $\dfrac12$ b) $\dfrac23$ c) 1 d) $\dfrac32$ e) 2
14. Soru[düzenle]
14. $P(x) = x^2 + ax + b$ fonksiyonu, $P(-1) > 0$ ve $P\left(\dfrac12\right)< 0$ koşullarını sağlıyorsa, $P(2)$ aşağıdakilerden hangisi olamaz?
a) $3\sqrt3 b) $1 + \sqrt2$ c) $6 - \sqrt3$ d) $-2$ e) Hiçbiri
15. Soru[düzenle]
15. $p$ asal sayısının $n$ yi bölmesinin, $p - 1$ in $n - 1$ sayısını bölmesini gerektirdiği, ondalık yazımı iki basamaklı olan kaç $n$ çift pozitif tam sayısı vardır?
a)1 b)2 c)3 d)4 e)5
16. Soru[düzenle]
16. Bir $ABCD$ dikdörtgeninin iç bölgesinde bulunan bir $P$ noktası için, $|PB| = 5,\ |PC| = 10$ ve $|PD| = 14$ ise, $|PAl$ nedir?
a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15
17. Soru[düzenle]
17. $a,\ b,\ c \in \{0,\ 1,\ldots,\ 9\}$ ve $abc,\ ab,\ a$ üç sayının ondalık yazılımları olmak üzere, $abc - ab - a = 2002$ ise, $b$ kaçtır?
a)5 b)4 c)3 d)2 e)1
18. Soru[düzenle]
18. $x,\ y \in \{0,\1,\ldots,\ 9\}$ olmak üzere ondalık yazılımı $2x57y3$ olan bir sayının 33 ile bölünmesini sağlayan kaç $(x,\ y)$ sıralı ikilisi vardır?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) Hiçbiri
19. Soru[düzenle]
19. Bir $ABCD$ paralelkenarının alanı 20 olup, $[BC]$ kenarının orta noktası $P$ dir. $PA$ doğrusu, $[BD]$ köşegenini $R$ noktasında kesiyorsa, $Alan(PRDC)$ kaçtır?
a) $\dfrac{25}{3}$ b) 9 C) 10 d) 12 e) $\dfrac{25}{2}$
20. Soru[düzenle]
20. $x_1\leq x_2\leq x_3$ asal sayıları,
$$\begin{eqnarray*} x_1+x_2+x_3=&68\\ x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=&1121 \end{eqnarray*}$$
eşitliklerini sağlıyorsa, $x_2$ kaçtır?
a) 7 b) 13 c) 19 d) 23 e) 29
21. Soru[düzenle]
21. Bir satranç turnuvasına katılan her oyuncu, diğer oyunculardan her biriyle tam olarak bir kez karşılaşıyor. Her oyunda, yenen oyuncu 1, yenilen ise 0 puan kazanırken, beraberlik durumunda her oyuncu 1/2 puan kazanıyor. Turnuvanın bitiminde, oyunculardan her birinin, elde ettiği toplam puanın tam olarak yarısını, en düşük toplam puanlı üç oyuncu ile yaptığı karşılaşmalardan elde etmiş olduğu gözleniyor. Bu turnuvaya kaç oyuncu katılmıştır?
a) 4 b) 5 c) 6 d) 9 e) 10
İKİNCİ BÖLÜM[düzenle]
1. Soru[düzenle]
1. $AD$ nin $BC$ ye paralel olduğu bir $ABCD$ yamuğunda, $|AC| = 8$ ve $|BD| = 6$ dır. $[AD]$ ve $[BC]$ nin orta noktaları sırasıyla $P$ ve $S$ olmak üzere, $|PS| = 5$ ise, $ABCD$ yamuğunun alanını bulunuz.
2. Soru[düzenle]
Aşağıdaki şekli, keserek,
ve
şeklinde parçalara ayırıyoruz. Bunun sonucunda,
şeklindeki parçalardan kaç tane oluşabileceğini bulunuz.
3. Soru[düzenle]
$2^m + 1$ sayısının $2^n − 1$ ile bölünmesini sağlayan tüm $(m, n)$ pozitif tam sayı sıralı ikililerini bulunuz.
