Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama - 2017/Sorular

[math][/math]

1. Soru

1. $210^9$ doğal sayısının pozitif bölenlerinin kaç tanesi $4,\ 9,\ 25,\ 49$ doğal sayılarından en az ikisine tam bölünür?

A) 9984 B) 9744 C) 9728 D) 9648 E) 9216

2. Soru

2. $x,\ y \geq -2017$ olmak üzere, $ \dfrac{x}{x-y+2017}- \dfrac{y}{x-y-2017}=1$ denklemini sağlayan kaç farklı $(x, y)$ tam sayı ikilileri vardır?

A) 4033 B) 4034 C) 6051 D) 6052 E) 8068

3. Soru

3. Tepe açısı $S (A) = 100^\circ$ olan $ABC$ ikizkenar üçgeninde $C$ açısının açıortayı $AB$ kenarını $D$ noktasında kesiyor. $|AD| = x,\ |DC| = y$ ise $|BC|$ ’nin $x$ ve $y$ cinsinden değeri hangisidir?

A) $x+2y\cos 40^\circ$ B) $y+2x\cos 20^\circ$ C) $y+2x$ D) $3x—y$ E) $x+y$

4. Soru

4. Beş basamaklı bir sayının birler ve onlar basamağı silindiğinde tam kare olan üç basamaklı bir sayı elde edilmektedir, ayrıca bu sayının binler ve on binler basamağı silindiğinde de tam kare olan üç basamaklı bir sayı elde edilmektedir. Bu özelliklere sahip kaç farklı beş basamaklı doğal sayı vardır?

A) 52 B) 54 C) 57 D) 58 E) 60

5. Soru

5. 7 kişi, zemin katta bulunan bir asansöre binip, her katta en az bir kişi inecek şekilde dört kat çıkıyor ve dördüncü katta asansör tamamen boşalıyor. Bu asansör kaç farklı şekilde kullanılır?

A) 8400 B) 8449 C) 8456 D) 9114 E) 9149

6. Soru

6. $a,\b,\ c$ sayıları $x^3 + x —1 = 0$ denkleminin kökleri olsun. Aşağıdaki denklemlerden hangisinin kökleri $a\cdot b,\ b\cdot c,\ c\cdot a$ olur?

A) $x^3—x—1=0$ B) $x^3—x^2+1=0$ c) $x^3—x^2—x—1=0 D) $x^3—x+1=0$ E) $x^3—x^2—l=0$

7. Soru

7. $|AB| = 2 |BC|$ olan $ABCD$ dikdörtgenin içinde $3 (EAB) = s(ABE) = 15^\circ$ olacak şekilde bir $E$ noktası alınıyor. $|AE| = 2$ ise $|CE| =$?

A) $2\sqrt{2+\sqrt3}$ B) $\sqrt{4+\sqrt3}$ C) $\sqrt{6+\sqrt3}$ D) $2\sqrt{1+\sqrt3}$ E) $\sqrt{2+2\sqrt3}$

8. Soru

8. $n$ , pozitif bir tam sayı olmak üzere, $(n + 2)^4$ sayısının $(n + 1)^4$ sayısına bölümünden kalan $K_n$ olsun. $K_n$ sayısının 4 ile bölümünden kalan $R_n$ ise $$R_1+R_2+R_3+\ldots+R_{2016}+R_{2017}=?$$

A) 2016 B) 2017 C) 4030 D) 4031 E) 6053

9. Soru

9. İçi dolu bir küre, merkezinden geçen 100 düzlem ile en fazla kaç parçaya bölünür?

A) $2^{100} — 2$ B) 9898 C) $2^{198} + 2$ D) $3^{100} +2$ E) 9902

10. Soru

10. \left. \begin{align*} x-2y+xy=1+\sqrt{10}\\ x^2+4y^2=3 \end{align*} \right\} ise $|x-2y-2|=?$

A) $2\sqrt2-\sqrt5$ B) $\sqrt{10}-1$ C) $\sqrt{-2+\sqrt{10}}$ D) $\sqrt5-\sqrt2$ E) $-3+\sqrt{10}$

11. Soru

11. $ABCD$ dışbükey dörtgeninde $ABD$, tepe açısı $A = 60 + 2x$ olan ikizkenar bir üçgendir. $s(BAC) = s(BCA) = x$ ise $S(DCA) =$ ?

A) 30 B) $30+x$ C) $30—x$ D) $30—2x$ E) 25

12. Soru

12. $n$ pozitif bir tam sayı olsun. $$x+y=n$$ $$xy = n + 65$$ sisteminin $(x,\ y)$ gerçel çözümlerinin olması için $n$ nin en küçük değeri kaçtır?

A) 21 B) 19 C) 18 D) 17 E) 16

13. Soru

13. $$\sum_{k+l=0}^{97} {100 \choose k}{100-k \choose l}{100-k-l \choose 97-k-l}=?$$

A) $3^{100}\cdot 53900$ B) $3^{97}\cdot 107800$ C) $3^{105}\cdot 10780$ D) $3^{100}\cdot 107800$ E) $3^{98}\cdot 53900$

14. Soru

14. $x,\ y,\ z,\ w,\ v$ negatif olmayan tam sayılardır. $$x^2 +y^2 +z^2 +w^2 +v^2 =40$$ denklemini gerçekleyen tüm $(x,\ y,\ z,\ w,\ v)$ tam sayı beşlilerinin sayısı kaçtır?

A) 56 B) 66 C) 112 D) 120 E) 122

15. Soru

15. Düzlemde $A(1,\ 0),\ B (5,\ 2)$ noktaları veriliyor. $y = x + 2$ doğrusu üzerinde, $|AC|^2 + |CB|^2$ minimum olmasını sağlayan bir $C$ noktası alınıyor. Bu durumda $|AC|^2 +|CB|^2 = ?$

A)26 B) $\dfrac{425}{16}$ C) $\dfrac{53}{2}$ D) $\dfrac{105}{4}$ E) 25

16. Soru

16. $p$ bir tek asal sayı olmak üzere, $\sqrt{x(x-p^2)}$ sayısının bir tam sayı olmasını sağlayan $x$ pozitif tam sayılarından en büyüğü ile en küçüğü arasındaki fark aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\dfrac{p^2+1}{4}$ B) $\dfrac{p^4+1}{4}$ C) $\left(\dfrac{p^2+1}{2}\right)^2$ D) $\left(\dfrac{p^2-1}{2}\right)^2$ E) $\dfrac{(p^2+1)(p^2-p+1)}{4}$

17. Soru

17. KARPUZ kelimesinin harfleri ile yazılabilecek olan tüm kelimelerin kaç tanesinde ya K, A’dan önce, ya da R, A’den sonra, ya da R, P’den öncedir? (Burada önce ya da sonra ifadeleri yan yana olmaları gerektiği anlamına gelmez)

A) 696 B) 690 C) 660 D) 600 E) 580

18. Soru

18. $n = l,\ 2,\ 3,\ldots$ doğal sayıları için $a_n = 2-\dfrac{1}{n^2-\sqrt{n^4+\dfrac14}}$ ise $$ \dfrac{1}{\sqrt{a_1}}+\dfrac{2}{\sqrt{a_2}}+\dfrac{3}{\sqrt{a_3}}+\ldots+\dfrac{19}{\sqrt{a_{19}}}+\dfrac{20}{\sqrt{a_{20}}} $$

A)$\dfrac{\sqrt{761}+1}{4}$ B) $\dfrac{\sqrt{761}-1}{4}$ C) 20 D) 19 E) 7

19. Soru

19. Bir kenarı 12 olan $ABCD$ karesinde $|AE| = 3,\ |AF| = 4$ olacak şekilde $AB$ ve $AD$ kenarları üzerinde sırasıyla $E$ ve $F$ noktaları alınıyor. Kare içinde bir tabanı $EF$ ve diğer tabanın köşeleri $BC$ ve $DC$ kenarları üzerinde olan maksimum alana sahip yamuğun alanı kaçtır?

A) 76 B) 74 C) $\dfrac{147}{2}$ D) 73 E) $\dfrac{145}{2}$

20. Soru

20. $\sum_{n=1}^{30} n^{61} \equiv x \pmod{31^2}$ ise $x=$?

A) 404 B) 434 C) 465 D) 496 E) 527

21. Soru

21. $l,\ 2,\ 3,\ 3,\ 5,\ 5,\ 8,\ 8$ rakamlarını kullanarak aynı olan rakamlar yan yana olmayacak şekilde oluşturulabilen beş basamaklı kaç farklı şifre vardır?

A) 980 B) 840 C) 720 D) 660 E) 580

22. Soru

22. $f(0)= \dfrac{2}{3}$ ve $n =1,\ 2,\ 3,\ldots$ için $f(n) \neq 0$ ve $\left(f(n+1)—1\right)\left(f(n)+3\right)+3=0$ olduğuna göre $ \dfrac{1}{f(0)}+\dfrac{1}{f(1)}+\dfrac{1}{f(2)}+\dfrac{1}{f(3)}+\ldots+\dfrac{1}{f(2016)}+\dfrac{1}{f(2017)}=?$

A) $3^{2018} —1010$ B) $3^{2017} —1009$ C) $2\cdot3^{2018} —1009$ D) $2\cdot\left(3^{2017} —505\right)$ E) $2\cdot3^{2017} —1009$

23. Soru

23. $|AB|=|AC|$ ve $\tan B = \dfrac{5}{12}$ olan $ABC$ üçgeni veriliyor. Yarıçapı 1 olan bir çember $AB$ ve $AC$ kenarlarına sırasıyla $K$ ve $L$ noktalarında teğet olup $BC$ kenarını $P$ ve $Q$ noktalarında kesmektedir. $P,\ B$ ile $Q$ arasında ve $|BK|= \dfrac{12}{5}$ ise $BQK$ üçgeninin alanı kaçtır?

A) $\dfrac{3}{2}$ B) $\dfrac{8}{5}$ C) $\dfrac{108}{65}$ D) $\dfrac{25}{13}$ E) $\dfrac{144}{65}$

24. Soru

24. $n^2 —1$, üç farklı asal sayının çarpımı şeklinde yazılabilen bir doğal sayıdır. Bu özelliği gerçekleyen en küçük birbirinden farklı ilk beş $n$ sayısının toplamı kaçtır?

A) 104 B) 110 C) 116 D) 124 E)144

25. Soru

25. Ali 7 arkadaşını bir hafta boyunca haftanın her günü 3’lü gruplar şeklinde akşam yemeğine davet etmektedir. Arkadaşlarından herhangi ikisi sadece bir akşam bir arada olmaları koşuluyla Ali, bu daveti kaç farklı şekilde gerçekler?

A) $15\cdot 7!$ B) $30\cdot7!$ C) $35\cdot7!$ D) $42\cdot7!$ E) $60\cdot7!$

26. Soru

26. $f (x) = x^3 —l2x^2 + Ax +B$, gerçel sayılarda tanımlı artan bir fonksiyon olsun. $\left(fofof\right)(3)=3$ ve $\left(fofofof\right)(4)=4$ ise $f(7)=$?

A)7 B) 12 C)31 D) 38 E) 42

27. Soru

27. $s(A) = 60^\circ$ olan $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi çiziliyor. $B$ köşesinden çizilen teğet doğru ile $CA$ kenarının uzantısı $D$ noktasında kesişiyor. Burada $A$ noktası, $C$ ile $D$ arasındadır. $|DC| = 4,\ |AB| + |AD| = |AC| ise $ \dfrac{|BC|}{|AB|}=?$

A)2 B) $\dfrac{\sqrt3}{2}$ C) $\dfrac{3}{2} D) $\sqrt2$ E) $\sqrt3$

28. Soru

28. $A = 64 \cdot 10^{2014}\cdot\left(a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{2017}\right)$ koşulunu sağlayan en büyük 2017 basamaklı $A = a_1a_2a_3\ldots a_{2017}$ doğal sayısının rakamlar toplamı kaçtır?

A) 11 B) 13 C) 15 D) 19 E) 2017

29. Soru

29. $${2017\choose 1}+{2017\choose 5}+{2017\choose 9}+{2017\choose 13}+\ldots+{2017\choose 2013}+{2017\choose 2017}=?$$

A) $2^{2016} + 2^{1006}$ B) $2^{2017} - 2^{1007}$ C) $2^{2015} +2^{1005} D) $2^{2015} + 2^{1007} E) $2^{2017} - 2^{1008}$

30. Soru

30. $1001^{20}$ sayısının son 12 rakamının toplamı kaçtır?

A) 15 B) 18 C)21 D) 24 E) 32

31. Soru

31. $|AB| = |B C|$ olan $ABC$ ikizkenar üçgeninin $AC$ kenarına $A$ noktasında teğet ve $B$ noktasından geçen merkezi üçgenin dışında olan çember çiziliyor. Bu çember $BC$ kenarını $E$ noktasında kesmektedir. $2|BE| = 3 |EC|$ ve $ABC$ üçgeninin alanı 27 ise çemberin yarıçapı kaçtır?

A) 4 B) $\dfrac{9}{2}$ C) 5 D) $\dfrac{23}{4}$ E) 6

32. Soru

32. $3^{2^{2017}} —1$ sayısının 2^{2020} sayısına bölümünden kalan kaçtır?

A) $2^{2017}$ B) $2^{2019}$ C) $2^{2017} +1$ D) $2^{2018} +1$ E) $2^{2018} + 2$