Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama - 2016/Sorular

[math][/math]

1. Soru

1. $AB \| CD$ ve $|AB| > |CD|$ olan bir $ABCD$ yamuğunda $AC$ ve $BD$ köşegenlerinin kesişim noktası $E$ dir. $DEC$ üçgeninin çevrel çemberine $E$ noktasında teğet olan doğru $[AB$ ışınını $F$ noktasında kesiyor. $|AF| = 9,\ |AB| = 5$ ise $|EF|$ kaçtır?

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

2. Soru

2. $n^2 + mn + 14 = 7n + 3m$ denklemini sağlayan kaç farklı $(m,\ n)$ tam sayı ikilisi vardır?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Hiçbiri

3. Soru

3. $abc = 2$ koşulunu sağlayan $a,\ b,\ c$ pozitif gerçel sayıları için $a^2 + 2b^2 +4c^2 — 6b$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) Hiçbiri

4. Soru

4. $24 \times 24$ satranç tahtasının bazı birim karelerine birer taş nasıl yerleştirilirse yerleştirilsin, her taşı $k$ renkten birine, aynı satır veya aynı sütun üzerinde olup aralarında başka taş bulunmayan herhangi iki taşın rengi farklı olacak şekilde boyayabiliyorsak, $k$ nın alabileceği en küçük değer nedir?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

5. Soru

5. Bir $ABC$ üçgeninde $m(BAC) 45^\circ$ ve $[AC]$ üzerinde alınan bir $D$ noktası için $m(DBC) = 90^\circ$ dir. $ \dfrac{|CD|}{|AB|}= 2\sqrt2$ ise $m(BDC)$ nedir?

a) $52.5^\circ$ b) $60^\circ$ c) $67.5^\circ$ d) $75^\circ$ e) $90^\circ$

6. Soru

6. $n$ bir pozitif tam sayı ve $a_1,, a_2,\ \ldots,\ a_n$ birer tam sayı olmak üzere her $i = 1,\ 2,\ \ldots,\ n$ için $b_i = a_i^2$ olarak tanımlanıyor. Hiçbir $(a_1,, a_2,\ \ldots,\ a_n)$ tam sayı $n$-lisi için $2^{b_1} + 2^{b_1} + \ldots + 2^{b_n} — n^2$ ifadesi 7 ile tanı bölünmüyorsa $n$ kaç farklı değer alabilir?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Sonsuz çoklukta

7. Soru

7. Bir $f: \mathbb{R}\\ \left\{ -\dfrac{2}{7},\ \dfrac{1}{7} \right\} \rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonu, tanım kümesinde bulunan her $x$ için $$f(x)+f\left( \dfrac{x-1}{7x+2} \right)=x$$ eşitliğini sağlıyorsa $f (1)$ aşağıdakilerden hangisine eşit olabilir?

a) $ \dfrac{1}{7}$ b) $ \dfrac{1}{4}$ c) $ \dfrac{2}{7} d) $ \dfrac{1}{2}$ e) Hiçbiri

8. Soru

8. Başlangıçta masa üzerinde her biri 51 gram süt içeren birkaç bardak bulunuyor. Bir kedi her işlemde Önce masadaki her bardaktan 3 gram süt içiyor, daha sonra bir bardak alıp bu bardaktaki sütü diğer bardaklara eşit olarak dağıtıyor ve boş bardağı masadan atıyor. Birkaç işlem sonucunda masada tek bir bardak kalıyor. Bu son bardakta yine 51 gram süt bulunuyorsa kedi toplamda kaç gram süt içmiştir?

a) 1530 b) 1581 c) 1632 d) 1683 e) 1734

9. Soru

9. Bir $ABC$ üçgeninde iç teğet çember $BC,\ CA,\ AB$ kenarlarına sırasıyla $D,\ E,\ F$ noktalarında teğettir. $EF$ doğrusu $[CB$ ışınını $P$ noktasında kesiyor. Buna göre $|BD| = 1,\ |CD| = 3,\ |PF| =\sqrt5$ ise $|CA|$ uzunluğu kaçtır?

a) 4 b) $2\sqrt5$ G) 5 d) $4\sqrt2$ e) 6

10. Soru

10. $p \in \{7,11,13,17,19\}$ olmak üzere kaç farklı $p$ asal sayısı için $a^2 + b + 1$ ve $b^2 + a + 1$ sayılarının her ikisi de $p$ ile tam bölünecek biçimde $a$ ve $b$ tam sayıları bulunabilir?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

11. Soru

11. \begin{align*} (x+2y)(y+2z)(z+2x) = 1\\ (2x + y)(2y + z)(2z + x) = 2\\ (x+y)(y+z)(z+x) = 3 \end{align*} denklem sistemini sağlayan $x,\ y,\ z$ gerçel sayıları için $xyz$ ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşit olabilir?

a) $ -\dfrac{1}{2}$ b) $ - \dfrac{5}{2}$ c) $\dfrac{1}{4}$ d) $\dfrac{5}{4}$ e) Hiçbiri

12. Soru

12. İki basamaklı sayılardan oluşan her $\{a_1,\ a_2,\ \ldots,\ a_n\}$ kümesinin herhangi ikisinin her iki basamağı birbirinden farklı olan 5 elemanı bulunuyorsa, $n$ en az kaç olabilir?

a) 38 b) 41 c) 45 d) 51 e) Hiçbiri

13. Soru

13. Bir $ABC$ üçgeninin $BC$ kenarına ait diş teğet çemberinin merkezi $O$ olsun. $O$ dan geçen bir doğru $AB$ ve $AC$ doğrularını sırasıyla $D$ ve $E$ de kesiyor. $|AD| > |AB|,\ |AE| > |AC|,\ |AD| = |AE|,\ |BD| = 9,\ |OD| = 8,\ |OC| = 4 ise $|OB|$ kaçtır?

a) 4 b) $\dfrac{9}{2}$ c) 5 d) $\dfrac{11}{2}$ e)6

14. Soru

14. $3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13$ sayılarından kaç tanesi $(n + 3)(n + 7)(n + 11)(n + 15) + 257$ ifadesini hiçbir $n$ tam sayısı için tam bölemez?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

15. Soru

15. $1 \leq |a|,|b|,|c| \leq 10,\ a \neq c$ ve $b^2 \geq 4ac$ koşullarını sağlayan $a,\ b,\ c$ tam sayıları için $ax^2 + bx + c = 0$ denkleminin en küçük kökü ile $cx^2 + bx + a = 0$ denkleminin en büyük kökü birbirine eşitse $(a, b, c)$ üçlüsüne karesel üçlü diyelim. Kaç farklı karesel üçlü vardır?

a) 20 b) 40 c) 50 d) 60 e) 80

16. Soru

16. $1,\ 2,\ \ldots,\ 2016$ sayılarının her biri $k$ renkten birine, $a | b$ ve $b | c$ koşullarını sağlayan herhangi üç farklı $a,\ b$ ve $c$ sayıları aynı renkte olmayacak şekilde boyanabiliyorsa, $k$ en az kaç olabilir?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

17. Soru

17. Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin $AD$ kenarortayı, $BE$ yüksekliği ve $CF$ iç açıortayı noktadaştır. $|BC| = 10,\ |CA| = 6$ ise $|AB|$ kaçtır?

a) $4\sqrt5 b) 9 c) $\sqrt{85}$ d) $3\sqrt{10}$ e) $\sqrt{91}$

18. Soru

18. $n$ bir pozitif tam sayı, $p$ bir asal sayı, $d_1$ ve $d_2$ ise $n$ sayısının birbirinden farklı iki pozitif tam böleni olmak üzere n = p(d_1 + d_2)$ biçiminde yazılabiliyorsa $n$ sayısına dengeli sayı diyelim. 100 den küçük kaç dengeli sayı vardır?

a) 11 b) 17 c) 24 d) 30 e) Hiçbiri

19. Soru

19. Gerçel katsayılı bir $P$ polinomu $P(1) = 1$ ve her $x,\ y$ gerçel sayıları için $P(x) + P(y) : P(x + y) — 2xy + 1$ koşullarını sağlıyor. Buna göre $P(x)$ in alabileceği en küçük değer nedir?

a) $\dfrac{1}{4}$ ) b) $\dfrac{1}{3}$ c) $\dfrac{1}{2} d) $\dfrac{2}{3}$ e) $\dfrac{3}{4}$

20. Soru

20. Kaç $n \in \{12,\ 18,\ 42,\ 60,\ 72\}$ değeri için $1,\ 2,\ \ldots,\ n$ sayıları herhangi iki komşu sayının toplamı asal sayı olacak şekilde sıraya dizilebilir?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

21. Soru

21. $|AB| = 13,\ |BC| = 4,\ |CA| = 15$ olan bir $ABC$ üçgeninde iç teğet çemberin merkezi $I$ ve $BC$ kenarının orta noktası $M$ dir. $IM$ doğrusu $BC$ kenarına ait yüksekliği $K$ de kesiyor. Buna göre $|AK|$ kaçtır?

a) $\dfrac{3}{2}$ b) 2 c) $\dfrac{5}{2}$ d) 3 e) $\dfrac{7}{2}$

22. Soru

22. Pozitif tam sayılardan oluşan bir $\left(a_n\right)_{n=1}^\infty$ dizisinin terimleri her $n \geq 1$ için $a_n+1 = a_n^3 + 1376$ eşitliğini sağlamaktadır. Buna göre bu dizinin terimleri arasında en fazla kaç tane tam kare olabilir?

a) 1 b) 2 c) 3 d) Sonsuz çoklukta e) Hiçbiri

23. Soru

23. Tüm terimleri birbirinden ve sıfırdan farklı bir $\left(a_n\right)_{n=0}^\infty$ gerçel sayı dizisi $a_0=\sqrt2$ ve her $n \geq 1$ için $a_na_{n+}=2\left(1+ \dfrac{a_{n+1}}{a_{n-1}}\right) koşulunu sağlıyor. Buna göre $a_1\cdot a_2 \cdots a_{2016}$ çarpımının alabileceği kaç farklı değer vardır?

a) 1 b) 2 c) 4 d) Sonsuz çoklukta e) Hiçbiri

24. Soru

24. Elimizde 12 kırmızı ve 12 beyaz top bulunuyor. Bir doğru üzerindeki 6 boş kutunun her birine bu toplardan 2 tanesi, herhangi iki komşu kutuda aynı renkli top bulunması koşuluyla kaç farklı biçimde dağıtılabilir?

a) 204 b) 216 c) 228 d) 239 e) 251

25. Soru

25. Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde $BC$ kenarına ait yükseklik $C$ den geçen ve $AB$ doğrusuna $A$ da teğet olan çemberi ikinci kez $K$ de kesiyor. Benzer şekilde $AC$ kenarına ait yükseklik $C$ den geçen ve $AB$ doğrusuna $B$ de teğet olan çemberi ikinci kez $L$ de kesiyor. $|CK| = 12,\ |KL| = 9$ ise $|CL|$ uzunluğunun alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

a) 12 b) 15 c) 18 d) 21 e) 24

26. Soru

26. ${3n \choose n}$ ifadesinin 2016 ile tam bölünmesini sağlayan en küçük $n$ pozitif tam sayısı kaçtır?

a) 11 b) 23 C) 31 d) 43 e) Hiçbiri

27. Soru

27. $P(x) = (x^3 + x + 1)(x^3 — 3x^2 + 4x — 3)^ polinomunun gerçel köklerinin toplamı kaçtır?

a) —1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3

28. Soru

28. Bir torbada başlangıçta 2016 adet eşit uzunluklu çubuk bulunuyor. Her işlemde bir çubuk seçilip iki eşit parçaya bölünüyor. İşlemler nasıl yapılırsa yapılsın torbada her zaman en az $n$ tane eşit uzunluklu çubuk bulunuyorsa, $n$ nin alabileceği en büyük değer nedir?

a) 2 b) 505 c) 756 d) 1009 e) 1511

29. Soru

29. $m(ABD) = 45^\circ$ koşulunu sağlayan bir $ABCD$ kirişler dörtgeninde $CD$ doğrusu $[BA$ 1ş1n1n1E de kesiyor. $|AB| + |BD| = |AE|$ ve $|ED| = 2|AC|$ ise $m(DEB)$ nedir?

a) $15^\circ$ b) $22.5^\circ$ c) $30^\circ$ d) $37.5^\circ$ e) $45^\circ$

30. Soru

30. $23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41$ sayılarından kaç tanesi en az bir $(m,\ n)$ pozitif tam sayı ikilisi için $m^7 — n^7 — 3$ sayısını tam böler?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

31. Soru

31. $a^3 + b^3 + c^3 — 3abc = 1$ koşulunu sağlayan $a,\ b,\ c$ pozitif gerçel sayıları için $(a — b)^2 + (b — c)^2 + (c — a)^2$ ifadesi $2016^{-2},\ 2016^{-1},\ 1,\ 2016$ sayılarından kaç tanesine eşit olabilir?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

32. Soru

32. Aslı ve Berk başlangıçta birkaç sayı yazılmış tahtada sırayla hamle yaparak bir oyun oynuyorlar. Sırası gelen oyuncu tahtadaki bir sayıyı siliyor veya tahtadaki bir sayıyı silip yerine o sayının bir fazlasını, tahtadaki tüm sayıların birbirinden farklı olması ve hiçbirinin 24 ü aşmaması koşuluyla yazıyor. Oyunu son hamleyi yapan oyuncu kazanıyor. Oyuna her seferinde Aslı başlamak üzere, oyun tahtadaki sayılar $\{2, 3, 22, 23\},\ \{1, 2, 3, 21, 22, 23\},\ \{1, 7, 12, 13, 19,24\},\ {5, 6, 11, 17, 18\}$ ve $\{10,11,12,13,14\}$ olarak birer kez oynanırsa, Asli bu oyunların kaç1n1 kazanmayı garantileyebilir?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5