Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama - 2015/Sorular

[math][/math]

1. Soru

1. Bir $ABCD$ dikdörtgeninin iç bölgesinde $EF \| AC$ olacak şekilde $E$ ve $F$ noktalari veriliyor. $E$ ve $F$ nin AB kenari üzerindeki izdüşümleri ile beraber oluşturdukları yamuğun alanı 3, $BC$ kenarı üzerindeki izdüşümleri ile beraber oluşturdukları yamuğun alanı 4, $CD$ kenarı üzerindeki izdüşümleri ile beraber oluşturdukları yamuğun alanı 5 olduğuna göre, $AD$ kenarı üzerindeki izdüşümleri ile beraber oluşturdukları yamuğun alani kaçtır?

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) Hiçbiri

2. Soru

2. Birkaç pozitif tam sayının en küçük ortak katları 2015 ise bu sayıların toplamı en az kaç olabilir?

a) 13 b) 22 c) 49 d) 65 e) 96

3. Soru

3. $1, \dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{4},\ \dfrac{1}{8},\ldots$ sonsuz geometrik dizisinin bazı elemanlari silinerek toplami $S$ ye eşit olan bir sonsuz geometrik dizi elde edilebiliyorsa, $S$ sayısı $ \dfrac{1}{2015},\ \dfrac{1}{215},\ \dfrac{1}{15},\ \dfrac{1}{5}$ degerlerınden kaçına eşıt olabılır?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

4. Soru

4. Düzlemdeki $n$ doğrunun her biri diğer doğruların tam olarak 2015 tanesiyle kesişiyorsa, $n$ kaç farklı değer alabilir?

a) 1 b) 3 c) 6 d) 8 e) 10

5. Soru

5. Bir $ABCD$ karesinin $[AC]$ köşegeni üzerinde $|AE| = |EF| = |FC|$ olacak şekilde $E$ ve $F$ noktalari aliniyor. $ACD$ üçgeninin iç bölgesinde bulunan ve $AD$ kenarina teğet olan $O_1$ merkezli bir çember $AC$ kenarina da $E$ noktasında teğettir. Benzer şekilde $ACD$ üçgeninin iç bölgesinde bulunan ve $CD$ kenarına teğet olan $O_2$ merkezli bir çember $AC$ kenarına da $F$ noktasında teğettir. Buna göre $BO_1O_2$ üçgeninin alanının $DO_1O_2$ üçgeninin alanina orani kaçtır?

a) $ \dfrac{13+12\sqrt2}{17}$ b) $ \dfrac{3+\sqrt2}{5}$ c) $ \dfrac{7+4\sqrt2}{13}$ d) $ \dfrac{12+5\sqrt2}{9} e) $ \dfrac{18+8\sqrt2}{21}

6. Soru

6. $2323^{2323}$ ün pozitif tam bölenlerinin bazılarından oluşan $\{a_1,\ a_2,\ldots ,a_n\}$ kümesinde hiçbir eleman bir diğerini tam bölmüyorsa, $n$ nin alabileceği en büyük değer nedir?

a) 2322 b) 2323 C) 2324 d) 2325 e) Hiçbiri

7. Soru

7. $xy(x — y) = 1$ ve $x^2 — xy + y^2 = y + 1$ koşullarını sağlayan $(x,\ y)$ gerçel sayı ikilileri için $x^2 + y^2$ ifadesinin alabileceği en büyük ve en küçük değerlerin farki kaçtır?

a) 1 b) $\sqrt2$ c) $\sqrt3$ d) 2 e) $\sqrt5$

8. Soru

8. $a_i \in \{0,1\}$ olmak üzere, kaç $(a_1,\ a_2, \ldots ,a_{11})$ onbirlisi $a_1 +a_2 +a_3 +a_4 +a_5 \geq a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} + a_{11}$ koşulunu sağlar?

a) 682 b) 758 c) 864 d) 956 e) 1024

9. Soru

9. Bir $ABC$ üçgeninin $A$ köşesinden geçen iç açıertay ile $B$ köşesinden geçen kenarortay $P$ noktasında kesişiyor. $|AP| =\sqrt3,\ |BP| = 1,\ |CP| =\sqrt7$ ise, $ABC$ üçgeninin alani kaçtır?

a) $\sqrt3$ b) 2 c) $2\sqrt2$ d) $2\sqrt3$ e) $3\sqrt2$

10. Soru

10. Her $i\in \{1,\2,\ \ldots,\ 22\}$ için $a_i,\ a_{i+1}$ tam bölecek ve $a_{23}$ de 2015 i tam bölecek biçimde kaç farkli $(a_1,\ a_2,\ \ldots,\ a_{23})$ pozitif tam sayı 23-lüsü vardır?

a) $23^3$ b) $23^4$ c) $24^3$ d) $24^4$ e) Hiçbiri

11. Soru

11. $a$ ve $b$, $a+b = 1$ koşulunu sağlayan gerçel sayılar olmak üzere, $(a^2 —b)(b^2 —a) ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

a) $-3\sqrt3$ b) $-5$ c) 0 d) $ \dfrac{1}{16} $ e) $ \dfrac{\sqrt2}{2}$

12. Soru

12. Köşeleri, verilmiş bir düzgün $n$-genin köşeleri üzerinde olan ikizkenar üçgenlerin sayısı $s(n)$ olmak üzere, $s(n) > s(n + 1)$ koşulunu sağlayan kaç $n \leq 2015$ pozitif tam sayısı vardır?

a) 336 b) 403 c) 504 d) 671 e) 1007

13. Soru

13. Bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenari üzerinde $|BA_1| = |A_1A_2| = |A_2C|$ olacak biçimde $A_1$ ve $A_2$ noktalari aliniyor. Benzer şekilde $[CA]$ kenari üzerinde $|CB_1| = |B_1B_2| = |B_2A|$ olacak biçimde $B_1$ ve $B_2$ noktalari aliniyor. $AA_1$ doğrusu $BB_1$ ve $BB_2$ doğrularını sırasıyla $X$ ve $W$ noktalarında, $AA_2$ doğrusu da $BB_ 1$ ve $BB_2$ doğrularını sırasıyla $Y$ ve $Z$ noktalarina kesiyor. Buna göre $XYZW$ dörtgeninin alaninin $ABC$ üçgeninin alanina orani kaçtır?

a) $ \dfrac{1}{9}$ b) $ \dfrac{4}{35}$ c) $ \dfrac{8}{63}$ d) $ \dfrac{9}{70}$ e) $ \dfrac{1}{7}$

14. Soru

14. 2015 den büyük olmayan pozitif tani sayılardan oluşan $\{a_1,\ a_2,\ \ldots,\ a_k\}$ kümesinde herhangi iki elemanin farkı bu iki elemanin toplamını tam bölmüyorsa, $k$ en fazla kaç olabilir?

a) 403 b) 462 c) 504 d) 613 e) 672

15. Soru

15. $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ve $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonlari, her $x\neq 0$ için \begin{align*} f(2x+1)+g(x—1)= 3x+2\\ f\left( \dfrac{x+1}{x} \right) + 3g\left( \dfrac{1-2x}{2x}\right)= \dfrac{1}{2x}+4 \end{align*} eşitliklerini sağlıyorsa $f (2015) + g(2015)$ kaçtır?

a) $-2016$ b) $-2015$ c) 2014 d) 2015 e) Hiçbiri

16. Soru

16. Bir çember etrafına yüz sayı dizilmiştir. Saat yönünde kendisinden sonra gelen ilk iki sayıdan büyük olan sayılara $A$ tipi, saat yönünde kendisinden Önce gelen ilk iki sayıdan küçük olan sayılara ise $B$ tipi sayi diyelim (bir sayı hem $A$ hem de $B$ tipi olabilir). $A$ tipi sayilarin sayısı 80 ise, $B$ tipi sayilarin sayısı en az kaç olabilir?

a) 60 b) 61 c) 62 d) 63 e) Hiçbiri

17. Soru

17. Düzlemde bir çember ve bu çemberin diş bölgesinde $A_1,\ A_2,\ \ldots,\ A_n$ noktalari veriliyor. Bu çemberin üzerindeki her $A$ noktası için, $[AA_1],\ [AA_2],\ \ldots,\ [AA_n]$ doğru parçalarından en az üçü çemberi yalnızca $A$ noktasında kesiyorsa, $n$ en az kaç olabilir?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

18. Soru

18. $0 \leq n < 23^2$ koşulunu sağlayan kaç farklı $n$ tam sayısı için, $n^5 + 2n^4 + n^3 — 3n + 2$ sayısı 232 ile tam bölünür?

a) 0 b) 1 C) 5 d) 23 e) Hiçbiri

19. Soru

19. $f(x) = ax^2 — 3ax + 2a + 23$ fonksiyonu her $1 \leq x \leq 2$ için $|f(x)| \leq 23$ koşulunu sağlıyorsa, $a$ n1n alabileceği en büyük değer nedir?

a) 178 b) 181 c) 184 d) 187 e) 190

20. Soru

20. Başlangıçta 101 top içeren bir kırmızı kutu ve boş bir beyaz kütü bulunuyor. Aslı ve Burak sırayla hamle yaparak bir oyun oynuyorlar. Asli her hamlesinde bir pozitif tam sayı seçiyor ve kırmızı kutudan seçtiği sayıda topu beyaz kutuya aktarıyor. Burak da her hamlesinde bir pozitif tam sayı seçiyor ve beyaz kutudan seçtiği sayıda topu kırmızı kutuya aktarıyor. Bir sayı en fazla bir kez seçilebiliyor. Sırası gelen oyuncu hamle yapamazsa oyun bitiyor. Ilk hamleyi yapan Aslı, beyaz kutuda en fazla kaç top kalmasını garantileyebilir?

a) 1 b) 49 c) 50 d) 51 e) 101

21. Soru

21. $|AB | = 11$ ve $|AC | = 9$ koşullarını sağlayan bir $ABC$ üçgeninin iç bölgesinde $|BP| = 7$ ve $|CP| = 3$ koşullarını sağlayan bir $P$ noktası aliniyor. Buna göre $|AP|$ uzunluğunun alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

22. Soru

22. $x^2 + 1 \equiv ax \pmod {23} olacak şekilde en az bir $x$ tam sayısının bulunmasını sağlayan kaç farklı $0 \leq a < 23$ tam sayısı vardır?

a) 5 b) 6 c) 10 d) 11 e) 12

23. Soru

23. Çevresi 23 birim ve alanı 23 birim kare olan kaç farkli ikizkenar üçgen vardır?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

24. Soru

24. Bir sınıftaki 23 Öğrenci üç gruba, birbirleriyle arkadaş olan Öğrenciler aynı grupta olmayacak şekilde tek türlü dağıtılabiliyorsa, sınıftaki arkadaş ikilisi sayısı en az kaç olabilir?

a) 41 b) 43 c) 46 d) 48 e) 50

25. Soru

25. Köşeleri bir çember üzerinde bulunan bir $ABCDE$ beşgeninin kenar uzunlukları $|AB| = |BC| = 7,\ |CD| = |AE| = 15$ ve $|DE| = 24$ olarak veriliyor. Bu beşgenin alani kaçtır?

a) 112 b) 168 c) 210 d) 276 e) 360

26. Soru

26. $n > 1$ tam sayısının en büyük ve en küçük asal bölenlerinin toplamı $f(n)$ Olmak üzere, $f (n) = n — 23$ denklemini sağlayan kaç farklı $n > 1$ tam sayısı vardır?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

27. Soru

27. $x^{23} - 2015^{2015}x + 23 = c$ denkleminin en az üç farklı gerçel çözümünün bulunmasını sağlayan tüni 0 tam sayılarının aritmetik ortalaması kaçtır?

a) —46 b) 0 c) 403 d) 2015 e) Hiçbiri

28. Soru

28. Tabani $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7 7-geni olan bir piramidin her ayritinin kırmızı ve mavi renklerden birine, bü piramidin her köşesinden herhangi bir diğer köşesine hem sadece kırmızıya boyalı hem de sadece maviye boyalı ayrıtlar takip edilerek ulaşılabilecek şekilde boyanmasına iyi boyama diyelim. Kaç iyi boyama vardır?

a) 218 b) 234 c) 252 d) 298 e) 324

29. Soru

29. İç teğet çemberinin merkezi $I$ olan ve $|AB| = 3,\ |BC| = 7,\ |CA| = 5 koşullarını sağlayan bir ABC üçgeni verilmiştir. $BIC$ üçgeninin çevrel çemberi üzerinde $BC$ doğrusuna göre $I$ ile farklı tarafta kalacak biçinide alınan bir $D$ noktasından $[BC]$ kenarina inilen dikmenin ayağı $E$ dir. Buna göre $ \dfrac{|BE|}{|CE|}= \dfrac{9}{5}$ ise $m (BAD)$ kaçtır?

a) $30^\circ$ b) $45^\circ$ c) $60^\circ$ d) $75^\circ$ e) $90^\circ$

30. Soru

30. $3(m^3n + n^2 + 1) = m(n^3 + 9m + n)$ denklemini sağlayan kaç farklı $(m,n)$ tam sayı ikilisi vardır?

a) 0 b) 2 c) 4 d) 8 e) Sonsuz çoklukta

31. Soru

31. Elemanları 23 den büyük olmayan $a_1,\ a_2,\ \ldots,\ a_n$ pozitif tam sayılar dizisinde ilk ve son eleman dışındaki her eleman iki komşusunun aritmetik ortalamasından büyüktür. Buna göre $n$ nin alabileceği en büyük değer nedir?

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

32. Soru

32. 23 kentin bulunduğu bir ülkede 250 kent ikilisi arasında karşılıklı uçak seferleri, ülkedeki herhangi bir kentten bir diğerine (doğrudan veya birkaç aktarmayla) en fazla 5 saatlik uçuş süresi sonucunda ulaşılabilecek biçinide nasıl düzenlenirse düzenlensin, $k$ saatlik uçuş sonucunda bir kentten başlayıp her kente en az bir kez uğrayarak baştaki kente dönülebiliyorsa, $k$ n1n alabileceği en küçük değer nedir?

a) 95 b) 100 c) 105 d) 110 e) 115