Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama - 2014/Sorular

[math][/math]

1. Soru

1. Dışbükey bir $ABCD$ dörtgeninde $m(\angle DAB)=m(\angle CBD)=120^\circ$, $|AB| = 2$, $|AD| = 4$ ve $|BC| = |BD|$ dir. $C$ noktasından geçen ve $AB$ ye paralel olan doğru $AD$ doğrusunu $E$ noktasında kesiyor ise, $|CE|$ nedir?

a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) Hiçbiri

2. Soru

2. $mn + n + 14 = (m - 1)^2$ eşitliğini sağlayan kaç $(m,\ n)$ tam sayı ikilisi vardır?

a) 16 b) 12 c) 8 d) 6 e) 2

3. Soru

3. Kaç $n$ tam sayısı için, $|x^2 - 4x - 7| = n$ eşitliğini sağlayan dört farklı $x$ gerçel sayısı vardır?

a) 12 b) 10 c) 8 d) 7 e) 5

4. Soru

4. 3 kırmızı, 2 beyaz ve 2 mavi top rastgele sıraya dizildiğinde iki beyaz topun veya iki mavi topun yan yana gelme olasılığı nedir?

a) $\dfrac25$ b) $\dfrac37$ c) $\dfrac{16}{35}$ d) $\dfrac{10}{21}$ e) $\dfrac{5}{14}$

5. Soru

5. $D$, $|AB| = |AC|$ olan bir $ABC$ ikizkenar üçgeninin $[BC]$ kenarı üstünde $|BD| = 6$ ve $|DC| = 10$ koşullarını sağlayan bir nokta olmak üzere, $ABD$ ve $ADC$ üçgenlerinin iç teğet çemberlerinin $[AD]$ kenarına değme noktaları sırasıyla, $E$ ve $F$ ise, $|EF|$ nedir?

a) $\dfrac1{\sqrt2}$ b) $\dfrac2{\sqrt3}$ c) 1 d) $\dfrac98$ e) 2

6. Soru

6. Ondalık yazılımında tüm rakamları çift olan pozitif tam sayılar artan sırayla $$2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 20,\ 22,\ 24,\ 26,\ 28,\ 40,\ 42,\ldots$$ biçiminde yazıldığında 2014. sayı nedir?

a) 66480 b) 64096 c) 62048 d) 60288 e) Hiçbiri

7. Soru

7. $x$ ve $y$ gerçel sayıları için $(x^2 + 1)(y^2 + 1) + 9 = 6(x + y)$ ise, $x^2 + y^2$ nedir?

a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3

8. Soru

8. 17 özdeş kırmızı ve 10 özdeş beyaz top 4 farklı kutuya, her kutudaki kırmızı topların sayısı beyaz topların sayısından daha fazla olacak biçimde kaç farklı şekilde dağıtılabilir?

a) 5462 b) 5586 C) 5664 d) 5720 e)5848

9. Soru

9. D, bir ABC üçgeninin [BC] kenarı üstünde |AB| : 3, |CD| : 1 ve |AC| : |BD| : \/5 koşullarını sağlayan bir nokta olmak üzere; B kösesine ait yükseklik AD doğrusunu E noktasında kesiyor ise, |CE| nedir?

a) $\dfrac2{\sqrt5}$ b) 1 c) $\dfrac2\sqrt3$ d) $\dfrac\sqrt52$ e) $\dfrac32$

10. Soru

10.$m^3 - n^3 = 9^k + 123$ eşitliğini sağlayan kaç $(m,\ n,\ k)$ negatif olmayan tam sayı üçlüsü vardır?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Hiçbiri

11. Soru

11. Sadece bir $c$ gerçel sayısı için $x^2 + ax + 1$ ifadesinin negatif bir tam sayı değer almasını sağlayan $a$ gerçel sayılarının çarpımı nedir?

a) -1 b) -2 c) -4 d) -6 e) -8

12. Soru

12. 21 öğrenciden oluşan ve herhangi üç öğrencisinin en az ikisi arkadaş olan her sınıfta en az $k$ arkadaşı olan bir öğrenci bulunuyorsa, $k$ nin alabileceği en büyük değer nedir?

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

13. Soru

13. $m(\angle ADB)= 15^\circ$ ve $m(\angle BCD)= 90^\circ$ olan dışbükey bir $ABCD$ dörtgeninin köşegenleri $E$ noktasında dik olarak kesişiyor. $P$, $[AE]$ üstünde bir nokta olmak üzere, $|EC| = 4,\ |EA| = 8$ ve $|EF| = 2$ ise, $m(\angle PBD)$ nedir?

a) $15^\circ$ b) $30^\circ$ c) $45^\circ$ d) $60^\circ$ e) $75^\circ$

14. Soru

14. Kaç farklı $p$ asal sayısı için, $p | n^3 + 3$ ve $p | n^5 + 5$ olacak biçimde bir $n$ tam sayısı bulunur?

a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 e) Sonsuz çoklukta

15. Soru

15. $(2x^2 +5x+9)^2 = 56(x^3 + 1)$ eşitliğini sağlayan farklı $x$ gerçel sayılarının toplamı nedir?

a) 3 b) $\dfrac72$ c) 4 d) $\dfrac92$ e) Hiçbiri

16. Soru

16. Asli 100 şekeri kardeşi ve kardeşinin 18 arkadaşı arasında dağıtacaktır. Bunun için, kardeşinin arkadaşlarını bir kaç gruba ayırıyor ve 100 şekeri bu gruplara dağıtıyor. Sonra her gruptaki çocuklar, kendilerine verilen şekerleri aralarında her biri eşit ve olabildiğince çok sayıda seker alacak biçimde paylaşıp, kalan şekerleri de Aslı’nın kardeşine veriyorlar. Aslı’nın kardeşi en çok kaç seker alabilir?

a) 12 b) 14 c) 16 d) 17 e) 18

17. Soru

17. Bir $ABCD$ karesinde $[AB]$ kenarının orta noktası $E$ ve $B$ noktasından geçen merkezli çemberin $[EC]$ doğru parçası ile kesişim noktası $F$ ise, $|EF|/|FC|$ nedir?

a) 2 b) $\dfrac32$ c) $\sqrt5-1$ d) 3 e) $\sqrt3$

18. Soru

18. Aşağıdaki sayılardan hangisi $x$ ve $y$ tam sayılar olmak üzere, $x^2 + y^5$ biçiminde yazılamaz?

a) 59170 b) 59149 C) 59130 d) 59121 e) 59012

19. Soru

19. $x$ pozitif bir gerçel sayı olmak üzere, $\dfrac{x^2+2x+6}{x^2+x+5}$ ifadesinin alabileceği en büyük değer nedir?

a) $\dfrac{14}{11} b) $\dfrac97$ c) $\dfrac{13}{10}$ d) $\dfrac43$ e) Hiçbiri

20. Soru

20. Her biri 2 nin veya 3 ün tam sayı kuvveti olan tam sayılardan oluşan ve tüm elemanlarının toplamı 2014 olan kaç farklı küme vardır?

a) 64 b) 60 c) 54 d) 48 e) Hiçbiri

21. Soru

21. $[AB]$ ve $[CD]$ kenarlarının $[BC]$ kenarına dik olduğu bir $ABCD$ yamuğunun $[BC]$ kenarı üstündeki bir $E$ noktası için $AED$ bir eşkenar üçgendir. $|AB| = 7$ ve $[CD] = 5$ ise, $ABCD$ yamuğunun alanı nedir?

a) $27\sqrt3$ b) 42 c) $24\sqrt3$ d) 40 e) 36

22. Soru

22. $2014^{2015}$ sayısının 121 ile bölümünden kalan kaçtır?

a) 45 b) 34 c) 23 d) 12 e) 1

23. Soru

23. $x$ bir gerçel sayı olmak üzere, $$(x^2+2x+8-4\sqrt3) - (x^2-6x+16-4\sqrt3)$$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

a) $112 - 64\sqrt3$ b)$ 3 - \sqrt3$ c) $8 - 4\sqrt3$ d) $3\sqrt3-4$ e) Hiçbiri

24. Soru

24. $1,\ 2,\ldots,\ n$ tam sayıları, ikisi de içerdiği herhangi farklı iki sayının aritmetik ortalamasını içermeyecek biçimde iki kümeye ayrılabiliyorsa, $n$ en çok kaç olabilir?

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) Hiçbiri

25. Soru

25. Birbirine $A$ noktasında dıştan teğet olan $C_1$ ve $C_2$ çemberlerinin yarıçapları sırası ile 6 ve 8 birimdir. $C_1$ ve $C_2$ çemberlerine dıştan teğet olan $C_3$ çemberinin yarıçapı ise 21 birimdir. $C_1$ ve $C_2$ çemberlerinin $A$ noktasından geçen ortak teğet doğrusu $C_3$ çemberini $B$ ve $C$ noktalarında kesiyor ise, $|BC|$ kaçtır?

a) 24 b) 25 c) $14\sqrt3$ d) $24\sqrt3$ e) $25\sqrt3$

26. Soru

26. $n^4 + 1$ sayısını bölen en küçük asal sayı $f(n)$ olmak üzere, $f(1)+f(2)+\ldots+ f(2014)$ toplamının 8 ile bölümünden kalan kaçtır?

a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) Hiçbiri

27. Soru

27. Pozitif tam sayılarda tanımlı bir $f$ fonksiyonu, $f (1) = 4$ ve her $n$ pozitif tam sayısı için $f(2n)=f(n)$ ve $f(2n+ 1) =f(n)+2$ koşullarını sağlamaktadır. 2014 ten küçük kaç $k$ pozitif tam sayısı için $f(k) = 8$ dir?

a) 45 b) 120 c) 165 d) 180 e) 215

28. Soru

28. Başlangıçta tahtaya $-1,\ 2,\ -3,\ 4,\ -5,\ 6$ sayıları yazılıdır. Her işlemde tahtaya yazılı olan herhangi $a$ ve $b$ sayılarını silip yerine $2a + b$ ve $2b + a$ sayılarını yazarsak $(0,\ 0,\ 0,\ 3,\ -9,\ 9)$, $(0,\ 1,\ 1,\ 3,\ 6,\ -6)$, $(0,\ 0,\ 0,\ 3,\ -6,\ 9)$, $(0,\ 1,\ 1,\ -3,\ 6,\ -9)$, (0,\ 0,\ 2,\ 5,\ 5,\ 6)$ altılılarından kaç tanesini elde edebiliriz?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

29. Soru

29. $|AB| = 13,\ |BC| = 12$ ve $|CA| = 5$ olan bir $ABC$ üçgeninin $A$ ve $B$ köselerine ait iç açıortaylar $I$ noktasında kesişiyor ve karşı kenarları da sırasıyla, $D$ ve $E$ noktalarında kesiyor. $[DE]$ nin orta noktasından ve $I$ dan geçen doğru $[AB]$ yi $F$ noktasında kesiyor ise, $|AF|$ nedir?

a) $\dfrac32$ b) 2 c) $\dfrac52$ d) 3 e) $\dfrac72$

30. Soru

30. Bir $n$ pozitif tam sayısı için, $s(n)$ ile $n$ sayisinin pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını göstermek üzere; $2014^{2014}$ sayısını bölen tüm $k$ pozitif tam sayıları için $\left(s(k)\right)^3$ sayılarının toplamının en büyük asal böleni nedir?

a) 5 b) 7 c) 11 d) 13 e) Hiçbiri

31. Soru

31. $x_1 = 1$ ve her $n \geq 1$ için, $$\left(a_{n+1}-2a_n\right)\cdot \left(a_{n+1}-\dfrac{1}{a_n+2}\right)$$ olmak üzere, $a_k = 1$ ise, $k$ aşağıdakilerden hangisi olabilir?

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) Hiçbiri

32. Soru

32. Başlangıçta masada $k$ tane tas bulunuyor. Alper, Betül ve Ceyhun sırayla hamle yapıyorlar ve sırası gelen oyuncu masadan bir veya iki tas alıyor. Hamle yapamayan oyuncu oyunu kaybediyor ve oyun sona eriyor. Oyuna her seferinde Alper başlamak üzere, oyun $k=5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$ değerleri için birer kez oynanırsa, Alper bunlardan kaçını kaybetmemeyi garantileyebilir?