Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama - 2013/Sorular

[math][/math]

1. Soru

1. $|AC| > |AB|$ olan bir $ABC$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi $I$ ve ağırlık merkezi $G$ olmak üzere, $IG$ ve $BC$ doğruları birbirine paralel, $|BC| = 2$, ve $Alan(ABC) = 3\sqrt5/8$ ise, $|AB|$ nedir?

a) $\dfrac98$ b) $\dfrac{11}8$ c) $\dfrac{13}8$ d) $\dfrac{15}8$ e) $\dfrac{17}8$

2. Soru

2. $p,\ q$ asal sayılar ve $n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere, $1/p+2013/q= n/5$ eşitliğini sağlayan kaç $(p,\ q,\ n)$ üçlüsü vardır?

a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3

3. Soru

3. Katsayıları $\{0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}$ kümesine ait olan bir polinomun $x - 6$ ile bölümünden kalan 2013 ise, bu polinomda $x$ in katsayısı en az kaç olabilir?

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

4. Soru

4. $1,\ 2,\ \ldots,\ 49$ sayıları $7 \times 7$ bir satranç tahtasının birim karelerine, ardışık sayılar ortak bir kenar paylasan birim karelerde yer alacak biçimde yazıldığında bir satırda en fazla kaç asal sayı olabilir?

a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3

5. Soru

5. $[BC]$ kenarının uzunluğu 11 olan $ABC$ üçgeninin bu kenarı üstünde bir $D$ noktası $|BD| = 8$ olacak biçimde alınıyor. $C$ ve $D$ noktalarından geçen çember $AB$ doğrusuna bir $E$ noktasında teğettir. $B$ den geçen ve $DE$ doğrusuna dik olan doğru üzerinde bulunan bir $P$ noktası için $|PE| = 7$ ise, $|DP|$ kaçtır?

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) Hiçbiri

6. Soru

6. 5 tabanına göre yazılımında 3 ve 4 rakamları geçmeyen en küçük 111. pozitif tam sayı nedir?

a) 760 b) 756 c) 755 d) 752 e) 750

7. Soru

7. $x^4 - 8x^3 + 13x^2 - 24x + 9 = 0$ denkleminin gerçel köklerinin toplamı nedir?

a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4

8. Soru

8. Köseleri, verilen bir düzgün yirmigenin köselerinden dördünde yer alan kaç deltoid vardır?

a) 105 b) 100 c) 95 d) 90 e) 85

9. Soru

9. $ABC$ üçgeninde $|AB| = 18,\ |AC| = 24$ ve $m(\angle BAC)=150^\circ$ dir. $D$ noktası $[AB]$, $E$ noktası $[AC]$ ve $F$ noktası $[BC]$ kenarları üstünde olmak üzere, $|BD| = 6$, $|CE| = 8$ ve $|CF| = 2 |BF|$ dir. $ABC$ üçgeninin diklik merkezi $H$ noktasının $D,\ E$ ve $F$ noktalarına göre simetrikleri sırasıyla, $H_1,\ H_2$ ve $H_3$ noktaları ise, $H_1H_2H_3$ üçgeninin alanı nedir?

a) 70 b) 72 c) 84 d) 96 e) 108

10. Soru

10. $n$ den küçük ve $n$ ile aralarında asal olan tam olarak 20 tane pozitif tek tam sayı bulunmasını sağlayan kaç $n$ pozitif tam sayısı vardır?

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) Hiçbiri

11. Soru

11. $x^4 + y^4 + 2x^2y + 2xy^2 + 2 = x^2 + y^2 + 2x + 2y$ eşitliğini sağlayan kaç $(x,\ y)$ gerçel sayı ikilisi vardır?

a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2

12. Soru

12. 100 öğrenci, öğleden önce 50 tane ikili grup halinde ve öğleden sonra da, yine 50 tane ikili grup halinde ders çalışıyorlar. Öğleden önceki ve sonraki gruplar nasıl oluşturulursa oluşturulsun, herhangi ikisi gün boyunca hiç birlikte çalışmamış $n$ öğrenci bulunabiliyorsa, $n$ sayısı en çok kaç olabilir?

a) 42 b) 38 c) 34 d) 25 e) Hiçbiri

13. Soru

13. Çevrel çemberinin merkezi $O$ olan bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üstündeki $D$ ve $E$ noktaları $D,\ B$ ile $E$ arasında yer almak üzere, $|AD| = |DB| = 6$ ve $|AE| = |EC| = 8$ koşullarını sağlıyor. $ADE$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi $I$ noktası ve $|AI| = 5$ ise, $|IO|$ nedir?

a) $\dfrac{26}5$ b) 5 c) $\dfrac{23}5$ d) $\dfrac{21}5$ e) Hiçbiri

14. Soru

14. $n$ tam sayısını bölen pozitif tam sayıların sayısı $d(n)$ ile gösterilmek üzere; 64800 sayısının tüm $k$ pozitif tam sayı bölenleri için, $d(k)$ sayılarının toplamı nedir?

a) 1440 b) 1650 c) 1890 d) 2010 e) Hiçbiri

15. Soru

15. $[1,\ 2013]$ aralığında yer alan $n$ gerçel sayı nasıl seçilirse seçilsin, kenar uzunlukları birbirinden farklı olup bu sayılardan bazılarına eşit olan bir çokgen bulunuyorsa, $n$ en az kaç olabilir?

a) 14 b) 13 c) 12 d) 11 e) 10

16. Soru

16. 16 beyaz ve 4 kırmızı top her biri 5 top alabilen 4 kutuya rastgele dağıtılıyor. Her kutuda tam olarak 1 kırmızı top olma olasılığı nedir?

a) $\dfrac{5}{64}$ b) $\dfrac18$ c) $\dfrac{4^4}{18\choose 4}$ d) $\dfrac{5^4}{20\choose 4}$ e) $\dfrac3{32}$

17. Soru

17. Kenar uzunluğu 10 olan bir $ABC$ eşkenar üçgeninin iç bölgesindeki bir $P$ noktası için $|PA|^2 + |PB|^2 + |PC|^2 = 128$ ise, kenar uzunlukları $|PA|,\ |PB|,\ |PC|$ olan bir üçgenin alanı nedir?

a) $6\sqrt3$ b) $7\sqrt3$ c) $8\sqrt3$ d) $9\sqrt3$ e) $10\sqrt3$

18. Soru

18. $${2013\choose 1}+2013{2013\choose 3}+2013^2{2013\choose 5}+\ldots+2013^{1006}{2013\choose 2013}$$ toplamının 41 ile bölümünden kalan kaçtır?

a) 20 b) 14 c) 7 d) 1 e) Hiçbiri

19. Soru

19. $x$ bir gerçel sayı olmak üzere, $$\sqrt{x^2-4x+7-2\sqrt2}+\sqrt{x^2-8x+27-6\sqrt2}$$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

a) 2 b) $3\sqrt2$ c) $1 + \sqrt2$ d) $2\sqrt2$ e) Hiçbiri

20. Soru

20. Ağırlıkları 1, 2, . . . , 2013 gram olan 2013 taşın her birinin üstüne 1, 2, . . . , 2013 sayılarından biri, her sayı tam olarak bir kez kullanılarak yazılıyor. Sayılar nasıl yazılırsa yazılsın, tüm tasların üstünde kendi ağırlıklarının yazılıp yazılmadığı, sol kefesindeki ağırlıktan sağ kefesindeki ağırlığın çıkarılmasının sonucunu gösteren iki kefeli bir tartı $k$ kez kullanılarak kontrol edilebiliyorsa, $k$ en az kaç olabilir?

a) 15 b) 12 c) 10 d) 7 e) Hiçbiri

21. Soru

21. $m(\angle C) = 90^\circ$ olan bir $ABC$ dik üçgeninin $[AB]$ kenarı üstündeki $D$ ve $E$ noktaları $|AD| = |AC|$ ve $|BE| = |BC|$ koşullarını sağlıyor. $AEC$ ve $BDC$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin ikinci kez kesiştiği $F$ noktası için $|CF| = 2$ ise, $|ED|$ nedir?

a) $\sqrt2$ b) $1 + \sqrt2$ c) 2 d) $2\sqrt2$ e) Hiçbiri

22. Soru

22. $n^4 + 2n^3 - 20n^2 + 2n - 21$ sayısı, $0\leq n < 2013$ koşulunu sağlayan kaç $n$ tam sayısı için, 2013 ile bölünür?

a) 6 b) 8 c) 12 d) 16 e) Hiçbiri

23. Soru

23. $f$ ve $g$ fonksiyonları tüm $x\neq -1$ gerçel sayıları için, $\begin{align*} f(2x+1)+g(3-x) &=x\\ f((3x + 5)/(x + 1)) + 2g((2x + 1)/(x + 1))& =x/(x + 1) \end{align*}$ koşullarını sağlıyorsa, $f (2013)$ nedir?

a) 1007 b) $\dfrac{4021}3$ c) $\dfrac{6037}3$ d) $\dfrac{4029}5$ e) 3016

24. Soru

24. Ağırlıkları 1, 2, . . . ,77 gram olan 77 tas ağırlıkları birbirinden farklı olan $k$ gruba, her grup kendinden daha hafif gruptan daha az tas içerecek biçimde dağıtılabiliyorsa, $k$ sayısı $\{9,\ 10,\ 11,\ 12\}$ değerlerinden kaçını alabilir?

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) Hiçbiri

25. Soru

25. $|AB| = |AC|$ olan bir $ABC$ üçgeninde $D$ noktası $[AB]$ kenarı üstünde yer almak üzere, $[CD]$ iç açıortay ve $m(\angle ABC) = 40^\circ$ dir. $[AB]$ kenarının uzantısı üstünde ve $B$ den sonra yer alan bir $F$ noktası için, $|BC| = |AF|$ dir. $[CF]$ nin orta noktası $E$ olmak üzere, $ED$ ve $AC$ doğrularının kesişim noktası $G$ ise, $m(\angle FBG)$ nedir?

a) $150^\circ$ b) $135^\circ$ c) $120^\circ$ d) $105^\circ$ e) Hiçbiri

26. Soru

26. $n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere, $n^3 + 2$ ve $(n + 1)^3 + 2$ sayılarının her ikisini de bölen asal sayıların sayısı en çok kaç olabilir?

a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 e) Hiçbiri

27. Soru

27. $(a,\ b)$ ikilisinin $(1,\ 2),\ (3,\ 5),\ (5,\ 7),\ (7,\11)$ değerlerinden kaçı için $P(x) = x^5 + ax^4 + bx^3 + bx^2 + ax + 1$ polinomunun tam olarak bir gerçel kökü vardır?

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0

28. Soru

28. Başlangıçta tahtaya bir $(m, n)$ pozitif tam sayı ikilisi yazılmıştır. Ayşe ve Burak sırayla hamle yapıyorlar ve sırası gelen oyuncu sayılardan birini seçip silerek, yerine bu sayının yarısından küçük olmayan bir tam sayı yazıyor. Hamle yapamayan oyunu kaybediyor. Oyuna her sefer Ayşe başlamak üzere, oyun $(m,\ n) = (7,\ 79),\ (17,\ 71),\ (10,\ 101),\ (21,\ 251),\ (50,\ 405)$ için birer kez oynanırsa, Ayşe bunlardan kaçını kazanmayı garantileyebilir?

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) Hiçbiri

29. Soru

29. $|AB| = 5,\ |BC| = 6$ ve $|AC| = 7$ olan bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O$ nun $BC,\ AC$ ve $AB$ doğrularına göre simetriği sırasıyla, $A_1,\ B_1$ ve $C_1$ noktaları olsun. $A_1B_1C_1$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezinin $A$ noktasına uzaklığı nedir?

a) 6 b) $\sqrt29$ c) $\dfrac{19}{2\sqrt6}$ d) $\dfrac{35}{4\sqrt6}$ e) $\sqrt{\dfrac{35}{3}}$

30. Soru

30. 2013 den küçük kaç $n$ pozitif tam sayısı için, $n$ yi bölen en küçük asal sayı $p$ olmak üzere, $p^2 + p + 1$ sayısı $n$ yi böler?

a) 212 b) 206 c) 191 d) 185 e) 173

31. Soru

31. Gerçel sayılardan oluşan $\left(a_n\right)_{n=1}^\infty$ dizisi her $n \geq 3$ için, $$an= (n-1)a_1+(n-2)a_2+\ldots+2a_{n-2}+a{n-1} eşitliğini sağlamaktadır. $a_{2011} = 2011$ ve $a_{2012} = 2012$ ise, $a_{2013} nedir?

a) 6025 b) 5555 c) 4025 d) 3456 e) 2013

32. Soru

32. Yalnızca 1, 2, 3 rakamları kullanılarak, ilk ve son basamaklarında ayni rakam yer alan ve herhangi ardışık iki basamağında ayni rakam yer almayan kaç farklı 10 basamaklı pozitif tam sayı yazılabilir?

a) 768 b) 642 c) 564 d) 510 e) 456

33. Soru

33. Bir $ABC$ üçgeninde $[BC]$ kenarı üstünde $|BD| = 4$ ve $|DC| = 3$ olacak biçimde yer alan $D$ noktası için, $[AD]$ iç açıortaydır. $[AB]$ kenarı üstünde yer alan ve $m(\angle BED) = m(\angle DEC)$ koşulunu sağlayan $A$ dan farklı bir $E$ noktası için, $[AE]$ doğru parçasının orta dikmesi ile $BC$ doğrusu $M$ noktasında kesişiyorsa, $[CM]$ nedir?

a) 12 b) 9 c) 7 d) 5 e) Hiçbiri

34. Soru

34. $a! + b^3 = 18 + c^3$ eşitliğini sağlayan kaç $(a,\ b,\ c)$ pozitif tam sayı üçlüsü vardır?

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0

35. Soru

35. $f(x)=x+1+\lfloor \sqrt{x} \rfloor$ olmak üzere, $\overbrace{f(f(\ldots(f(n)))= 2013}^{\text{21 kere}}$ olmasını sağlayan en küçük $n$ pozitif tam sayısı nedir? (Burada [a] ile, a gerçel sayısından büyük olmayan en büyük tam sayı gösterilmektedir.)

a) 1214 b) 1202 c) 1186 d) 1178 e) Hiçbiri

36. Soru

36. En az 10, en çok 50 üyesi olan bir satranç kulübü, $K > E$ olmak üzere, $K$ kız ve $E$ erkekten oluşuyor. Herhangi iki üyenin kendi aralarında tam olarak bir maç yaptığı bir satranç turnuvasında her galibiyete 1, her beraberliğe $1/2$ ve her yenilgiye 0 puan veriliyor. Turnuva bittiğinde, her üyenin topladığı puanların tam olarak yarısını erkek üyelerle yaptığı maçlardan aldığı gözleniyorsa, $E$ sayısı kaç farklı değer alabilir?

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1