Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama - 2012/Sorular

[math][/math]

1. Soru

1. Yüksekliklerinin uzunlukları 3, 4 Ve 6 birim olan bir üçgeninin çevre uzunluğu kaç birimdir?

a) $12\sqrt{\dfrac35}$ b) $16\sqrt{\dfrac35}$ c) $20\sqrt{\dfrac35}$? d) $24\sqrt{\dfrac35}$ e) Hiçbiri

2. Soru

2. $m$ ve $n$ pozitif tam sayılar olmak üzere, $2012^n + m^2$ sayısının 11 ile bölümünden kalan farklı sayıların toplamı nedir?

a) 55 b)46 c)43 d)39 e)37

3. Soru

3. Aşağıdaki $x$ değerlerinden hangisi $\sqrt[3]{6+\sqrt{x}}+\sqrt[3]{6-\sqrt{x}}=\sqrt[3]3$ eşitliğini sağlar?

a) 27 b)32 c)45 d)52 e)63

4. Soru

4. $A = \{1,2,3,4,5,6,7\}$ kümesinin tüm $a$ elemanları için $f(f(a))= a$ koşulunu sağlayan kaç $f : A \Rightarrow A$ fonksiyonu vardır?

a) 1 b) 106 C) 127 d) 232 e) Hiçbiri

5. Soru

5. $|AB| = 7,\ |BC| = 12$ ve $|CA| = 13$ olan bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üstünde yer alan $D$ noktası $|BD| = 5$ koşulunu sağlıyor. $r_1$ ve $r_2$ sırasıyla, $ABD$ ve $ACD$ üçgenlerinin iç teğet çemberlerinin yarıçapları ise, $r_1/r_2$ nedir?

a)1 b)$\dfrac{13}{12}$ c) $\dfrac75$ d) $\dfrac 32$ e) Hiçbiri

6. Soru

6. $n$ nin aşağıdaki değerlerinden hangisi $n^{29} \equiv 7 \pmod {65}$ denkliğini sağlar?

a) 37 b) 39 c) 43 d) 46 e) 55

7. Soru

7. Tüm $x,\ y,\ z$ gerçel sayıları için $f(x)f(y)f(z) = 12f(xyz) - 16xyz$ koşulunu sağlayan kaç $f : R \Rightarrow R$ fonksiyonu vardır?

a) 3 b) 2 C) 1 d) 0 e) Hiçbiri

8. Soru

8. $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} kümesinin birbirinden farklı Ve biri diğerini içeren iki alt kümesi kaç farklı biçimde seçilebilir?

a) 2059 b) 2124 e) 2137 d) 2315 e) 2316

9. Soru

9. $[AB]$ çaplı çemberin $[CD]$ kirişi $[AB]$ ye diktir. $M$ ve $N$ sırasıyla, $[BC]$ ve $[AD]$ nin orta noktaları olmak üzere, $[BC] = 6$ ve $[AD] = 2\sqrt3$ ise, $[MN]$ nedir?

a) 4 b) $3\sqrt2$ c) $\sqrt{21}$ d)5 e) Hiçbiri

10. Soru

10. $n$ den küçük ve $n$ ile aralarında asal olan tam olarak 20 tane pozitif tam sayı bulunmasını sağlayan kaç $n$ pozitif tam sayısı vardır?

a) 1 b) 2 C) 3 d) 4 e) Hiçbiri

11. Soru

11. $x^3 + 2 = 3y,\ y^3 + 2 = 3z,\ z^3 + 2 = 3w,\ w^3 + 2 = 3x$ eşitliklerini sağlayan kaç $(x,\ y,\ z,\ w)$ gerçel sayı dörtlüsü vardır?

a) 8 b) 5 C) 3 d) 1 e) Hiçbiri

12. Soru

12. $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ kümesinin dört tane ardışık tam sayı içermeyen kaç altkümesi vardır?

a) 596 b) 648 e) 679 d) 773 e) 812

13. Soru

13. Köşeleri, düzlemdeki herhangi üçü doğrudaş olmayan 20 noktadan oluşan bir kümeye ait olan en çok kaç geniş açılı üçgen bulunabilir?

a) 6 b) 20 c) $2 {10 \choose 3}$ d) $3 {10 \choose 3}$ e) ${20 \choose 3}$

14. Soru

14. $n$ pozitif tam sayı olmak üzere, $(2n - 1)^{502} + (2n + 1)^502 + (2n + 3)^502$ sayısının 2012 ile bölümünden kalan farklı sayıların toplamı nedir?

a) 3 b) 1510 c) 1511 d) 1514 e) Hiçbiri

15. Soru

15. $a$ gerçel sayısının, $x^4+8x^3+18x^2+8x+a=0$ denkleminin dört farklı gerçel kökü olmasını sağlayan tüm değerlerinin kümesi nedir?

a) $(-9,\ 2)$ b) $(-9,\ 0)$ c) $[-9,\ 0)$ d) $[-8,\ 1)$ e) $(-8,\ 1)$

16. Soru

16. $8 \times 8$ bir satranç tahtasının her birim karesine 1 ve -1 sayılarından biri yazılmıştır. En az dört satırın her birindeki sayıların toplamı pozitif ise, üzerlerindeki sayıların toplamı -3 ten küçük olan en çok kaç sütun olabilir?

a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2

17. Soru

17. Bir $ABC$ üçgeninin iç bölgesinde yer alan bir $D$ noktası için, $m(BAD) = 20^\circ,\ m(DAC)= 80^\circ,\ m(ACD)= 20^\circ$ ve $m(DCB)= 20^\circ$ ise, $m(ABD)$ nedir?

a) $5^\circ$ b) $10^\circ$ c) $15^\circ$ d) $20^\circ$ e) $25^\circ$

18. Soru

18. Farklı asal sayıların kuvvetlerinin çarpımı olarak yazılımında sıfırdan farklı tüm kuvvetlerin tek sayılar olduğu bir pozitif tam sayıya tekil sayı diyelim. En çok kaç ardışık tekil sayı vardır?

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) Hiçbiri

19. Soru

19. $x^4 - 7x^3 + 14x^2 - 14x + 4 = 0$ denkleminin gerçel köklerinin toplamı nedir?

a)1 b)2 c)3 d)4 e)5

20. Soru

20. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 sayılarının her $(a_1,\ a_2, \ldots,\ a_{11})$ permütasyonu için, $(a_1 +a_3,\ a_2 + a_4,\ a_3 +a_5,\ldots,\ a_8 + a_{10},\ a_9 + a_{11})$ verildiğinde $a_i$ lerden en az $k$ tanesini belirleye biliyorsak, $k$ en çok kaç olabilir?

a) 11 b) 6 C) 5 d) 2 e) Hiçbiri

21. Soru

21. $|AB| = 5$, $|BC| = 6$ ve $|CA| = 7$ olan bir $ABC$ üçgeninin $A$ köşesine ait açıortayı $[BC]$ kenarını $D$ noktasında kesiyor. $A$ dan geçen ve $BC$ ye $D$ de teğet olan çember ise, $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarını sırasıyla, $P$ ve $Q$ noktalarında kesiyor. $AD$ ve $PQ$ doğruları $T$ noktasında kesişiyorsa,$|AT|/|TD| nedir?

a)$\dfrac75$ b)2 C)3 d)$\dfrac72$ e)4

22. Soru

22. $4mn(m + n - 1) = (m^2 + 1)(n^2 + 1)$ eşitliğini sağlayan kaç $(m,\ n)$ tam sayı ikilisi vardır?

a) 5 b) 4 C) 3 d) 2 e) 1

23. Soru

23. $a,\ b,\ c$ gerçel sayıları $x^3 - 3x + 1 = 0$ denkleminin farklı kökleri ise, $a^8+b^8+c^8$ nedir?

a) 156 b) 171 C) 180 d) 186 e) 201

24. Soru

24. Bir yüzleri siyah ve diğer yüzleri beyaz olan 2012 tane tavla pulu bir doğru boyunca ve üste gelen yüzleri dönüşümlü olarak siyah ve beyaz olacak biçimde dizilmiştir. Her hamlede iki pul seçip bunları ve bu pulların arasında kalan tüm pulları ters çeviriyoruz. Bütün pulların üste gelen yüzlerinin aynı renkte olmasını en az kaç hamlede sağlayabiliriz?

a) 1006 b) 1204 C) 1340 d) 2011 e) Hiçbiri

25. Soru

25. Bir $ABC$ üçgeninin $[AC]$ kenarının $M$ orta noktası, $B$ köşesine ait yüksekliğinin $H$ ayağı ile $C$ köşesi arasındadır. $m(ABH) = m(MBC),\ m(ACB) = 15^\circ$ ve $|HM|= 2\sqrt3$ ise, $|AC|$ nedir?

a) 6 b) $5\sqrt2$ c) 8 d) $\dfrac{16}{\sqrt3} e) 10

26. Soru

26. 100 den küçük kaç asal sayı ardışık pozitif tam sayıların karelerinin toplamı olarak yazılabilir?

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

27. Soru

27. Tüm $x$ gerçel sayıları için, $\sin x \cos x \leq C(\sin^6 x+ cos^6 x)$ olmasını sağlayan en küçük C gerçel sayısı nedir?

a) $\sqrt3$ b) $2\sqrt2$ C) $\sqrt2$ d) 2 e) Hiçbiri

28. Soru

28. Başlangıçta üç kutuda sırasıyla, $m,\ n$ ve $k$ tane taş bulunuyor. Ayşe ve Burak sırayla hamle yapıyorlar ve sırası gelen oyuncu istediği bir kutudan en az bir tane olmak üzere, istediği sayıda taş alıyor. Son taşı alan oyuncu oyunu kazanıyor. Oyuna her sefer Ayşe başlamak üzere, Oyun $(m,\ n,\ k) = (1\ ,2012,\ 2014),\ (2011,\ 2011,\ 2012),\ (2011,\ 2012\ ,2013),\ (2011,\ 2012,\ 2014),\ (2011\ ,2013,\ 2013)$ için birer kez oynanırsa, Ayşe bunlardan en az kaçını kazanmayı garantileyebilir?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

29. Soru

29. Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin sırasıyla, $[BC]4 ve $[AC]$ kenarları üstünde yer alan $D$ ve $E4 noktaları için, $AD$ ve $BE$ doğruları $F$ noktasında kesişiyor. $|AF| = |CD| = 2|BF| = 2|CE|$ ve $Alan(ABF) = Alan(DEC)$ ise, $Alan(AFC)/Alan(BFC)$ nedir?

a) 4 b) $2\sqrt2$ c) 2 d) $\sqrt2 e) 1

30. Soru

30. $x^3 + y^3 = x^2yz + xy^2z + 2$ eşitliğini sağlayan kaç $(x\ ,y,\ z)$ tam sayı üçlüsü vardır?

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

31. Soru

31. $f : Z \Rightarrow Z$ fonksiyonu tüm $m, n$ tam sayıları için, $$m+f(m+f(n+f(m))) =n+f(m)$$ ve $f (6) = 6$ koşullarını sağlıyorsa, f (2012) nedir?

a) $-2010$ b) $-2000$ c) 2000 d) 2010 e) 2012

32. Soru

32. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 sayılarının $(a_1,\ a_2,\ldots \ , a_{10}) permütasyonlarından kaçı için, $|a_1 - 1| + |a_ 2- 2|+\ldots+|a_{10} - 10] = 4$ olur?

a) 60 b) 52 c) 50 d) 44 e) 36

33. Soru

33. $|AB| = 2|BC|$ olan $ABCDA'B'C'D'$ dikdörtgenler prizmasında $[BB']$ ayrıtı üstündeki $E$ noktası $|EB'| = 6|EB|$ koşulunu sağlıyor. $AEC$ ve $A' EC'$ üçgenlerinde $E$ ye ait yüksekliklerin ayakları sırasıyla, $F$ ve $F'$ olmak üzere, $m(FEF') = 60^\circ$ ise, $|BC|/|BE| nedir?$

a) $\sqrt{\dfrac53}$ b) $\sqrt{\dfrac{15}2}$ c) \dfrac32\sqrt{15} d) 5\sqrt{\dfrac53} e) Hiçbiri

34. Soru

34. $n \geq 2012$ olmak üzere, $1 \cdot 2^1 + 2\cdot2^2 + 3 \cdot 2^3 +\ldots + n\cdot 2^n$ sayısının 10 ile bölünmesini sağlayan en küçük $n$ tam sayısı nedir?

a) 2012 b) 2013 C) 2014 d) 2015 e) 2016

35. Soru

35. $x^3+y^4 = x^2y$ eşitliğini sağlayan tüm $(x,\ y)$ pozitif gerçel sayı ikililerinde $x$ in aldığı en büyük değer $A$ ve $y$ nin aldığı en büyük değer $B$ ise, $A/B$ nedir?

a) $\dfrac32$ b) $\dfrac{512}{729}$ c) $\dfrac{729}{1024}$ d) $\dfrac34$ e) $\dfrac{243}{256}$

36. Soru

36. Her kutuda en çok 20 taş olmak koşuluyla $k$ tane taş 2012 kutuya nasıl dağıtılmış olursa olsun, bu kutulardan bazılarını seçip, seçtiğimiz kutulardan istediklerimizden istediğimiz sayıda taş atarak, seçtiğimiz kutularda toplam olarak en az 100 tane ve bu kutuların her birinde eşit sayıda taş kalmasını sağlayabiliyorsak, $k$ en az kaç olabilir?

a) 500 b) 450 C) 420 d) 349 e) 296