Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama - 2011/Sorular

[math][/math]

1. Soru

1. Aşağıdakilerden hangisi, $[AB]$ ve $[CD]$ kenarlarının orta dikmeleri $[AC]$ köşegeni üstündeki bir noktada kesişen her $ABCD$ dışbükey dörtgeni için doğrudur?

a) $|BA| + lADl \leq |BC| + |CD| b) $|BD| \leq |AC| C) $lACl \leq |BD|

d) $lADl + IDC| \leq |AB| + |BC|$ e) Hiçbiri

2. Soru

2. $(x + 1)^{65}$ polinomunun kaç katsayısı 65 e bölünmez?

a) 20 b) 18 C) 16 d) 3 e) Hiçbiri

3. Soru

3. $1 + \sqrt{n^2 - 9n + 20} > \sqrt{n^2 - 7n + 12}$ eşitsizliğini sağlayan kaç $n$ pozitif tam sayısı vardır?

a) 1 b) 2 C) 3 d) 4 e) Hiçbiri

4. Soru

4. $\{1,\ 2,\ldots,\ 20\}$ kümesinin 8 elemanlı altkümelerinden kaçı ardışık sayılar içermez?

a) ${13 \choose 8}$ b) ${13 \choose 9}$ c) ${14 \choose 8}$ d) ${14 \choose 9}$ e) ${20 \choose 15}$

5. Soru

5. $m(ABC)= 90^\circ$ olmak üzere, $ABC$ üçgeninin $[AB]$ kenarını çap alan çember $[AC]$ kenarını $D$ noktasında, çembere $D$ de teğet olan doğru da $BC$ yi $E$ noktasında kesiyor. $|EC| = 2$ ise, $|AC|^2 - |AE|^2$ nedir?

a) 18 b) 16 C) 12 d) 10 e) Hiçbiri

6. Soru

6. Kaç $p$ asal sayısı için, $|p^4 - 86|$ sayısı da asaldır?

a)0 b)1 c)2 d)3 e)4

7. Soru

7. $x_1$ ve $x_2$ sayıları $x^2 + 5x - 7 = 0$ denkleminin farklı gerçel kökleri ise, $x_1^3 + 5x_1^2 - 4x_1 + x_1^2x_2 - 4x_2$ nedir?

a) $-15$ b) $175 + 25\sqrt{53}$ c) $-50$ d) 20 e) Hiçbiri

8. Soru

8. Pozitif tam sayılardan oluşan $n$ elemanlı her kümenin toplamları 6 ile bölünen altı elemanı bulunabiliyorsa, $n$ en az kaç olabilir?

a) 13 b) 12 c) 11 d) 10 e) 9

9. Soru

9. $m(ADC)= 90^\circ$ olan bir $ABCD$ dışbükey dörtgeninde $D$ den ve $BC$ ye paralel olan doğru $AB$ doğrusunu $E$ noktasında kesiyor. $m(DAC) = m(DAE)$, $|AB| = 3$ ve $|AC| = 4$ ise, $|AE|$ nedir?

a) $\dfrac56$ b) $\dfrac13$ c) $\dfrac12$ d) 1 e) $\dfrac34$

10. Soru

10. $0 \leq x\ ,y,\ z < 2011$ olmak üzere, $xy + yz + zx \equiv 0 pmod {2011}$ ve $x + y + z \equiv 0 pmod {2011}$ koşullarını sağlayan kaç $(x\ ,y,\ z)$ tam sayı üçlüsü vardır?

a) 2010 b) 2011 c) 2012 d) 4021 e) 4023

11. Soru

11. $x^5 + x^4 - 4x^3 - 7x^2 - 7x - 2$ polinomunun farklı gerçel köklerinin toplamı nedir?

a) 0 b) 1 e) 2 d) -2 e) 7

12. Soru

12. Bir okuldaki 100 öğrenciden her biri aynı okuldaki istediği 50 öğrenciye mesaj yollamıştır. Karşılıklı olarak mesajlaşmış öğrenci çiftlerinin sayısı en az kaç olabilir?

a) 100 b) 75 c) 50 d) 25 e) Hiçbiri

13. Soru

13. Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin $A,\ B,\ C$ köşelerine ait yüksekliklerin ayakları sırasıyla, $D,\ E,\ F$ dir. $|DF| = 3,\ |FE| = 4,\ |DE| = 5$ ise, $DE$ ye teğet olan $C$ merkezli çemberin yarıçapı nedir?

a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3

14. Soru

14. $2011^{(2011^{(2011^{(2011^{2011})})})} sayısının 19 ile bölümünden kalan nedir?

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

15. Soru

15. Aşağıdaki $(a,\ b)$ ikililerinden hangisi için, $x + 2y < a$ ve $xy > b$ eşitsizliklerini sağlayan hiçbir $(x,\ y)$ pozitif gerçel sayı ikilisi yoktur?

a) $(\dfrac{15}{7},\ \dfrac{4}{7})$ b) $(\dfrac{18}{11},\ \dfrac{1}{3})$ c) $(\dfrac{5}{7},\ \dfrac{1}{16})$ d) $(\dfrac{6}{7},\ \dfrac{1}{11})$ e) Hiçbiri

16. Soru

16. Ağırlıkları pozitif tam sayılar olan herhangi 2011 taş, biri diğerinin iki katı ağırlıkta iki taş içermeyen $n$ öbeğe ayrılabiliyorsa, $n$ en az kaç olabilir?

a) 102 b) 51 c) 12 d) 11 e) Hiçbiri

17. Soru

17. $ABC$ eşkenar iç bölgesindeki bir $D$ noktası için, $|AD| = \sqrt2,\ |BD| = 3$ ve $|CD| = \sqrt5$ ise, $m(ADB)$ nedir?

a) $120^\circ$ b) $105^\circ$ c) $100^\circ$ d) $95^\circ$ e) $90^\circ$

18. Soru

18. Kaç pozitif tam sayı $n(n^2 - 1)(n^2 + 3)(n^2 + 5)$ ifadesini $n$ nin tüm pozitif tam sayı değerleri için böler?

a) 16 b) 12 C) 8 d) 4 e) Hiçbiri

19. Soru

19. Aşağıdaki eşitsizliklerden hangisinin $xy$-düzleminde tanımladığı bölge ile kesişimi tam olarak iki noktadan oluşan bir doğru bulunur?

a)$x^2+y^2|$ b)$|x+y|+|x-y|\leq 1$ c) $|x|^3+|y|^3\leq 1$

d) $lxl + lyl \leq 1$ e) $|x|^{1/2}+ lyl^{1/2}\leq 1$

20. Soru

20. 100 öğrencinin girdiği bir sınavda 5 soru sorulmuş ve her soruyu tam olarak 50 öğrenci çözmüştür. Çözdüğü soru sayısı ikiyi aşmayan öğrencilerin sayısı en az kaç olabilir?

a) 21 b) 18 c) 17 d) 16 e) Hiçbiri

21. Soru

21. Bir $ABCD$ eşkenar dörtgeninin iç bölgesinde yer alan bir $E$ noktası $|AE| = |EB|$, $m(EAB) = 11^\circ$ ve $m(EBC) = 71^\circ$ koşullarını sağlıyorsa, $m(DCE)$ nedir?

a) $72^\circ$ b) $71^\circ$ c) $70^\circ$ d) $69^\circ$ e) $68^\circ$

22. Soru

22. $f(0) = 0,\ f(1) = 1$ ve her $n \geq 1$ için, $f(3n- 1) = f(n) - 1,\ f(3n + 1) = f(n) + 1$ ise, $f(2011)$ nedir?

a) 7 b) 5 c) 3 d) 1 e) 0

23. Soru

23. $xy$-düzlemindeki tam sayı koordinatlı noktalardan koordinatları çarpımı 6 ile bölünenler kırmızıya, bölünmeyenler ise beyaza boyanıyor. Kenarları koordinat eksenlerine paralel çok büyük bir karenin içinde kalan tam sayı koordinatlı noktalardan beyaz olanların sayısının kırmızı olanların sayısına oranı aşağıdakilerden hangisine en yakındır?

a) $\dfrac75$ b) $\dfrac32$ c) 2 d) $\dfrac43$ e) $\dfrac54$

24. Soru

24. $r_1,\ r_2,\ldots,\ n$, renklerinde sırasıyla, $a_1,\ a_2,\ldots,\ a_n$ topun bulunduğu bir torbadan, her seferinde çekilen top torbaya geri konmak koşuluyla, birer birer rastgele $n$ top çekildiğinde bu toplardan en az ikisinin aynı renkte olma olasılığını $p(a_1,\ a_2,\ldots,\ a_n)$ ile gösterirsek, aşağıdakilerden hangisi en küçüktür?

a) $p(2,2,2, 1)$ b) $p(1,1,1,1)$ C) $p(2,2,3)$ d) $p(2,2, 1)$ e) $p(1,1,1)$

25. Soru

25. $ABCDE$ düzgün dışbükey beşgeninin alanının, kenarları $AC$, $CE$, $EB$, $BD$, $DA$ doğruları üstünde yer alan düzgün dışbükey beşgenin alanına oranı nedir?

a) $\dfrac{41}6$ b) $\dfrac{3+5\sqrt5}{2} c) $4+\sqrt5$ d) $\dfrac{7+3\sqrt5}{2} e) Hiçbiri

26. Soru

26. $0 \leq a < 2^{2008}$ ve $0 \leq b < 8$ tam sayıları $7(a + 2^{2008}b) \equiv 1 \pmod {2^{2011}}$ denkliğini sağlıyorsa, $b$ nedir?

a) 3 b) 5 C) 6 d) 7 e) Hiçbiri

27. Soru

27. $(a_n)_{n=1}^\infty$ gerçel sayı dizisi $a_1 = 1,\ a_2 = 4$ ve her $n \geq 2$ için, $a_{n+1}+a_{n-1} = 2a_n + 1$ koşulunu sağlıyorsa, $a_{2011}$ nedir?

a) 2^{2010} b) 2021056 c) 1010528 d) 3016 e) 2011

28. Soru

28. 1, 2, . . . ,4022 sayıları $2 \times 2011$ bir satranç tahtasının birim karelerine, iki sayı aynı birim karede olmamak ve ardışık olan sayılar ortak bir kenarı olan birim karelerde yer almak koşuluyla kaç farklı biçimde yerleştirilebilir?

a) 16168444 b) 12168440 C) 10088242 d) 8084224 e) Hiçbiri

29. Soru

29. $ABC$ üçgeninin $B$ ve $C$ köşelerinden geçen bir çember $[AB]$ kenarını $D,\ [AC]$ kenarını da $E$ noktasında kesiyor. $ACD$ üçgeninin çevrel çemberi ise, $BE$ doğrusunu $[BE]$ dışındaki bir $F$ noktasında kesiyor. $|AD| = 4$ ve $|BD| = 8$ ise, $[AF]$ nedir?

a) $\sqrt3 b) $2\sqrt6$ C) $4\sqrt6$ d) $\sqrt6$ e) Hiçbiri

30. Soru

30. $m$ nin hangi değeri için, $3x^2 - 10xy - 8y^2 = m^{19}$ eşitliğini sağlayan hiçbir $(x,\ y)$ tam sayı ikilisi yoktur?

a) 7 b) 6 C) 5 d)4 e)3

31. Soru

31. $i^2 +j^2 + k^2 = 2011$ koşulunu sağlayan $i,\ j,\ k$ tam sayıları için, $i+j + k$ ifadesinin alabileceği en büyük değer nedir?

a) 71 b) 73 c) 74 d) 76 e) 77

32. Soru

32. Başlangıçta bir öbekte $n$ taş bulunuyor. İki oyuncu sırayla hamle yapıyorlar ve her hamlede sırası gelen oyuncu istediği bir $i \geq 0$ tam sayısı için, öbekteki taşlardan $2^\i$ tanesini alıyor. Son taşı alan oyuncu oyunu kazanıyor. Oyun $n = 1000,\ 2000,\ 2011,\ 3000,\ 4000$ değerlerinin her biri için birer kez oynanırsa, bu oyunlardan kaçını oyuna başlayan oyuncu kazanmayı garantileyebilir?

a) 4 b) 3 C) 2 d) 1 e) Hiçbiri

33. Soru

33. Bir birim küreye içten ve köşeleri bu küre üstünde yer alan düzgün dörtyüzlünün bir yüzüne de dıştan teğet olan bir kürenin hacmi en çok ne olabilir?

a) $\dfrac13$ b) $\dfrac14$ c)$\dfrac12(1-\dfrac1{\sqrt3}$ d) $\dfrac12 (\dfrac{2\sqrt2}{\sqrt3}-1) e) Hiçbiri

34. Soru

34. $n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere, $2^n$ sayısının on tabanına göre yazılımında sağdan en çok kaç basamakta aynı rakam yer alabilir?

a) 2 b) 3 C) 4 d) 5 e) Hiçbiri

35. Soru

35. Aşağıdaki fonksiyonlar arasında pozitif gerçel sayılar kümesinde aldığı en büyük değer en küçük olan hangisidir?

a) $\dfrac{x^2}{1+x^{12}}$ b) $\dfrac{x^3}{1+x^{11}}$ c) $\dfrac{x^4}{1+x^{10}}$ d) $\dfrac{x^5}{1+x^9}$ e) $\dfrac{x^6}{1+x^8}$

36. Soru

36. Boyları birbirinden farklı 14 öğrenci başlangıçta nasıl sıralanmış olurlarsa olsunlar, her adımda yanyana duran iki öğrencinin yerini değiştirerek en az kaç adımda öğrencileri boy sırasına sokmak mümkün olur?

a) 42 b) 43 C) 45 d) 52 e) Hiçbiri