Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama - 2006/Sorular

[math][/math]

1. Soru

1. Bir $ABC$ eşkenar üçgeninde $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarının orta noktaları sırasıyla $D$ ve $E$; $[DE$ ışınının çevrel çemberi kestiği nokta da $F$ olmak üzere, $\dfrac{DE}{DF}$ nedir?

a) $\dfrac12$ b) $\dfrac{\sqrt3}{3} c) $\dfrac23 (\sqrt3-1)$ d) $\dfrac23$ e) $\dfrac{\dfrac5-1}{2}$

2. Soru

2. $p$ ve $p^2 +2$ asal sayılarsa, $p^3 + 3$ sayısının en çok kaç asal böleni olabilir?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3. Soru

3. $a_n = -1$,\ a_2 = 2$ ve $n \geq 3$ için, $a_n = \dfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}} ise, $a_{2005}$ kaçtır?

a) -2 b) -1 c) $-\dfrac12 d) $\dfrac12$ e)2

4. Soru

4. Kenar uzunlukları 1 olan 27 tane küpten her birinde, iki karşılıklı yüz birer nokta, başka iki karşılıklı yüz ikişer nokta, geri kalan iki karşılıklı yüz de üçer nokta ile işaretleniyor. Bu 27 küp ile $3 \times 3 \times 3$ boyutlarında bir küp oluşturursak, bu küpün yüzleri üstünde işaretlenmiş toplam nokta sayısı en az kaç olabilir?

a) 54 b) 60 c) 72 d) 90 e) 96

5. Soru

5. Bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üstünde $|AB| + |BD| = |AC|$ ve $m(BAD) = m(DAC) = 30^\circ$ olacak biçimde bir $D$ noktası bulunuyorsa, $m(ACB)$ nedir?

a) $30^\circ$ b) $40^\circ$ c) $45^\circ$ d) $48^\circ$ e) $50^\circ$

6. Soru

6. $3 + 3^2 + 3^{2^2} + 3^{2^3} +\ldots + 3^{2^{2006}}$ toplamı, 11 moduna göre aşağıdakilerden hangisine denktir?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 5 e) 10

7. Soru

7. $[\![\dfrac{m}{11}]\!]=[\![\dfrac{m}{10}]\!] eşitliğini sağlayan kaç pozitif tam sayı vardır?

a) 44 b) 48 c) 52 d) 54 e) 56

8. Soru

8. $d_1$ ve $d_2$ bir düzlem üzerinde birbirine paralel iki farklı doğru olmak üzere, $d_1$ üstünde 11 siyah nokta, $d_2$ üstünde de 16 beyaz nokta işaretleniyor. Siyah ve beyaz noktaları birleştiren doğru parçalarının, $d_1$ ve $d_2$ doğruları arasındaki şeridin iç bölgesinde bulunan kesişim noktalarının sayısı en çok kaçtır?

a) 5600 b) 5650 e) 6500 d) 6560 e) 6600

9. Soru

9. Kenar uzunlukları $|AB| = 6,\ |BC| = 7$ ve $|AC| = 8$ olan bir $ABC$ üçgeninin $A$ köşesine ait iç açıortay $BC$ yi $D$ noktasında kesiyor. $E$ noktası $[AC]$ üstünde olmak üzere $|CE| = 2$ ise, $|DE|$ kaçtır?

a) 4 b) $\dfrac{17}{5} c) $\dfrac72$ d) $2\sqrt3$ e) $3\sqrt2$

10. Soru

10. $5^n$ nin $\dfrac{2006!}{(1003!)^2}$ sayısını bölmesini sağlayan en büyük $n$ tam sayısı kaçtır?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 500

11. Soru

11. $4x^4 - 3x^2 + 7x - 3 = 0$ denkleminin farklı gerçel köklerinin toplamı kaçtır?

a) -1 b) -2 c) -3 d) -4 e) Hiçbiri

12. Soru

12. $\{1,\ 2,\ \ldots,\ 2006\}$ kümesi, boş olmayan ve hiçbiri ardışık herhangi iki sayı içermeyen üç kümeye kaç değişik biçimde ayrılabilir?

a) $3^{2006} - 3 \cdot 2006 + 1$ b) $2^{2005} - 2 c) $3^{2004} d) $3^{2005} - 1$ e) Hiçbiri

13. Soru

13. $|AB|=|AC|$ olan ikizkenar bir $ABC$ üçgeninin $AB$ kenarı üstünde alınan bir $D$ noktasından $BC$ ye çizilen paralel $AC$ yi $E$ noktasında kesiyor. $m(A) = 20^\circ,\ |DE| = 1, $|BC| = a$ 4ve $|BE|= a + 1$ ise, $|AB|$ aşağıdakilerden hangisidir?

a) $2a$ b) $a^2-a$ c) $a^2+1$ d) $(a+1)^2 e) $a^2+a$

14. Soru

14. $A\,B \in \{1,\ 2,\ \ldots,\ 9\}$ olmak üzere, on tabanındaki yazılımı $AABB$ şeklinde olan sayılardan kaç tanesi tam karedir?

a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 e) Hiçbiri

15. Soru

15. $x^2-5x-4\sqrt{x} + 13 = 0$ denkleminin kaç farklı gerçel kökü vardır?

a)0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

16. Soru

16. $x_1 + x_2 +\ldots + x_{13} \leq 2006$ eşitsizliğini sağlayan kaç $(x_1,\ x_2,\ldots,\ x_{13})$ pozitif tam sayı on üçlüsü vardır?

a) $\dfrac{2006!}{13! 1993!}$ b) $\dfrac{2006!}{14! 1992!}$ c) $\dfrac{1993!}{12! 1981!}$ d) $\dfrac{1993!}{13! 1980!}$ e) Hiçbiri

17. Soru

17. Bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üstünde $|BD| = 2,\ |DC|= 6$ olacak şekilde bir D noktası bulunmaktadır. $|AB| = 4$ ve $m(ACB) = 20^\circ$ olduğuna göre, $m(BAD)$ nedir?

a) $10^\circ$ b) $18^\circ$ c) $20^\circ$ d) $22^\circ$ e) $25^\circ$

18. Soru

18. $S = \{n : n3^n + (2n+ 1)5^n \equiv 0 \pmod 7\}$ ise, her $n \in S$ için, $n+ k \in S$ olmasını sağlayan en küçük pozitif $k tam sayısı nedir?

a)6 b) 7 c) 14 d) 21 e) 42

19. Soru

19. $x^4 + y^4 + z^4 + 1 = 4xyz$ eşitliğini sağlayan kaç $(x,\ y,\ z)$ gerçel sayı üçlüsü vardır?

a) 0 b) 4 c) 6 d) 10 e) Sonsuz çoklukta

20. Soru

20. Bir kareyi $k$ tane kareye ayırabiliyorsak, $k$ tam sayısına iyi sayı diyelim. 2006 dan büyük olmayan kaç iyi sayı Vardır?

a) 1003 b) 1026 c) 2000 d) 2003 e) 2004

21. Soru

21. Bir $ABC$ üçgeninde $m(A)= 70^\circ$ dir. İçteğet çemberinin merkezi $I$ olmak üzere, $|BC| = |AC| + |AI|$ olduğuna göre, $m(B)$ nedir?

a) $35^\circ$ b) $36^\circ$ c) $42^\circ$ d) $45^\circ$ e) Hiçbiri

22. Soru

22. $0 \leq x < 165,\ 0 \leq y < 165$ ve $y^2 \equiv x^3+x \pmod {165} koşullarını sağlayan kaç $(x,\ y)$ tam sayı ikilisi vardır?

a) 80 b) 99 c) 120 d) 315 e) Hiçbiri

23. Soru

23. $\displaystyle \left(1+\dfrac{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt4}{+sqrt2+\sqrt3+\sqrt6+\sqrt8+4}\right)^{10}$ sayısını aşmayan en büyük tam sayı kaçtır?

a) 2 b) 10 c) 21 d) 32 e) 36

24. Soru

24. $n$ takımın katıldığı bir hentbol turnuvasında, her takım, kendi dışındaki her takımla tam olarak bir maç yapıyor. Her maçta kazanan 2, kaybeden 0 puan alırken, beraberlik durumunda iki takım da 1 er puan kazanıyor. Turnuvanın bitiminde tüm takımların puanları farklı olup, sonuncu olan takım ilk üç sırada yer alan takımların hepsini yenmiş ise, $n$ en az kaç olabilir?

a) 8 b) 9 C) 10 d) 12 e) Hiçbiri

25. Soru

25. Kenar uzunlukları $|AB| = 7,\ |BC| = 6$ ve $|AC| = 5$ olan bir $ABC$ üçgeninde $[BC]$ nin orta noktası $E$ dir. $A$ köşesinden çizilen iç açıortaya $E$ den inilen dikmenin $AB$ yi kestiği nokta $D$ ise, $|AD|$ nedir?

a) 5 b) 6 c) $\dfrac92$ d) $3\sqrt2$ e) Hiçbiri

26. Soru

26. Kaç $p$ asal sayısı için, $m^3 + 3m - 2 \equiv 0 \pmod {p}$ ve $m^2 + 4m + 5 \equiv 0 pmod {p} koşullarını sağlayan bir $m$ tam sayısı bulunur?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Sonsuz çoklukta

27. Soru

27. $x,\ y,\ z$ pozitif gerçel sayıları $xy + yz + zx= 5$ koşulunu sağlıyorsa, $x^2 + y^2 + z^2 - xyz$ ifadesi aşağıdaki değerlerden hangisini alamaz?

a) 3 b) 4 c) 5 d) $3\sqrt3$ e) Hiçbiri

28. Soru

28. 10 şekeri olan Ali, her gün en az bir şeker yiyorsa, şekerlerinin tümünü günlere dağılımı itibariyle kaç değişik biçimde yiyebilir?

a) 64 b) 126 c) 243 d) 512 e) 1025

29. Soru

29. Bir $ABC$ üçgeninde içteğet çemberinin merkezi $I$; $[BC]$ ye değen dış teğet çemberinin merkezi $J$ olmak üzere, $m(B) = 45^\circ,\ m(A) = 120^\circ$ ve $|IJ| = \sqrt3$ ise, $|BC|$ kaçtır?

a) $\dfrac32$ b) $\dfrac{\sqrt3}{2}$ c) $\dfrac34$ d) $\dfrac{\sqrt6}{2}$ e) $\sqrt3-1$

30. Soru

30. $0\leq x <13,\ 0\leq y<13,\ 0\leq z<13$ olmak üzere $x-yz^2\equiv 1 \pmod{13}$ $xz+y\equiv 4 \pmod{13}$ denklik sistemini sağlayan kaç $(x,\ y,\ z)$ tam sayı üçlüsü vardır?

a) 10 b) 23 c) 36 d) 49 e) Hiçbiri

31. Soru

31. $a,\ b,\ c$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere, $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ polinomu $P(1) \geq 2$ ve $P(3) \leq 31$ koşullarını sağlıyorsa, $P(4)$ ün alabileceği kaç tam sayı değeri vardır?

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) Hiçbiri

32. Soru

32. “$\{1,\ 2,\ldots,\ 9\}$ kümesinin 5 elemanlı hangi 6 altkümesini alırsak alalım, bunlardan en az bir ortak elemana sahip $k$ tanesi bulunur” önermesinin doğru olmasını sağlayan en büyük $k$ tam sayısı nedir?

a) 1 b) 2 C) 3 d) 4 e) 5

33. Soru

33. Bir dışbükey $ABCD$ dörtgeninde $m(ABD)=40^\circ,\ m(DBC)= 70^\circ,\ m(BDA) = 80^\circ$ ve $m(BDC) = 50^\circ$ ise, $m(CAD)$ nedir?

a) $25^\circ$ b) $30\circ$ c) $35\circ$ d) $38\circ$ e) $40\circ$

34. Soru

34. 1000 den küçük olan ve 2 veya daha fazla ardışık pozitif tam sayının toplamı olarak yazılamayan kaç pozitif tam sayı vardır?

a) 6 b) 10 c) 26 d) 68 e) 72

35. Soru

35. $a,\ b,\ c$ gerçel sayılar olmak üzere, $P(x) = ax^2 + bx + c$ polinomunun farklı gerçel köklerinin sayısı 1, $P(P(P(x)))$ polinomunun farklı gerçel köklerinin sayısı da 3 ise, $abc$ ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

a) $-3$ b) $-2$ c) $2\sqrt3$ d) $3\sqrt3$ e) Hiçbiri

36. Soru

36. $n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere, $n$ sorudan oluşan bir sınavda, her soru en az bir öğrenci tarafından doğru yanıtlanıyor. Ayrıca hem her öğrenci çift sayıda soruyu doğru yanıtlıyor, hem de herhangi iki öğrenci için, her ikisinin de doğru yanıtladığı ortak soru sayısının çift olduğu gözleniyor. $n$ nin alamayacağı değerlerin sayısı nedir?

a) 3 b) 4 c) 5 d) Sonsuz çoklukta e) Hiçbiri