Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama - 2005/Sorular

[math][/math]

1. Soru

1. $|AB | = 2$ olmak üzere, $A$ ve $B$ noktalarından geçen 4 yarıçaplı çember, $A$ ve $C$ noktalarından geçen 3 yarıçaplı çembere dıştan teğet olsun. $BC$ doğrusu ikinci çembere teğetse, $|BC|$ kaçtır?

a) 7 b) $2+ \dfrac{\sqrt{43}}{2} c) $\dfrac52$ d) $4+\sqrt9$ e) $\sqrt7$

2. Soru

2. $n < 2005$ pozitif bir tam sayı olmak üzere, $n$ sayısının, hiçbiri 5 ile bölünmeyen tüm $a_1,\ a_2,\ \ldots ,\ a_n$ pozitif tam sayıları için, $a_1^4+a_2^4+\ldots +a_n^4$ sayısının 5 ile bölünmesini sağlayan en büyük değeri nedir?

a) 2000 b) 2001 c) 2002 d) 2003 e) 2004

3. Soru

3. $x^3 - 6x^2 + 5 = 0$ denkleminin en büyük ve en küçük gerçel köklerinin arasındaki fark $F$ ise, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

a) $0\leq F<2$ b) $2\leq F<4$ c) $4\leq F<6$ d) $6leq F<8$ e) $8\leq F$

4. Soru

4. Tüm basamakları 0 dan farklı olan Ve basamaklarındaki rakamlar nasıl sıralanırsa sıralansın oluşan sayıların hepsinin 7 ile bölündüğü kaç tane altı basamaklı pozitif tam sayı vardır?

a) 11 b) 77 c) 133 d) 166 e) 255

5. Soru

5. $ABCD$ konveks dörtgeninin köşegenlerinin kesişim noktası $M$ olmak üzere, $m(AMB)= 60^\circ$. $O_1,\ O_2,\ O_3,\ O_4$ noktaları sırasıyla, $ABM,\ BCM,\ CDM,\ DAM$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin merkezleriyse, $Alan(ABCD)/Alan(O_1O_2O_3O_4)$ nedir?

a) $\dfrac12$ b) $\dfrac32$ c) $\dfrac{\sqrt3}{2}$ d) $\dfrac{1+2\sqrt3}{2}$ e) $\dfrac{1+\sqrt3}{2}$

6. Soru

6. Aşağıdaki sayılardan hangisi $3^{3n+1} + 5^{3n+2} + 7^{3n+3$ sayısını her $n$ pozitif tam sayısı için böler?

a) 3 b) 5 C) 7 d) 11 e) 53

7. Soru

7. $x,\ y,\ z$ gerçel sayılar olmak üzere, $\sin x \cos y + \sin y \cos z + \sin z \cos x$ ifadesinin alabileceği en büyük değer nedir?

a) $\sqrt2$ b) $\dfrac32$ c) $\dfrac{\sqrt3}{2}$ d) 2 e) 3

8. Soru

8. $xyz = 10^6$ eşitliğini sağlayan kaç $(x,\ y,\ z)$ doğal sayı üçlüsü vardır?

a) 568 b) 784 e) 812 d) 816 e) 824

9. Soru

9. Çevrel çemberinin yarıçapı 1 olan $ABC$ üçgeninin, $A$ ve $C$ köşelerinden ve diklik merkezinden geçen çemberin merkezi, üçgenin çevrel çemberi üzerinde yer alıyorsa, $|AC|$ nedir?

a) 2 b) 3 c) $\dfrac32$ d) $\sqrt2$ e) $\sqrt3$

10. Soru

10. Aşağıdaki sayılardan hangisi $n^{2225} -n^{2005}$ sayısını $n$ nin bütün tam sayı değerleri için bölmez?

a) 3 b) 5 C) 7 d) 11 e) 23

11. Soru

11. $x^2 + y^2 + 2x - 6y = 6$ eşitliğini sağlayan $(x,\ y)$ gerçel sayı ikilileri için, $(x - 1)^2 + (y - 2)^2$ ifadesi aşağıdaki değerlerden hangisini alamaz?

a) 2 b) 9 c) 16 d) 23 e) 30

12. Soru

12. Ördek avına çıkan Ali ile Veli'den her ikisinin de, üstüne ateş ettiği ördeği vurma olasılığı 1 / 2 dir. Av sırasında Ali toplam 12, Veli de toplam 13 ördeğe ateş ederse, Veli'nin Ali'den çok ördek vurma olasılığı nedir?

a) $\dfrac12$ b) $\dfrac{13}{25} c) $\dfrac{13}{24}$ d) $\dfrac7{13}$ e) $\dfrac34$

13. Soru

13. $AD /| BC$ olmak üzere $ABCD$ ikizkenar yamuğunun köşegen uzunluğu $\sqrt3$ ve taban açısı $60^\circ$ olsun. Bu yamukla aynı düzlemde bulunan bir $P$ noktası, $|PA| = 1$ ve $|PD| = 3$ koşullarını sağlıyorsa, $|PC|$ aşağıdakilerden hangisi olabilir?

a) $\sqrt6$ b) $2\sqrt2$ c) $2\sqrt3 d) $3\sqrt3$ e) $\sqrt7$

14. Soru

14. $10^3 < n < 10^6$ koşulunu sağlayan bir $n$ tam sayısına, son üç basamağındaki rakamların toplamı, daha önceki basamaklarındaki rakamların toplamına eşitse, dengeli sayı diyoruz. Tüm dengeli sayıların toplamı 13 moduna göre aşağıdakilerden hangisine denktir?

a) 0 b) 5 c) 7 d) 11 e) 12

15. Soru

15. $a$ nın kaç pozitif gerçel değeri için, $a^2x^t2 +ax+ 1 - 7a^2 = 0^ denkleminin farklı iki tam sayı kökü vardır?

a) 1 b) 2 c) 3 d) Sonsuz çoklukta e) Hiçbiri

16. Soru

16. Toplam ağırlığı 500 kg olan 100 taştan her birinin ağırlığı 1 kg, 10 kg veya 50 kg dır. Ağırlığı 10 kg olan taşların sayısının alabileceği kaç değer vardır?

a)0 b)1 c)2 d)3 e)4

17. Soru

17. Bir $ABC$ üçgeninin $[AB],\ [BC],\ [CA]$ kenarları üzerinde, dışa doğru, sırasıyla $ABMN,\ BCKL,\ ACPQ$ kareleri, $[NQ]$ ve $[KP]$ doğru parçaları üzerinde de $NQZT$ ve $KPYX$ kareleri çiziliyor. $Alan(ABMN) -Alan(BCKL) = 1$ ise, $Alan(NQZT)-Alan(KPYX)$ kaçtır?

a) $\dfrac34 b) $\dfrac53$ c) 2 d) 3 e) 4

18. Soru

18. $x^5 + 5x^2 + x + 1 \equiv 0 pmod {121}$ ve $0 \leq x < 121$ koşullarını sağlayan kaç $x$ tam sayısı vardır?

a)0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 5

19. Soru

19. $x^3 - x^2 - x - \dfrac13 = 0$ denkleminin en büyük gerçel kökü nedir?

a)$\dfrac{\sqrt3-\sqrt2}{2}$ b) $\dfrac{\sqrt[3]3-\sqrt[3]2}{2}$ c) $\dfrac{1}{\sqrt[3]3-1}$ d) $\dfrac{1}{\sqrt[3]4-1}$ e) Hiçbiri

20. Soru

20. 12345 sayısı ile başlayıp, her adımda iki değişik basamaktaki rakamların yerlerini değiştiriyoruz. Aşağıdaki sayılardan hangisi çift sayıda adımda elde edilemez?

a) 13425 b) 21435 c) 35142 d) 43125 e) 53124

21. Soru

21. Kenar uzunluğu 1 olan $ABCD$ karesinin merkezinden, $A$ köşesinden ve $[BC]$ kenarının orta noktasından geçen çemberin yarıçapı kaçtır?

a) $\dfrac{\sqrt3}{4}$ b) $\dfrac{\sqrt5}{4}$ c) $\sqrt2$ d) $\sqrt3$ e) $\dfrac{\sqrt{10}}{4}$

22. Soru

22. $k$ sayısının aşağıdaki değerlerinden hangisi için $x^2 - y^2 = k$ eşitliğini sağlayan $(x,\ y)$ tam sayı ikilisi yoktur?

a) 2005 b) 2006 c) 2007 d) 2008 e) 2009

23. Soru

23. $$\dfrac{x-1}{xy-2}=\dfrac{3-x-y}{7-x^2-y^2}=\dfrac{y-2}{xy-4}$$ denklem sisteminin kaç çözümü vardır?

a)0 b)1 c)2 d)3 e)4

24. Soru

24. 20 kişilik bir toplulukta, 10 kişi İngilizce, 10 kişi Almanca, 10 kişi de Fransızca biliyor. Bu topluluğun üç kişilik bir altkümesinde İngilizce bilen en az bir kişi, Almanca bilen en az bir kişi ve Fransızca bilen en az bir kişi varsa, bu altkümeye bir komite diyoruz. Bu toplulukta en çok kaç farklı komite olabilir?

a) 120 b) 380 c) 570 d) 1020 e) 1140

25. Soru

25. Bir $ABCD$ dikdörtgeninde, $E,\ F, C$ noktaları, sırasıyla $[AB],\ [BC],\ [CD]$ kenarları üstünde olmak üzere, $|BF| = |FC|,\ m(FGE) = 90^\circ,\ |BC| = 4\sqrt3/5$ ve $|EF|=\sqrt5$ koşulları sağlanıyorsa, $|BF|$ kaçtır?

a) $\dfrac{\sqrt{10}-\sqrt2}{2}$ b) $\sqrt3-1$ c) $\sqrt3$ d) $\dfrac{\sqrt{11}-\sqrt3}{2} e) 1

26. Soru

26. Her $n$ pozitif tam sayısı için, $f(2n+ 1) = 2f(2n),\ f(2n)= f(2n- 1) + 1$ ve $f(1) = 0$ ise, $f(2005)$ sayısının 5 e bölümünde elde edilen kalan aşağıdakilerden hangisidir?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

27. Soru

27. a, b, c hepsi birden sıfır olmayan gerçel sayılar olmak üzere,

$$ax^2+bx+c=0$$ $$bx^2+cx+a=0$$ $$cx^2+ax+b=0$$

denklem sisteminin en büyük gerçel kökü ile en küçük gerçel kökü arasındaki fark en çok kaç olabilir?

a) 0 b) 1 c) $\sqrt2$ d) $3\sqrt2$ e) Üst sınırı yoktur

28. Soru

28. $a,\ b,\ c;$ 1 den büyük tam sayılar olmak üzere, $a ! = b ! c!$ denkleminin kaç çözümü vardır?

a) 1 b) 2 c) 6 d) 8 e) Sonsuz çoklukta

29. Soru

29. Bir üçgenin, uzunlukları 5 ve $2\sqrt6$ olan kenarlarına ait yüksekliklerin uzunlukları sırasıyla $h_1$ ve $h_2$ olmak üzere, $5 + h_1\leq 2\sqrt6 + h_2$ ise, bu üçgenin üçüncü kenarının uzunluğu kaçtır?

a) 5 b) 7 c) $2\sqrt6$ d) $3\sqrt6$ e) $5\sqrt3$

30. Soru

30. Bir $n$ tam sayısı için, $n^2 + 1$ sayısının pozitif bölenlerinin sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) Hiçbiri

31. Soru

31. $a,\ b,\ c,\ d$ gerçel sayılar ve $f(x) = x^2 + ax + b,\ g(x) = x^2 + cx + d$ olmak üzere,

$$f(x)+f(x)=0$$ $$f(x)-\left(g(x)\right)^3=0$$

denklem sisteminin birden çok gerçel kökü varsa, $f(x)g(x) = 0 denkleminin en çok kaç farklı gerçel kökü olabilir?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

32. Soru

32. Ali, 2005 taştan oluşan bir öbekteki taşlardan birini seçip, bu taşı Betül' ün göremeyeceği biçimde işaretliyor ve taşları karıştırıyor. Betül, her hamlede mevcut taşları hiçbiri boş olmayan üç öbeğe ayırıyor. Ali, işaretlediği taşı içermeyen iki öbekten, varsa daha çok taştan oluşanını, her ikisi de aynı sayıda taştan oluşuyorsa, herhangi birini oyundan çıkartıyor Ve geri kalan taşları yeniden karıştırıyor. Sıra tekrar Betül'e geliyor ve oyun iki taş kalana kadar bu şekilde sürüyor. İki taş kalınca, Ali, Betül'e hangi taşın işaretli olduğunu söylüyor. Betül, işaretli taşı en az kaç hamlede bulmayı garantileyebilir?

a) 11 b) 13 c) 17 d) 18 e) 19

33. Soru

33. $K,\ ABCD$ kirişler dörtgeninin köşegenlerinin kesişim noktası olmak üzere, $|AB| = $|BC|,\ |BK| = b$ ve $|DK| = d$ ise, $|AB|$ aşağıdakilerden hangisidir?

a) $\sqrt{d^2+bd}$ b) $\sqrt{b^2+bd}$ c) $\sqrt{2bd} d) $\sqrt{2(b^2+d^2-bd)}$ e) $\sqrt{bd}$

34. Soru

34. $xyz = 510510$ ve $x^2y+y^2z+z^2x = xy^2+yz^2 +zx^2$ eşitliklerini sağlayan kaç $(x,\ y,\ z)$ pozitif tam sayı üçlüsü vardır?

a) 0 b) 1 c) 3 d) 8 e) Hiçbiri

35. Soru

35. $a,\ b$ ve $c$, $a < b$ koşulunu sağlayan gerçel sayılar olmak üzere, her $x$ gerçel sayısı için, $ax^2+bx+c \geq 0$ ise, $\dfrac{a+b+c}{b-a}$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

a) $\dfrac5{\sqrt3}$ b) 2 c) $\dfrac{\sqrt5}2$ d) 3 e) $\dfrac{\sqrt7}2$

36. Soru

36. $n$ güreşçinin katıldığı bir turnuvada, farklı herhangi iki güreşçi aralarında tam olarak bir kez güreşiyor. Her karşılaşma sonucunda kazanan 2, kaybeden 0 puan alıyor; beraberlik durumunda ise, her iki güreşçiye de 1er puan Veriliyor. Turnuva sonucunda en çok toplam puana sahip olan güreşçi, turnuva boyunca en az galibiyet almış olan güreşçi ise, $n$ en az kaç olabilir?

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9