Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama - 2013/Sorular
İçindekiler
- 1 1. Soru
- 2 2. Soru
- 3 3. Soru
- 4 4. Soru
- 5 5. Soru
- 6 6. Soru
- 7 7. Soru
- 8 8. Soru
- 9 9. Soru
- 10 10. Soru
- 11 11. Soru
- 12 12. Soru
- 13 13. Soru
- 14 14. Soru
- 15 15. Soru
- 16 16. Soru
- 17 17. Soru
- 18 18. Soru
- 19 19. Soru
- 20 20. Soru
- 21 21. Soru
- 22 22. Soru
- 23 23. Soru
- 24 24. Soru
- 25 25. Soru
- 26 26. Soru
- 27 27. Soru
- 28 28. Soru
- 29 29. Soru
- 30 30. Soru
1. Soru
1. Ali matematik ve fizik ödevlerinde aynı oranda soru çözüyor. Fizik ödevinde toplam 25 soru varsa ve Ali tam olarak 18 matematik sorusu çözdüyse, matematik ödevindeki toplam soru sayısının alabileceği kaç farklı değer vardır?
a) 18 b) 12 c) 10 d) 6 e) 2
2. Soru
2. $20x^3 - 13y^3 = 2013$ eşitliğini sağlayan kaç $(x,\ y)$ pozitif tam sayı ikilisi vardır?
a) 3 b) 2 c) 1 d) Sonsuz çoklukta e) Hiçbiri
3. Soru
3. $\angle A$ ve $\angle E$ açıları dik olan $ABCD$ yamuğunda $[AB]$ çaplı çember $[CD]$ kenarına $E$ noktasında teğettir. $[AB]$ nin orta noktası $O$ ve $AB$ ile $CD$ doğrularının kesişim noktası $F$ olmak üzere, $s(\angle DFO) = 70^\circ$ ise, $s(\angle DFO) nedir?
a) 45 b) 50 c) 55 d) 60 e)65
4. Soru
4. 18, 2013 ve $n$ sayılarının en büyük ortak böleninin 3, en küçük ortak katının 60390 olmasını sağlayan kaç pozitif $n$ tam sayısı vardır?
a) 7 b) 9 c) 16 d) 18 e) 20
5. Soru
5. 18 özdeş top 4 farklı kutuya tam olarak 2 kutuda tek sayıda top bulunacak şekilde kaç farklı biçimde dağıtılabilir?
a) 1062 b) 1050 c) 1014 01) 990 e) 972
6. Soru
6. Bir $ABCD$ dışbükey dörtgeninde $s(\angle ABC)= s(\angle ADC) = 90^\circ,\ s(\angle BAC)= 40^\circ,\ s(CAD) = 20^\circ$ ve $|BD| = 6$ ise, $|AC|$ nedir?
a) $4\sqrt3$ b) 12 c) 8 d) 6 e) 2\sqrt3
7. Soru
7. $n$ nin aşağıdaki değerlerinden hangisi için, $x^2 + y^2 = n^ ve ^1 \leq x \leq y$ koşullarını sağlayan tam olarak bir $(x,\ y)$ tam sayı ikilisi vardır?
a) 259 b) 257 c) 221 d) 185 e) 165
8. Soru
8. 2 beyaz ve 4 kırmızı taş en çok 4 öbeğe kaç farklı biçimde ayrılabilir?
a) 26 b) 25 c) 24 d) 23 e) 22
9. Soru
9. $\angle A$ ve $\angle C$ açıları dik olan bir $ABCD$ dışbükey dörtgeninde $[BD]$ ve $[AC]$ kösegenleriniri orta noktaları sırasıyla, $E$ ve $F$ dir. $|AC| = 2\sqrt3$ ve $|BD| = 4\sqrt7$ ise, $|EF|$ nedir?
a) $2\sqrt7$ b) $\sqrt{31}$ c) $4\sqrt3$ d) 6 e) 5
10. Soru
10. Her sayının yazılı olduğu birim kareyle ortak bir kenar paylaşan en az iki birim kareye de aynı sayı yazılmak koşuluyla bazı birim karelerine birer sayı yazılan $18 \times 18$ bir satranç tahtasına en fazla kaç farklı sayı yazılabilir?
a) 100 b) 96 c) 90 d) 81 e) 64
11. Soru
11. $\dfrac{1}{n+1}$ den büyük, $\dfrac{1}{n}$ den küçük ve paydası 2013 olacak biçimde $m/n$ yazılabilen tam olarak bir tane rasyonel sayı bulunmasını sağlayan en küçük $n$ pozitif tam sayısının rakamlarının toplamı nedir?
a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4
12. Soru
12. $A$ merkezli ve $B$ noktasından geçen bir $\Gamma_1$ çemberi, $B$ merkezli bir $\Gamma_2$ çemberini $C$ ve $D$ noktalarında kesiyor. $\Gamma_1$ in $CBD$ yayının ölçüsü $110^\circ$ ise, $\Gamma_2$ nin büyük $CD$ yayının ölçüsü nedir?
a) $250^\circ$ b) $245^\circ$ c) $240^\circ$ d) $235^\circ$ e) $230^\circ$
13. Soru
13. Başlangıçta bir öbekte $n$ taş bulunuyor. Ayşe ve Burak sırayla hamle yapıyorlar ve sırası gelen oyuncu seçtigi bir öbeği hiçbiri boş olmayan üç öbeğe ayırıyor. Hamle yapamayan oyunu kaybediyor. Oyuna her sefer Ayşe başlamak üzere, oyun $n = 2011,\ 2012,\ 2013,\ 2014,\ 2015$ değerleri için birer kez oynanırsa, Ayşe bunlardan kaçını kazanmayı garantileyebilir?
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) Hiçbiri
14. Soru
14. $\sqrt{n}$ sayısının on tabanına göre yazılımında virgülden sonraki ilk iki basamağındaki rakamların 0 olmasını sağlayan ve tam kare olmayan en küçük $n$ pozitif tam sayısı kaçtır?
a) 2602 b) 2501 c) 2305 (1) 2026 e) 1601
15. Soru
15. $|AB| = 3$ ve $|AC| = 4$ olan bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üstündeki bir $D$ noktası için, $ABD$ ve $ACD$ üçgenlerinin agirlik merkezleri sırasıyla, $G_1$ ve $G_2$ olmak üzere, $|G_1G_2| = 2$ ise, $[BC]$ nedir?
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) Hiçbiri
16. Soru
16. Bir tahtaya yan yana $n$ tane hepsi birbirinin aynı olmayan pozitif tam sayı yazılmıştır. Sonuncu dışında, her sayı ile sağındaki sayının 3 katının toplamı 1000 ediyorsa, $n$ en çok kaç olabilir?
a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6
17. Soru
17. Pozitif bir tam sayının 2013 katının rakamları toplamı 12 ise, bu sayının rakamlarının toplamı 8, 10, 12, 14, 16 değerlerinden kaçını alabilir?
a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0
18. Soru
18. $[AB] = 6,\ [AC] = 8,\ [BC] = 10$ olan bir $ABC$ üçgeninde $A$ ya ait yüksekliğin ayağı $H$ ve $[BC]$ nin orta noktası $D$ dir. $AHD$ üçgeninin çevrel çemberinin $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarını ikinci kez kestiği noktalar sırasıyla, $E$ ve $F$ ise, $HEFD$ dörtgeninin alanı nedir?
a) $\dfrac{234}{25}$ b) $\dfrac{192}{25}$ c) $\dfrac{172}{25}$ d) $\dfrac{134}{25}$ e) Hiçbiri
19. Soru
19. $x,\ y,\ z$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere, $(x^2 + y^3 + z^6)/ (xyz)$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?
a) $\sqrt[6]{288} b) $\dfrac{11}{4}$ c) $2\sqrt2$ d) 3 e) Hiçbiri
20. Soru
20. Kendisinden küçük pozitif tam sayıların basamak sayılarının toplamı 2013 olan pozitif tam sayının rakamlarının toplamı nedir?
a) 6 b) 9 c) 12 d) 15 e) Hiçbiri
21. Soru
21. Bir $ABCD$ karesinin $[AB]$ ve $[CD]$ kenarları üstündeki sırasıyla, $K$ ve $L$ noktaları $|AK| = |CL|$ koşulunu sağlıyor. $[KL]$ üstündeki bir $M$ noktası için, $s(\angle DAM) = s(\angle M DL) = 20^\circ$ ise, $s(\angle AKM)$ nedir?
a) $70^\circ$ b) $65^\circ$ c) $60^\circ$ d) $55^\circ$ e) $45^\circ$
22. Soru
22. On tabanındaki yazılımı yalnızca 0 ve 1 rakamlarından oluşan ve 7 ile bölünen bir pozitif tam sayının rakamlarının toplamı 7, 10, 18, 100, 2013 değerlerinin kaçını alabilir?
a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) Hiçbiri
23. Soru
23. $100 \times 100$ bir satranç tahtasının üzerine tahtanın birim karelerinden oluşan ve birbirinin iç bölgelerini kesmeyen en fazla kaç tane $1 \times 53$ dikdörtgen yerleştirilebilir?
a) 182 b) 184 c) 185 d) 186 e) Hiçbiri
24. Soru
24. $|AB| = |AC|$ olan bir ikizkenar $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üstündeki bir $D$ noktasından $AB$ ve $AC$ doğrularına inilen dikmelerin ayakları sırasıyla, $E$ ve $F$ olmak üzere, $[DE] = 3,\ |DF| = 12$ ve $|AF| = 21$ ise, $|BC|$ nedir?
a) 18 b) 3\sqrt{30} c) 16 d) $5\sqrt{10} e) Hiçbiri
25. Soru
25. Karesinin basamak sayısı, kendisinin rakamlarının toplamına eşit olan en küçük altı pozitif tam sayının toplamı nedir?
a) 212 b) 208 c) 204 d) 200 e) Hiçbiri
26. Soru
26. $n$ takımın katıldığı bir futbol turnuvasında herhangi iki takım tam olarak bir kez karşılaşıyor ve kazanan takım 3, berabere kalan takımlar 1 er, yenilen takım 0 puan alıyor. Turnuva sona erdiğinde oluşan puan sıralamasında $n - 1$ takımın puanları eşit olup bir takımın puanı diğer takımlardan 1 puan fazlaysa, $n$ en az kaç olabilir?
a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3
27. Soru
27. $|AC| = 8,\ |BC| = 9$ ve $|AB| = 7$ olan bir $ABC$ üçgeninin $A$ köşesinden $BI$ ve $CI$ iç açıortaylarına inilen dikmelerin ayakları arasındaki uzaklık nedir?
a) 1 b) $\dfrac32$ c) 2 d) $\dfrac52$ e) 3
28. Soru
28. Bir çember üstünde yer alan 101 noktadan biri kırmızıya, diğerleri beyaza boyanmıştır. Bir köşesi kırmızı diğer köşeleri beyaz noktalarda yer alan dışbükey çokgenlerin sayısını $K$, tüm köşeleri beyaz noktalarda yer alan dışbükey çokgenlerin sayısını da $B$ ile gösterirsek, $K- B$ nedir?
a) 4950 b) 2450 c) 125 d) 0 e) $-125$
29. Soru
29. $|x| \leq 1,\ |y|\leq 1$ ve $x + 2y = 1$ koşullarını sağlayan $x$ ve $y$ gerçel sayıları için, $\sqrt{24(1-x^2)}+\sqrt{21(1-y^2)}$ ifadesinin alabileceği en büyük değer nedir?
a) $\dfrac83\sqrt3+\dfrac23\sqrt{42}$ b) $2\sqrt6+\dfrac32\dfrac7$ c) 9 d) $\dfrac{35}{5}$ e)Hiçbiri
30. Soru
30. $[AB]$ çaplı bir çember, $[AC]$ ve $[BC]$ doğru parçalarını ikinci kez sırasıyla, $D$ ve $E$ noktalarında kesiyor. $D,\ [AC]$ nin orta noktası, $|AB| = 25$ ve $|AC| = 10$ ise, $[AE]$ nedir?
a) $4\sqrt6 b) $3\sqrt6$ c) $4\sqrt5$ d) 6 e) $3\sqrt5$
