Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama - 2012/Sorular
İçindekiler
- 1 1. Soru
- 2 2. Soru
- 3 3. Soru
- 4 4. Soru
- 5 5. Soru
- 6 6. Soru
- 7 7. Soru
- 8 8. Soru
- 9 9. Soru
- 10 10. Soru
- 11 11. Soru
- 12 12. Soru
- 13 13. Soru
- 14 14. Soru
- 15 15. Soru
- 16 16. Soru
- 17 17. Soru
- 18 18. Soru
- 19 19. Soru
- 20 20. Soru
- 21 21. Soru
- 22 22. Soru
- 23 23. Soru
- 24 24. Soru
- 25 25. Soru
- 26 26. Soru
- 27 27. Soru
- 28 28. Soru
- 29 29. Soru
- 30 30. Soru
1. Soru
1. $x$ pozitif gerçel sayısının %15 i ve %66 si tam sayıdır. 13 sayısının %15 i en az kaç olabilir?
a) 3 b) 5 c) 7 d) 8 e) Hiçbiri
2. Soru
2. $\{1,\ 2,\ldots,\ 17\}$ kümesinin farkları 4 olan herhangi iki eleman içermeyen kaç alt kümesi vardır?
a) 3490 b) 6480 c) 6656 d) 6966 e) 8264
3. Soru
3. $|AB| = 4,\ |BC| = 3$ ve $s(ABC)=90^\circ$ olan bir $ABC$ üçgeninde $B$ köşesine ait yüksekliğin ayağı $D$ noktası ve $D$ den $[BC]$ kenarına inilen dikmenin ayağı da $E$ noktası ise, $|BE|$ nedir?
a) $\dfrac{48}{25}$ b) $\dfrac{36}{25}$ c) $\dfrac{12}{25}$ d) $\dfrac{12}{5}$ e) Hiçbiri
4. Soru
4. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 rakamlarının her birini bir kez kullanarak 11 ile bölünen yedi basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?
a) 720 b) 576 c) 432 d) 288 e) 144
5. Soru
5. $x$ pozitif gerçel sayısının tam sayı ve kesirli kısımlarının çarpımı 2 den, y pozitif gerçel sayısının tam sayı ve kesirli kısımlarının çarpımı da 3 ten küçük değilse, $xy$ en az kaç olabilir?
a) $\dfrac{183}{11}$ b) $\dfrac{209}{12}$ c) $\dfrac{245}{14}$ d) $\dfrac{231}{13}$ e) $\dfrac{271}{15}$
6. Soru
6. Bir $ABC$ üçgeninde $[AB]$ kenarı üstündeki $D$ noktası ve $[AC]$ kenarı üstündeki $E$ noktası için, $s(\angle AED) = s(\angle ABC),\ |AE| = 2, |AD| = 5$ ve $|BD| = 3$ ise, $|CE|$ nedir?
a) 12 b) 15 c) 18 d) 21 e) Hiçbiri
7. Soru
7. Dördü beyaz, dördü kırmızı tişört giyen sekiz öğrenci ikişer kişilik dört sıraya farklı renkte tişört giyen iki öğrenci aynı sırada oturmamak koşuluyla kaç farklı biçimde oturabilir?
a) 1728 b) 2304 c) 2880 d) 3456 e) 9216
8. Soru
8. Tüm pozitif tam sayı kuvvetlerinin on tabanına göre yazılımının son iki basamağı aynı olan kaç tane iki basamaklı sayı vardır?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) Hiçbiri
9. Soru
9. $s(\angle BAC) = 90^\circ$ olan bir $ABC$ üçgeninin $[AC]$ kenarına ait bir $D$ noktası için, $BD$ doğrusu ile $[AH]$ yüksekliği $E$ noktasında kesişiyor. $|BH| = 3,\ |CH| = 12$ ve $|EH| = 2|EA|$ ise, $|DE|$ nedir?
a) $\dfrac{32}{19}$ b) $\dfrac{30}{17}$ c) $\dfrac{23}{13}$ d) 2 e) $\dfrac{20}{11}$
10. Soru
10. $\sqrt{n+9-6\sqrt{n}} + \sqrt{n+25-10\sqrt{n}} = 2$ denklemini sağlayan $n$ tam sayılarının toplamı nedir?
a) 228 b) 231 c) 242 d) 255 e) 289
11. Soru
11. 18 takımın katıldığı bir futbol turnuvasında herhangi iki takım tam olarak bir kez karşılaşıyor ve kazanan takım 3, berabere kalan takımlar 1 er, kaybeden takım 0 puan alıyor. Turnuva sona erdiğinde oluşan puan sıralamasında ardışık sıralarda yer alan iki takım arasındaki puan farkı en çok kaç olabilir?
a) 32 b) 33 c) 34 d) 35 e) Hiçbiri
12. Soru
12. $s(\angle ABC) = 50^\circ$ olan bir $ABC$ üçgeninin $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarını sırasıyla, $D$ ve $E$ noktalarında kesen doğru, üçgenin çevrel çemberine $A$ noktasında teğet olan doğruya paraleldir. $ss(\angle EDC) = 20^\circ$ ise, $s(\angle DBE)$ nedir?
a) $15^\circ$ b) $20^\circ$ c) $25^\circ$ d) $30^\circ$ e) Hiçbiri
13. Soru
13. $n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $2^n + 3^n + 4^n$ sayısının on tabanına göre yazılımının sondan en çok kaç basamağı 9 olabilir?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
14. Soru
14. $A$ gerçel sabitinin kaç farklı değeri için, $x^3 + y^3 = 5xy$ ve $x + y = A$ eşitliklerinin her ikisini de sağlayan tam olarak bir $(x,\ y)$ gerçel sayı ikilisi vardır?
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1
15. Soru
15. $|AB| = 2$ ve $|AD| = 2\sqrt2$ olan bir $ABCD$ dikdörtgeninde $[AD]$ nin orta noktası $E,\ [AE]$ nin orta noktası da $F$ dir. $AC$ ve $BE$ dogruları $C$ noktasında kesişiyorsa, $|FC|$ nedir?
a) $\dfrac{1}{\sqrt2}$ b) $\dfrac{\sqrt3}{2}$ c) 1 d) $\sqrt2$ e) Hiçbiri
16. Soru
16. Ahmet 30 şekeri, herhangi iki günde yediği şeker sayısının farkı 3 e bölünmemek koşuluyla üç günde kaç farklı biçimde yiyebilir?
a) 330 b) 300 c) 275 d) 240 e) 165
17. Soru
17. Bir pozitif tam sayının basamak sayısı ile küpünün basamak sayısının toplamı 2012 den büyük olmayan kaç farklı değer alabilir?
a) 1509 b) 1342 C) 1006 d) 671 e) 503
18. Soru
18. Bir $ABC$ üçgeninde $[BC]$ kenarına $D$ noktasında, $AC$ doğrusuna da $A$ noktasında teğet olan bir çember $[AB]$ kenarını $E$ noktasında kesiyor. $|BD|/|AC| = 2$ ve $|AE|/|BD| = 5/6$ ise, $AD$ ve $CE$ doğrularının kesişim noktası $F$ için, nedir?
a) $\dfrac52$ b) 3 c) $2\sqrt3$ d) $\dfrac{16}{5}$ e) $\dfrac{15}{4}$
19. Soru
19. $x$ ve $y$ pozitif gerçel sayılar olmak uzere, $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{x^2}{y^2}=18$ ise, 9 37 y 37 _ 2 M nedir?
a) 8 b) 6 C) 5 d) 4 e) 2
20. Soru
20. Bir çember etrafina yazılmış hepsi 0 olmayan $n$ tane sayının her biri iki komşusunun toplamına eşitse, $n$ aşağıdakilerden hangisi olabilir?
a) 2012 b) 2013 c) 2014 d) 2015 e) Hiçbiri
21. Soru
21. Düzlemdeki noktalardan oluşan bir $A$ kümesindeki her nokta için, o nokta merkezli ve birim yarıçaplı çember $A$ nin tam olarak üç noktasından geçiyorsa, $A$ nin en az kaç elemanı olabilir?
a) 12 b) 10 c) 8 d) 6 e) 5
22. Soru
22. $7 \cdot 2^n + 1$ sayısının tam kare olmasını sağlayan kaç $n$ pozitif tam sayısı vardır?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) Hiçbiri
23. Soru
23. $2x^2 - 4xy + 5y^2 = 4x + 2y - 5$ eşitliğini sağlayan kaç $(x,\ y) gerçel sayı ikilisi vardır?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Hiçbiri
24. Soru
24. Köşeleri, kenar uzunlukları $|AB| = 10,\ |BC| = 21$ ve $|CA| = \sqrt{205} olan bir $ABC$ üçgeninin kenarları üstünde yer alan ve çevresi 32 birim olan bir dikdörtgenin uzun kenarının uzunluğu kaç birimdir?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) Hiçbiri
25. Soru
25. Her hamlede, başlangıçta her birinde eşit sayıda şeker olan $n$ ögrenciden biri elindeki şekerlerin bir kısmını diğer öğrencilere eşit olarak dağıtıyor. $n$ nin kaç farklı değeri için, sonlu sayıda hamle sonucunda öğrencilerden birinin elinde 36, bir diğerinin elinde de 21 şeker bulunması sağlanabilir?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) Hiçbiri
26. Soru
26. $a^2 + a + 34 = b^2$ eşitliğini sağlayan kaç $(a,\ b)$ pozitif tam sayı ikilisi vardır?
a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0
27. Soru
27. $C,\ [AB]$ çaplı çemberin dış bölgesinde yer alan bir nokta olmak üzere, $AC$ ve$ BC$ dogruları çemberi ikinci kez sırasıyla, $D$ ve $E$ noktalarında kesiyor. $AE$ ve $BD$ doğrularının kesişim noktası $F,\ AB$ ve $CF$ doğrularının kesişim noktası da $C$ olmak üzere, $[AF] = 12$ ve $s(\angle EDC) = 60^\circ$ ise, $[AC]$ nedir?
a) $5\sqrt3$ b) $6\sqrt3$ c) $7\sqrt3$ d) $8\sqrt3$ e) Hiçbiri
28. Soru
28. $3x + 2y + z = 12$ koşulunu sağlayan $x,\ y,\ z$ negatif olmayan gerçel sayıları için, $x^3 + y^2 + z$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?
a) $\dfrac{1111}{108}$ b) 11 c) 9 d) $7\sqrt[3]{2}$ e) $5\sqrt3$
29. Soru
29. $1 \times 17$ bir satranç tahtasının karelerine $1,\ 2,\ldots ,\ 17$ sayıları sırayla ve 1 den sonraki her sayı daha önce yazılmış sayılardan birine komşu olmak koşuluyla kaç farklı biçimde yazılabilir?
a) 45680 b) 65536 C) 70246 d) 81246 e) Hiçbiri
30. Soru
30. Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde $[AD],\ [BE]$ ve $[CF]$ yükseklikleri $H$ noktasında kesişiyor. $[AH] - [AD] + [BH] - [BE] + [CH] - [CF] = 71$ ve $[AB]^2 + [AC]^2 = 106$ ise, $[BC]$ nedir?
a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5
