Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama - 2011/Sorular

[math][/math]

1. Soru

1. Bir bardakta bulunan 100 gram şekerli suyun kütlece %98 i sudur. Bir süre sonra suyun buharlaşması sonucu suyun kütlece oranı %96 ya düştüğünde şekerli suyun kütlesi kaç gram olur?

a) 50 b) 64 c) 95 d) 96 e) Hiçbiri

2. Soru

2. $m \leq n$ olmak üzere; en büyük ortak bölenleri 11, toplamları da 165 olan kaç tane $(m,\ n)$ pozitif tam sayı ikilisi vardır?

a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4

3. Soru

3. $ABCD$ bir dışbükey dörtgen olmak üzere, $ABC$ üçgeninin iç bölgesindeki bir $E$ noktası $|BE| = |AD|,\ |AE| = |CD|$ ve $s(\angle EAB) = s(\angle ADC)$ koşullarını sağlıyor. $s(\angle EAC)= 30^\circ$ ve $s(\angle ACD) = 40^\circ$ ise, $s(\angle BCD)$ nedir?

a) $100^\circ$ b) $95^\circ$ c) $90^\circ$ d) $85^\circ$ e) $80^\circ$

4. Soru

4. $A$ ve $B$ harferi rakamları belirtmek üzere, on tabanına göre yazılımı $3A4B$ olan bir sayının 45 ile bölümünden kalanin 17 olmasını sağlayan kaç $(A,\ B)$ ikilisi vardır?

a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 e) Hiçbiri

5. Soru

5. $\{50,\ 100,\ 1000,\ 2000,\ 2010,\ 2011,\ 2012,\ 3000\}$ kümesinin üç elemanlı kaç altkümesinin elemanları toplamı 3 ile bölünür?

a) 30 b) 27 c) 24 d) 20 e) 18

6. Soru

6. $s(\angle ABC)= 90^\circ$ olan bir $ABCD$ dışbükey dörtgeninde $[AC]$ köşegeninin orta noktası $E$ dir. $|AE| = |DE|$ ve $s(\angle ABD) = 20^\circ$ ise, $s(\angle AED)$ nedir?

a) $40^\circ$ b) $30^\circ$ c) $20^\circ$ d) $15^\circ$ e) $10^\circ$

7. Soru

7. $1^4 + 2^4 + \ldots + 2011^4$ sayısının 16 ile bölümünden kalan nedir?

a) 14 b) 11 c) 8 d) 5 e) 2

8. Soru

8. Başlangıçta ellerinde 5, 10, 15, 20 ve 25 şeker bulunan beş ögrenciden her adımda biri elindeki şekerlerin bir kısmını diğer öğrenciler arasında eşit olarak paylaştırıyor. En az kaç adımda öğrencilerin ellerindeki şekerlerin sayısı eşitlenebilir?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

9. Soru

9. $|AB| = 16$ ve $|BCl = 24$ olan bir $ABC$ üçgeninin $B$ köşesine ait içaçıortayının üstündeki bir $D$ noktası $s(\angle BDC) = 90^\circ$ koşulunu sağlıyor. $[AC]$ nin orta noktası $E$ ise, $|DE|$ nedir?

a) 10 b) 9 C) 8 d) 4 e) 2

10. Soru

10. Bir küpün köşelerine tam sayılar; en çok kaç köşedeki sayı, bu köşeye bir ayrıtla bağlanan üç köşedeki sayıların aritmetik ortalamasından küçük olacak biçimde yerleştirilebilir?

a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4

11. Soru

11. Ayşe bir kavanozdan her adımda kavanozdaki bilye sayısının bir fazlasının yarısı sayıda bilyeyi çıkarıyor. Kavanozu boşaltmak için Ayşe'nin bu işlemi beş kez tekrarlaması gerekiyorsa, başlangıçta kavanozda kaç bilye vardır?

a) 15 b) 16 c) 31 d) 33 e) 37

12. Soru

12. $E,\ ABCD$ paralelkenarının iç bögesinde bir nokta olmak üzere; $AE$ doğrusu $[DC]$ kenarını $F$ noktasında, $CE$ doğrusu da $[AD]$ kenarını $G$ noktasında kesiyor. $|DF|/|FC| = 3/2,\ |DC|/|GA| 3/5$ ve $Alan(AEG) - Alan(CEF) = 9$ ise, $Alan(ABCD)$ nedir?

a) 95 b) 90 c) 85 d) 80 e) Hiçbiri

13. Soru

13. İstasyon saatinin her saat başı çaldığı bir istasyondan eşit zaman aralıklarıyla tren geçiyor. Cumartesi günü bir süre boyunca istasyonu seyreden Ali, bu süre boyunca iki trenin geçtigini görüyor ve bir kez de saatin çaldığını duyuyor. Pazar günü ise, Ali daha uzun bir süre boyunca istasyonu seyrediyor. Ali bu süre boyunca on altı kez saatin çaldığını duyduysa, gördügü tren sayısı en az kaç olabilir?

a) 16 b) 10 c) 9 d) 7 e) Hiçbiri

14. Soru

14. Aşağıdaki hangi $(A,\ B)$ ikilisi için, $2x+y = A$ ve $x^2+y^2 = B$ eşitliklerini sağlayan hiçbir $(x,\ y), gerçel sayı ikilisi yoktur?

a) $\left(\dfrac52,\ \dfrac97\right)$ b) $\left(1,\ \dfrac29\right)$ c) $\left(\dfrac43,\ \dfrac13\right)$ d) $\left(\dfrac95,\ \dfrac23\right)$ e) $\left(2,\ \dfrac67\right)$

15. Soru

15. Kenar uzunluğu 5 birim olan $ABCD$ karesinin $[AB],\ [BC],\ [CD],\ [DA]$ kenarları üstünde $|AE| = |BF| = |CG| = lDHl = 3$ olacak biçimde sırasıyla, $E,\ F,\ G,\ H$ noktaları alınıyor.$ A,\ B,\ C,\ D$ noktalarından geçen çemberin sınırladığı dairenin alanının, $EFGH$ karesine içten teğet olan çemberin sınırladığı dairenin alanına oranı kaçtır?

a) $\dfrac{13}{5}$ b) $\dfrac{40}{13}$ c) $\dfrac{45}{13}$ d) $\dfrac{13}{4}$ e) Hiçbiri

16. Soru

16. Aşağıdaki sayıların en küçügü hangisidir?

a) $\dfrac{\sqrt3}{6}$ b) $\dfrac{\sqrt{10}}{11}$ c) $\sqrt5-2$ d) $\dfrac14$ e) $3\sqrt2-4$

17. Soru

17. $16^{2011}$ sayısının on tabanına göre yazılımında onlar basamağındaki rakam aşağıdakilerden hangisidir?

a) 9 b) 7 c) 5 d) 3 e) 1

18. Soru

18. $[AB]$ ve $[CD]$ bir çemberin farklı çapları olmak üzere, $D$ den bu çembere çizilen teğet $AB$ doğrusunu $B$ ye göre $A$ ile farklı tarafta yer alan bir $E$ noktasında, $BC$ doğrusunu $F$ noktasında kesiyor. $|EB| / |AB| = 5/2$ ve $|DF| = 4$ ise, $|EF|$ nedir?

a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

19. Soru

19. $r$ pozitif gerçel sayısı $3r-\dfrac{3}{2r+4}=4$ eşitliğini sağlıyorsa, $r+\dfrac{3}{4r+8}$ nedir?

a)$2\sqrt5-2$ b)\sqrt6 c) $\sqrt{19}-2$ d) $\sqrt5$ e) $\sqrt{18}-2$

20. Soru

20. $2,\ 3,\ \ldots ,\ 2011$ tam sayılarından kaç tanesi karekökünden küçük olan en büyük tam sayı ile bölünür?

a) 44 b) 88 c) 89 d) 180 e) 131

21. Soru

21. $AB\|CD$ olmak üzere,$ABCD$ yamuğunun tüm kenarlarına teğet olan bir çember $[AB]$ ye $E$, $[CD]$ ye de $F$ noktasında değiyor. $|AE| = 5,\ |CF|= 3$ ve $|FD| = 2$ ise, $|BE|$ nedir?

a) $\dfra{15}{2}$ b) 4 c) $\dfrac{10}{3} d) 3 e) Hiçbiri

22. Soru

22. $pqr = 2pr + qr + 10p$ eşitliğini sağlayan kaç $(p,\ q,\ r)$ asal sayılar üçlüsü vardır?

a)5 b)4 c)3 d)2 e)1

23. Soru

23. 4 siyah, 4 beyaz ve 4 kırmızı top, iki kırmızı top yan yana gelmemek kosuluyla kaç farklı biçimde sıralanabilir?

a) 8084 b) 8284 c) 8642 d) 8742 e) 8820

24. Soru

24. $AB$ doğrusu üstünde ve $B$ noktasına göre $A$ ile farklı tarafta yer alan $E$ noktasından geçen bir doğru $ABCD$ dikdörtgeninin $[BC]$ kenarını $P,\ [AD]$ kenarını da $Q$ noktasında kesiyor. $|AB| = 1,\ |BE] = 3,\ |AD] = 5$ ve $PCDQ$ yamuğunun alanı $PQAB$ yamuğunun alanının iki katı ise, $|BP|$ nedir?

a) $\dfrac75$ b)$\dfrac43 c) $\dfrac53$ d) $\dfrac{10}{7} e) Hiçbiri

25. Soru

25. Kaç $n$ tam sayısı için, $|n^3- 6n^2 + 5|$ sayısı asaldır?

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1l e) 0

26. Soru

26. $m \leq k$ olmak üzere, $100 \times 100$ bir satranç tahtasının m birim karesine mavi, $k$ birim karesine de kırmızı birer taş, hiçbir satır ya da sütunda farklı renkte iki taş yer almayacak biçimde yerleştirilmişse, $m$ en çok kaç olabilir?

a) 5000 b) 3500 c) 2500 d) 1000 e) Hiçbiri

27. Soru

27. $E$ ve $F,\ ABCD$ dışbükey dörtgeninin sırasıyla, $[BC]$ ve $[AD]$ kenarları üstünde yer alan köşelerden farklı noktalar olmak üzere; hem $A,\ B,\ E,\ F$ noktaları, hem de $C,\ D,\ F,\ E$ noktaları çemberdeştir. $|AC| = 4,\ |AB| + |CD| = 5$ ve $s(\angle BAC )= 60^\circ$ ise, $|BD|$ nedir?

a) $\sqrt{21}$ b) $\sqrt{20}$ c) $\sqrt{18}$ d) 4 e) Hiçbiri

28. Soru

28. Başlangıçta tahtada bir $n$ tam sayısı yazılıdır. İki oyuncu sırayla hamle yaparak; her hamlede tahtadaki sayıyı silip yerine 0 sayıdan büyük olan, ama o sayının iki katını aşmayan bir tam sayı yaziyorlar. Tahtaya 2011 sayısını yazan oyuncu oyunu kazanıyor. Oyun $n = 1\, 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 12,\ 13,\ 14,\ 15,\ 16$ değerlerinin her biri için birer kez oynanırsa, bu oyunlardan kaçını oyuna başlayan oyuncu kazanmayı garantileyebilir?

a) 13 b) 7 c) 3 d) 1 e) Hiçbiri

29. Soru

29. $x,\ y,\ z,\ t$ gerçel sayılar olmak üzere, $x^2 + y^2 + z^2 + t^2 - xy - yz - zt-10t$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

a) $-34$ b) $-37$ c) $-40$ d) $-42$ e) Hiçbiri

30. Soru

30. Köşeleri bir çemberin üstünde yer alan $ABCD$ dışbükey dörtgeninin köşegenleri $E$ noktasında kesişiyor. $|AC| = 16,\ |BD| = 12$ ve $s(\angle CED)$ açısının ölçüsü ile $\frown{BC}$ yayının ölçüsünün toplamı $90^\circ$ ise, çemberin yarıçapı nedir?

a) 14 b) 12 c) 11 d) 10 e) 9