Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama - 2010/Sorular

[math][/math]

1. Soru

1. Kendisi ile 1 fazlasının toplamı 3 ün bir kuvvetine eşit olan kaç pozitif tam sayı vardır?

a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 e) Hiçbiri

2. Soru

2. 2010 dan küçük kaç $n$ pozitif tam sayısı için, $n$ nin rakamlarının toplamıyla aynı rakam toplamına sahip olan her $m$ pozitif tam sayısı$ m \geq n$ koşulunu saglar?

a) 33 b) 31 c) 23 d) 27 e) Hiçbiri

3. Soru

3. Bir $ABC$ üçgeninin iç açıortaylarının kesişim noktasının $[AC]$ kenarına uzaklığı 4 birimdir. $ABC$ üçgeninin dışına doğru, $[AB],\ [BC]$ ve $[CA]$ kenarlarını taban alan ve yükseklikleri 2 birim olan ikizkenar üçgenlerin alanlarının toplamının $ABC$ üçgeninin alanına oranı nedir?

a) $\dfrac15$ b) $\dfrac14$ c) $\dfrac13$ d) $\dfrac12$ e) 1

4. Soru

4. 1 saatte en fazla 3 km yüzen bir balik 15 km lik bir mesafeyi $t$ saatte yüzdüyse, $4,\ 17/4,\ 9/2,\ 23/5,\ 19/4,\ 5$ değerlerinden kaçı $t$ tarafından alınabilir?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

5. Soru

5. $n$ tam sayı olmak üzere, $n/21$ sayısı $5/14$ ile $5/12$ arasında ise, $n$ nedir?

a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5

6. Soru

6. Çevreleri 35 ve 36 birim olan iki çemberin yarıçapları arasındaki fark kaç birimdir?

a) $\dfrac{1}{2\pi}$ b) $\dfrac16$ c) $\dfrac{1}{\pi}$ d) $\dfrac13$ e) 1

7. Soru

7. $10 \leq a_1 < a_2 < \ldots < a_n \leq 99$ tam sayılarının herhangi ikisi aralarında asal ise, $n$ en fazla kaç olabilir?

a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25

8. Soru

8. On tabanına göre yazılımındaki rakamların karelerinin toplamı asal sayı olan kaç tane iki basamaklı asal sayı vardır?

a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2

9. Soru

9. $AB/|CD$ olan bir $ABCD$ yamuğunda, $|AB| = 2,\ |CD| = 3,\ |BD| = 5$ ve $s(\angle ABD) = 60^\circ$ ise, $|AC|$ kaçtır?

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

10. Soru

10. Ayşe 165 sayfalık bir kitabı bazı günler 3 sayfa, bazı günler 6 sayfa ve bazı günler de 30 sayfa okuyarak 9 günde bitiriyor. Ayşe kaç gün 30 ar sayfa okumuştur?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

11. Soru

11. $A,\ B,\ C,\ D,\ E,\ F$ farklı rakamları belirtmek üzere, ilk beş teriminin on tabanına göre yazılımları sırasıyla, $A,\ BC,\ BD,\ CE,\ FF$ olan bir aritmetik dizinin altıncı terimi nedir?

a) 51 b) 46 c) 41 d) 38 e) Hiçbiri

12. Soru

12. Dışbükey bir $ABCD$ dörtgeninin köşegenlerinin kesişme noktası $E$ olmak üzere, $s(\angle AED) = s(\angle BAD) = 90^\circ,\ |BE| = |EC|$ ve $|AB| =\sqrtr{14}$ ise, $BDC$ üçgeninin alanı kaçtır?

a) 5 b) 6 c) 7 d) 10 e) 14

13. Soru

13. Kaç $(a,\ b)$ pozitif tam sayı ikilisi için $2^{2010} sayısı $ab(a^2 + 6^2)$ sayısı ile bölünür?

a) 1005 b) 1004 c) 504 d) 503 e) Hiçbiri

14. Soru

14. Hızı durgun suda 18 km/saat olan motorlu bir tekne ile nehrin akışına ters yönde 40 dakikada gittiğimiz mesafeyi, dönüşte motoru çalıştırmayıp tekneyi akıntıya bırakarak 50 dakikada geliyorsak, akıntının hızı kaç km / saat tir?

a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5

15. Soru

15. Merkezleri aynı, yarıçapları farklı olan üç düzlemdeş çemberden büyüğüyle ortancası arasında kalan alan $S_1$, ortancası ile küçügü arasında kalan alan da $S_2$ olsun. Ortanca çemberin küçük çembere teğet olan bir kirişinin uzunluğu 4 birim, büyük çemberin ortanca çembere teğet olan bir kirişinin uzunluğu da 10 birimdir. $S_1 - S_2$ kaç birim karedir?

a) $21\pi$ b) $17\pi$ C) $15\pi$ d) $13\pi$ e) $10\pi$

16. Soru

16. Bir manav aldığı domateslerin $1/6$ sını bozuk çıktığı için çöpe atıp geri kalanları da satıyor. Bu durumda %25 kar ettiğine göre, bozuk domatesleri atmayıp aynı fiyattan satabilseydi, yüzde kaç kar ederdi?

a) 50 b) 45 c) 40 d) 35 e) 30

17. Soru

17. On tabanına göre tersten yazılımı ile kendisi aynı olup 3 ile bölünen kaç yedi basamaklı pozitif tam sayı vardır?

a) 6300 b) 4200 c) 3600 d) 3000 e) 2700

18. Soru

18.$s(\angle BAC) = 90^\circ$ ve $|AC| = 12$ olan bir $ABC$ üçgeninde, $D$ noktası $[AB]$ kenarı, $E$ noktası $[BC]$ kenarı üstünde, $s(\angle EDC) = 90^\circ$ ve $|CD| = 2|DE| = 2|BE|$ ise, $|DB|$kaçtır?

a) 14 b) 12 c) 10 d) 3 e) 6

19. Soru

19. Aşağıdaki $(A,\ B)$ ikililerinden hangisi için $$\begin{align} x^2+xy=&A\\ \dfrac{y}{x}=&B \end{align}$$ denklem sisteminin gerçel çözümü yoktur?

a) $(1,\ -2)$ b) $(\sqrt3,\ 1)$ c) $(1,\ 0)$ d) $(1/3,\ -1/2)$ e) $(-2,\ -2)$

20. Soru

20. 2010 dan küçük kaç pozitif tam sayının on tabanına göre yazılımındaki rakamların toplamı 5 ile bölünür?

a) 390 b) 399 c) 401 d) 405 e) Hiçbiri

21. Soru

21. $E$ ve $F4 noktaları bir $ABCD$ karesinin sırasıyla, $[BC]$ ve $[CD]$ kenarları üstündedir. $AF$ ve $DE$ doğrularının kesişim noktası $G$ olmak üzere, $|FD| = 3,\ |EB| = 1$ ve $|EF| = \sqrt{10} ise, $|GF|$ kaçtır?

a) 1 b) $\dfrac65$ c) $\dfrac95$ d) 2 e) $\dfrac{11}{5}$

22. Soru

22. 7 günlük bir yaz kampına katılan 100 ögrencinin her birine dolaşsın diye her gün bir bisiklet veriliyor. Her bisiklet kamp boyunca en çok 6 gün kullanılabiliyorsa, bu kampta en az kaç bisiklet bulunması gerekir?

a) 117 b) 115 c) 112 d) 109 e) Hiçbiri

23. Soru

23. $m$ nin aşağıdaki değerlerinden hangisi için $3x^2+4y^2+5z^2 = m$ eşitliğini sağlayan $(x,\ y,\ z)$ pozitif tam sayı üçlüsü yoktur?

a) 2007 b) 2003 c) 2009 01) 2010 e) 2011

24. Soru

24. $E$ ve $F$ noktaları bir $ABCD$ yamuğunun sırasıyla, $[AB]$ ve $[CD]$ tabanları üzerinde olmak üzere, $EC$ ve $BF$ dogruları $M$ noktasında, $AF$ ve $DE$ dogruları da $N$ noktasında kesişiyor. $CBJW$ üçgeninin alanı 4 birim kare ve $DAN$ üçgeninin alanı 9 birim kare ise, $MFNE$ dörtgeninin alanı kaç birim karedir?

a) 6 b) $\sqrt{97}$ c) 12 d) 13 e) Hiçbiri

25. Soru

25. Baslangıçta $m \times n$ bir satranç tahtasının sol alt kösesinde bir taş bulunuyor. Oyuncular sırayla hamle yaparak, her hamlede taşı sağa veya yukarı doğru en az bir kare kaydırıyorlar. Hamle yapamayan oyuncu oyunu kaybediyor. Oyun, $13 \times 22,\ 14 \times 14,\ 22 \times 24,\ 15 \times 17$ ve $29 \times 29$ tahtalarda birer kez oynanırsa, bu oyunlardan kaçını ilk hamleyi yapan oyuncu kazanmayı garanti edebilir?

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) Hiçbiri

26. Soru

26. $1 \leq a,\ b,\ c \leq 100$ koşulunu ve $$\begin{align} (a+b)c=&10a^2\\ c^2=&ab \end{align}$$ denklem sistemini sağlayan kaç $(a,\ b,\ c)$ tam sayı üçlüsü vardır?

a) 100 b) 45 c) 25 d) 20 e) 10

27. Soru

27. $s(\angle BAC)= 67.5^\circ$ olan bir $ABC$ üçgeninde $C$ köşesine ait yüksekliğin ayağı $H$ olmak üzere, $|AB| =\sqrt2|CH|$ ise, $s(\angle HCB)$ kaçtır?

a) $22.5^\circ$ b) $30^\circ$ c) $37.5^\circ$ d) 450 e) $5250^\circ$

28. Soru

28. $2x^2 + 17xy + 35y^2 = 315$ eşitliğini sağlayan kaç $(x,\ y)$ tam sayı ikilisi vardır?

a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8

29. Soru

29. $$\begin{align} x^2+xy=&2y^2\\ y^2-xy=&1 \end{align}$$ denklem sistemini sağlayan kaç $(x,\ y)$ gerçel sayı ikilisi vardır?