Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama - 2009/Sorular
İçindekiler
BİRİNCİ BÖLÜM
1. Soru
1. $n$ tam sayı olmak üzere, $12 < \dfrac{n}{5} < 21$ eşitsizliğini sağlayan ve sadeleştirilemeyen $\dfrac{n}{5}$ şeklindeki kesirlerin toplamı kaçtır?
a) 582 b) 588 c) 592 d) 594 e) 598
2. Soru
2. $n$ pozitif tam sayısının kaç değeri için, $5n - 28,\ 7n - 19,\ 10n + 1$ sayılarının üçü de asaldır?
a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 e) Sonsuz çoklukta
3. Soru
3. Bir çemberin dışındaki bir $A$ noktasından çembere bir teğet ve bir kesen çizilmistir. $B$ noktası, teğetin değme noktası; $C$ ve $D$ ise, kesenin çemberle kesiştiği noktalardır. $|BC| = 4,\ |BD| = 6$ olduğuna göre, $|AB|$ nin alabileceği en büyük tam sayı değeri nedir?
a) 9 b) 10 C) 11 d) 12 e) Hiçbiri
4. Soru
4. Bir malın fiyatinda indirim yapıldıktan sonra, bir günde satılan mal miktari %50; satışlardan elde edilen gelir ise, %26 arttığına göre, yüzde kaç indirim yapılmıştır?
a) 12 b) 16 c) 24 d) 38 e) 48
5. Soru
5. Beş futbol takımının katıldığı turnuvada herhangi iki takım kendi aralarında tam olarak bir maç yapıyor. Her maçta kazanan takım 3, berabere kalan takımlar birer, kaybeden takım ise 0 puan alıyor. Turnuva sonunda dört takımın puanları 1, 2, 5 ve 8 olduysa, beşinci takımın puanı kaçtır?
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) Hiçbiri
6. Soru
6. Kesişen iki çemberin ortak kirişi $[AB]$ dir. $A$ noktasından bu iki çembere çizilen teğetlerin bu çemberleri ikinci kez kestiği noktalar $C$ ve $D$ olmak uzere, $|BC| = 2\sqrt3 ,\ |BD| = 4\sqrt3$ ise, $AB$ kaçtır?
a) $2\sqrt6$ b) $4\sqrt6$ c) $\dfrac{4\sqrt3}{3} d) $3\sqrt3$ e) $\dfrac{8\sqrt3}{3}$
7. Soru
7. 83 ve 102 sayılarının ikisinin de $n$ pozitif tam sayısına bölümünden kalan $k$ pozitif tam sayısı ise, $n$ nin $k$ ya bölümünden kalan nedir?
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1
8. Soru
8. $x$ ve $y$ gerçel sayıları, \begin{align*} 2x^2-3y=&-\dfrac{17}{2}\\ y^2-4x=&7 \end{align*} eşitliklerini sağlıyorsa, $x + y$ kaçtır?
a) $\dfrac72$ b) $\dfrac54$ c) $\dfrac32$ d) $\dfrac14$ e) Hiçbiri
9. Soru
9. $ABCD$ karesinin $[BC]$ kenarı üstünde $s(\angle EAB) = 15^\circ$ koşulunu sağlayan bir $E$ noktası alınıyor. $AE$ doğrusuna $C$ den çizilen dikmenin ayağı $H$ noktası ve $|CH| = 2$ olduğuna göre, karenin alanı kaçtır?
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) Hiçbiri
10. Soru
10. Tüm elemanları pozitif tam sayılar olan bir kümenin herhangi üç elemanının toplamı hep asal oluyorsa, bu kümenin en çok kaç elemanı olabilir?
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) Hiçbiri
11. Soru
11. Rakamlarının toplamının karesi, karesinin rakamlarının toplamına eşit olan kaç iki basamaklı bileşik sayı vardır?
a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6
12. Soru
12. $ABCD$ dikdörtgeninde $E$ ve $F$ noktaları sırasıyla, $[BC]$ ve $[CD]$ üstünde olmak üzere, $|BE| = 4,\ |CE| = 2$ ve $|CF| = |FD| = 5$ tir. $G,\ AE$ ve $BF$ doğrularının kesişim noktası olduğuna göre, $|GE|$ kaçtır?
a) $\dfrac{\sqrt{30}}{2}$b) $\dfrac{2\sqrt{29}}{5}$ c) $2\sqrt2$ d) $3\sqrt2$ e) Hiçbiri
13. Soru
13. $11a -\dfrac{1}{a} = b - \dfrac{11}{b}$ ve $a + b < 121$ koşullarını sağlayan kaç $(a,\ b)$ pozitif tam sayı ikilisi vardır?
a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13
14. Soru
14. $1 \leq a \leq 37,\ 1 \leq b \leq 37$ koşullarını ve 37 nin $1 + 7a + 8b + 19ab$ yi bölmesini sağlayan kaç $(a,\ b)$ tam sayı ikilisi vardır?
a) 36 b) 37 c) 63 d) 73 e) Hiçbiri
15. Soru
15. Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin $A$ köşesinden $BC$ ye çizilen dikmenin ayağı $H$ noktası, $H$ noktasından $AB$ ye çizilen dikmenin ayağı $K$ noktasıdır. $|AH| = 6,\ lACl = 10$ ve $s(\angle HAC) = 2s(\angle BAH)$ olduğuna göre, $|HK|$ kaçtır?
a) $\dfrac{7\sqrt5}{5}$ b) $\dfrac{7\sqrt5}{5}$ c) $\sqrt5$ d) $\dfrac{8\sqrt5}{5}$ e) $\dfrac{6\sqrt5}{5}$
16. Soru
16. 120 metre uzunluğunda olan ve 60 km/saat hızla hareket eden bir trenin en arkasından sabit hızla trenle aynı yönde hareket eden bir kuşun, trenin en önüne gidip, hiç zaman kaybetmeden aynı hızla tekrar trenin en sonuna geri dönmesi için toplam 21 saniye gerekmektedir. Kuşun hızı kaç km/saat tir?
a) 72 b) 84 c) 96 d) 108 e) Hiçbiri
17. Soru
17. $KARABURUN$ kelimesindeki harfler, herhangi iki ünlü yan yana gelmeyecek ve içinde $UK$ geçmeyecek şekilde kaç farklı biçimde dizilebilir?
a) 3512 b) 3560 c) 3600 d) 3660 e) 3720
18. Soru
18. $AB/|CD$ olan bir $ABCD$ yamuğunda, $|AB| = 6,\ |CB| = 3$ tür. $E$ noktası $CD$ doğrusu üstünde, $s(\angle EBC) = s(\angle EBA)$ ve $|BE| = 5$ olduğuna göre, $lAE|$ kaçtır?
a) $\sqrt{11}$ b) 3 c) $\sqrt{10}$ d) $2\sqrt3$ e) Hiçbiri
19. Soru
19. $xy^2 = 128(x - 1)^2$ eşitliğini sağlayan kaç $(x,\ y)$ pozitif tam sayı ikilisi vardır?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
20. Soru
20. $\{1,\ 2,\ldots,\ 33\}$ kümesi, her altkümedeki en az bir sayı, aynı altkümedeki iki farklı sayının toplamına eşit olacak biçimde en çok kaç altkümeye ayrılabilir?
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11
21. Soru
21. Bir $ABC$ üçgeninde $D$, $[AC]$ nin orta noktası olmak üzere, $s(\angle DBC) = 15^\circ,\ s(\angle ACB) = 30^\circ$ olduğuna göre, $s(\angle BAC)$ nedir?
a) $105^\circ$ b) $120^\circ$ c) $135^\circ$ d) $150^\circ$ e) Hiçbiri
İKİNCİ BÖLÜM
1. Soru
1. $O$ merkezli bir çembere dışındaki bir $A$ noktasından çizilen teğetler çembere $B$ ve $C$ noktalarında değiyor. $[BD]$ doğru parçası çemberin bir çapı olmak üzere, $CD$ doğrusu, $AB$ doğrusunu $E$ noktasında kesiyor. $AD$ ve $OE$ doğrularının kesişme noktası $F$ ise, $|AF| / |FD|$ oranını bulunuz.
2. Soru
2. Yan yana $n$ birim kareden oluşan bir şeritin her birim karesine başlangıçta 0 veya 1 yazılmıştır. Her adımda, kendisinde 0 ve kendine bitişik tek bir karede 1 yazılı olan karelerdeki sayılar silinerek yerlerine 1; diğer karelerdeki sayılar da silinerek yerlerine 0 yazılıyor. $n$ nin hangi değerleri için, başlangıçtaki 0 ve 1 ler nasıl yerleştirilmiş olursa olsun, sonlu sayıda adım sonucunda bütün sayıların 0 olacağını belirleyiniz.
3. Soru
3. $n$ tam sayısının tam olarak altı tane pozitif böleni vardır ve bunlar sırasıyla, $1 < a < b < c < d < n$ dir. $k= a - 1$ olmak üzere, $n$ nin yukarıda $k$ inci sırada geçen böleni, $(1 + a + b)b$ sayısına eşitse, $n$ sayısının alabileceği tüm değerleri bulunuz.
