Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama - 2008/Sorular
İçindekiler
BİRİNCİ BÖLÜM
1. Soru
1. $ABC$ üçgeninde $G \in [AC],\ F \in [BG],\ D \in [AG],\ E \in [GC],\ [DF]/|[AB],\ [FE]/|[BC],\ |GF| = |FB|$ ve $|DE| = 13$ ise, $|AC|$ kaç birimdir?
a) 18 b) 20 c) 22 d)24 e) 26
2. Soru
2. Birbirinden farklı $x$ ve $y$ gerçel sayıları $x^2 - 2008x = y^2 - 2008y$ eşitliğini sağlıyorlarsa $x + y$ kaçtır?
a) 16 b) 20 c) 486 d) 2008 e) Hiçbiri
3. Soru
3. Ali ve Burcu'nun, bazıları siyah, bazıları beyaz olmak üzere toplam 70 topu var. Ali'nin toplarının $\dfrac59$ u ve Burcu'nun toplarının $\dfrac{7}{17}$ si siyah ise, Burcu'nun beyaz top sayısı Ali'nin beyaz top sayısından kaç fazladır?
a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) Hiçbiri
4. Soru
4. $ADE$ üçgeninde $B \in [AE],\ C \in [DE]$ noktaları $ABCD$ kirişler dörtgeni olacak şekilde seçilsin. $[BD] \cap [AC] = \{F\},\ s(\angle EAC) = 21^\circ$ ve $s(\angle AED) : 33^\circ$ ise, $s(\angle AFD)$ kaç derecedir?
a) 65 b) 70 c) 75 d) 80 e) 85
5. Soru
5. Farklı $n$ sayı, çember üzerinde, her sayı iki komşusunun çarpımına eşit olacak şekilde dizilebildiğine göre, $n$ en fazla kaç olabilir?
a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) Hiçbiri
6. Soru
6. Yan yana yazılmış 123456789 rakamlarından bazılarının arasına + isareti koyularak oluşturulan bir toplam aşağıdakilerden hangisi olamaz?
a) 144 b) 153 c) 189 d) 375 e) 486
7. Soru
7. $AB$ ve $CD$ tabanlı bir $ABCD$ yamuğunun $AD$ kenarı üzerinde $P_1,\ P_2,\ P_3,\ P_4$ ve $BC$ kenarı üzerinde $Q_1,\ Q_2,\ Q_3,\ Q_4$ noktaları, $AB\|P_1Q_1\|P_2Q_2\|P_3Q_3\|P_4Q_4$ ve $A(ABQ_1P_1) = A(P_1Q_1Q_2P_2)= A(P_2Q_2Q_3P_3)= A(P_3Q_3Q_4P_4)$ olacak şekilde seçiliyor. $|AB| = 1,\ |P_[1Q_1| = 2$ ise $|CD|$ kaçtır?
a) $\sqrt{15}$ b) $\dfrac92$ c) 5 d) 6 e) Hiçbiri
8. Soru
8. $$\dfrac{b+2c-a}{2bc}=\dfrac{a+2c-b}{2ac}+\dfrac{a+b-2c}{ab}$$ olduğuna göre, $\dfrac{a^2+b^2+c^2}{10c^2+4ab}$ kaçtır?
a) $\dfrac13$ b) $\dfrac23$ C) 1 d) 2 e) Hiçbiri
9. Soru
9. Beş tane iki basamaklı birbirinden farklı doğal sayının toplamının alabileceği kaç farklı değer vardır?
a) 424 b) 426 c) 423 d) 430 e) 432
10. Soru
10. Kenar uzunluğu 1 olan $ABCD$ karesinin, sırasıyla, $AB,\ BC,\ CD,\ DA$ kenarları üzerinde $|AA'| = |BB'| = |CC'| = |DD'| = \dfrac13$ şartını sağlayan $A',\ B',\ C',\ D'$ noktaları seçiliyor. $AC',\ A'C,\ BD'$ ve $B'D$ doğrularının sınırlandırdığı karenin alanı kaçtır?
a) $\dfrac{1}{10}$ b) $\dfrac{1}{11}$ c) $\dfrac{1}{12}$ d) $\dfrac{1}{13}$ e) $\dfrac{1}{14}$
11. Soru
11. 1000 den küçük kaç $n$ doğal sayısı için $n^2+8n-85$ ifadesi 101 e bölünür?
a) 0 b) 2 c) 6 d) 9 e) Hiçbiri
12. Soru
12. $A$ şehri, $B$ şehrinin $60km$ batısındadır. $A$ dan bir araba ve $B$ den ikinci bir araba aynı anda doğuya doğru yola çıkıyorlar. Bir süre sonra birinci araba ikinciye yetişiyor. Birinci arabanın hızı $10 km/ saat$, ikinci arabanın hızı $8km/saat$ daha fazla olsaydı, birinci araba, ikinci arabayi aynı yerde fakat 1 saat daha erken yakalayacaktı. Birinci arabanın hızı kaç $km/saat$ tir?
a) 46 b) 50 c) 52 d) 60 e) Hiçbiri
13. Soru
13. $ABC$ ikizkenar üçgenininde $|AB| = |AC|$ ve $s(\angle A)= 50^\circ$ dir. Bu üçgenin $AC$ kenarı ve $AD$ kenarortayı üzerinde, sırasıyla, $C$ ve $D$ den farklı $N$ ve $M$ noktaları, $|MN| = |MB|$ olacak biçimde alınmıştır. $s(\angle MBN)$ açısı kaç derecedir?
a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35
14. Soru
14. Kenar uzunluğu $n$ birim olan bir kübün yüzleri boyanıyor, ve küp, $n^3$ adet birim küp oluşacak şekilde parçalanıyor. Kaç $n \geq 2$ değeri için, tek yüzü boyanmış birini küplerin sayısı hiç boyanmamış birim küplerin sayısına eşit olur?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Hiçbiri
15. Soru
15. Ahmet tahtaya, herhangi ikisinin farkı iki eşit rakamdan oluşan bir sayı olmayacak şekilde, en fazla kaç iki basamaklı sayı yazabilir?
a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) Hiçbiri
16. Soru
16. Kare şeklinde bir kağıdın üzerine 1 birim yarıçaplı bir çember nasıl çizilirse çizilsin, özdeş bir çemberin daha, ilk çemberle en fazla bir noktada kesişerek çizilebilmesi için kağıdın kenar uzunluğunun en az kaç birim olması gerekir?
a) $2(\sqrt2+1)$ b) 4 c) 6 d) $2\sqrt2$ e) $2+\sqrt2$
17. Soru
17. $x,\ y,\ z$ gerçel sayıları $x^2 - 2|x| = y,\ y^2 - 2|y| = 2$ ve $z^2 - 2|z| = x$ eşitliklerini sağlıyorsa, $x + y + z$ nin alabileceği en küçük değer nedir?
a) $-5$ b) $-4$ c) 0 d) 1 e) Hiçbiri
18. Soru
18. Öğretmen, tahtaya 8 pozitif tam sayı yaziyor, ve Betül bu sayılardan ikisinin 2 ye, üçünün 3 e, dördünün 4 e, beşinin 5 e, altısının 6 ya, yedisinin 7 ye, ve sekizinin 8 e bölündüğünü söylüyor. Betül en az kaç hata yapmıştır?
a)0 b)1 c)2 d)3 e)4
19. Soru
19. $B$ açısı dik olan $ABC$ dik üçgeninde $[BD]$ kenarortayının uzantısı ile $[AC]$ ye $A$ noktasında dik olan bir $l$ doğrusunun kesişme noktası $E$ dir. $s(\angle AEB)= 180^\circ$ ve $|AB| = 12$ olduğuna göre $|DE|$ kaç birimdir?
a) 12 b) 16 c) 20 d) 24 e) 28
20. Soru
20. $a = -\dfrac{9}{10}$ ve $b = (a + 1)(a^2 + 1)(a^4 + 1)$ ise $19b + 10a^8$ kaçtır?
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18
21. Soru
21. $n$ ve $n$ + 1 pozitif tam sayılarının her ikisinin de rakamlarının toplamı 53 e bölünüyorsa, $n$ en az kaç basamaklıdır?
a) 6 b) 7 c) 12 d) 13 e) 17
İKİNCİ BÖLÜM
1. Soru
1. $ABC$ dik üçgeninde $s(\angle C) = 90^\circ$ olmak üzere, $D$ ile içteğet çemberinin merkezini gösterelim. $A$ ve $D$ den geçen doğrunun $CB$ kenarı ile kesişim noktası $N$ olsun. $|CA| + |AD| = |CB|$ ve $|CN| = 2$ ise, $|NB|$ kaç birimdir?
2. Soru
2. $4^x +3^y = z^2$ denklemini pozitif tamsayılar kümesindeki tüm çözümlerini bulunuz.
3. Soru
3. Bir masa üstündeki 24 tane bardaktan tam olarak üç tanesi ters çevrilmistir. Her işlemde herhangi dört bardağı çevirebiliyoruz. En fazla 100 işlem yaparak bütün bardakları düz hale getirilebilir miyiz?
