Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama - 2007/Sorular
İçindekiler
BİRİNCİ BÖLÜM
1. Soru
1. Kare kökü, birler basamağındaki rakamın kare kökü ile onlar basamağındaki rakamın toplamına eşit olan iki basamaklı kaç pozitif tam sayı vardır?
a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0
2. Soru
2. 100 tane $ n = 9 + 99 + 999 + \ldots + \overbrace{999\ldots9}^{\text{100 tane}}$ ise, $n$ sayısının ondalık yazımında kaç tane sıfır rakamı vardır?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 5
3. Soru
3. $O$ merkezli çember üstünde $AB/|OC$ olacak biçimde alınan $A,\ B$ ve $C$ noktaları için, $s(\angle OCB) = 78^\circ$ ise, $s(\angle OAB)$ nedir?
a) $20^\circ$ b) $22^\circ$ c) $24^\circ$ d) $26^\circ$ e) $28^\circ$
4. Soru
4. Aynı uzunlukta ve sabit hızlarla yanan iki mumdan biri 4 saatte, diğeri de 5 saatte bitiyor. İki mum da aynı anda yakılırsa, yakıldıkları andan kaç saat sonra, yavaş yanan mumun kalan bölümü hızlı yanan mumun kalan kısmının iki katı uzunlukta olur?
a) 2 b) $\dfrac52$ c) 3 d) $\dfrac{10}{3}$ e) $\dfrac72$
5. Soru
5. Kendisinden, basamaklarının toplamı çıkarıldığında 2007 elde edilen kaç pozitif tam sayı vardır?
a) 0 b) 1 c) 6 d) 9 e) 10
6. Soru
6. $AB /| CD$ olan bir $ABCD$ yamuğunun $[AC]$ köşegeni üstünde bir $E$ noktası, $[BD]$ köşegeni üstünde de bir $F$ noktası, $|CE|/|EA| = |DF|/|FB| = 1/4$ olacak şekilde alınıyor. $|AB| = 6$ ve $|CD| = 9$ ise, |EF| nedir?
a) 6 b) 7 c) $\dfrac{15}{2}$ d) 8 e) 9
7. Soru
7. $m \times n$ bir satranç tahtasının birim karelerinin %1 i işaretlenmistir. Tahtanın sütunlarının en az %30 unda, satırlarının ise en az %40 ında işaretlenmiş kare bulunuyorsa, $mn$ çarpımının alabileceği en küçük değer nedir?
a) 100 b) 120 c) 1000 d) 1200 e) 6000
8. Soru
8. Her birinde farklı bir sayı olmak üzere, üstlerinde 1 den 2007 ye kadar olan tam sayıların yazılı bulunduğu 2007 top, $k$ kutuya dağıtılıyor. Herhangi bir $n$ tam sayısı için, üstünde $n$ yazılı bir topla $n$ nin bir tam katının yazılı bulunduğu bir top aynı kutuya konmuyorsa, $k$ en az kaç olmalıdır?
a) 10 b) 11 c) 223 d) 1003 e)1004
9. Soru
9. Bir $ABC$ dik üçgeninin $[BC]$ hipotenüsü üstünde $|BD| = 2$ ve $|DC| = 12$ olacak şekilde bir $D$ noktası bulunmaktadır. $|AD| = 7$ ve $s(\angle ACB) = \alpha$ ise, $s(\angle DAC)$ nedir?
a) $180^\circ -4\alpha$ b) $180^\circ- 3\alpha$ c) $180^\circ - 2\alpha$ d) $90^\circ - 3\alpha$ e) $90^\circ - 2\alpha$
10. Soru
10. Kaç $n$ tam sayısı için, $n^3 + 4$ sayısı $n^2 - n + 1$ sayısı ile bölünür?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) sonsuz çoklukta
11. Soru
11. Kaç farklı $n$ tam sayısı için $\dfrac{5n-17}{3n-5}$ bir tam sayı olur?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
12. Soru
12. Bir $ABCD$ paralelkenarının $[BC]$ kenarı üstünde $|BF| = 3|CF|$ olacak şekilde bir $F$ noktası alınıyor. $[AB]$ kenarının orta noktası $E$ ve $AF$ ile $DE$ nin kesişim noktası $G$ olmak üzere, $|GE| = 6$ ise, $|DE|$ nedir?
a) 18 b) 20 c) 22 d) 36 e) 42
13. Soru
13. $OLİMPİYAT$ sözcüğünün harfleri, bütün sesli harfler art arda geçmek üzere kaç farklı biçimde sıralanabilir?
a) $2 \cdot 3! \cdot 6!$ b) $\dfrac{9!}{2!} c) $6! \cdot 4!$ d) $9!$ e) Hiçbiri
14. Soru
14. Kaç $n$ pozitif tam sayısı için, $n! + 24$ bir tam sayının karesine eşit olur?
a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) Hiçbiri
15. Soru
15. Bir $ABCD$ paralelkenarının $[AD]$ kenarı üstünde $2|AE| = [ED]$ olacak şekilde bir $E$ noktası ile $[CD]$ kenarı üstünde $2|CF| = 3|FD|$ olacak şekilde bir $F$ noktası alınıyor. $AF$ ile $BE$ nin kesişim noktası $C$ olmak üzere, $Alan(ECFD) - Alan(ACB) = 2$ ise, $Alan(ABCD)$ nedir?
a) 36 b) 48 c) 50 d) 60 e) 64
16. Soru
16. Farklı pozitif tam sayılardan oluşan bir kümenin en büyük iki elemanının çarpımının $3/7$ si, geriye kalan elemanların toplamına eşitse, kümedeki sayılardan en büyüğünün alabileceği en küçük değer nedir?
a) 7 b) 8 C) 14 d) 15 e) 21
17. Soru
17. 2007 kent arasında karşılıklı uçak seferleri düzenleniyor. Herhangi bir kentten bir diğerine en çok bir aktarma yaparak ulaşılmasını olanaklı kılmak için, en az kaç sefer düzenlenmelidir?
a) 2007 b) 2064 c) 3002 d) 4006 e) Hiçbiri
18. Soru
18. $|AB| = |AC|$ olan bir ikizkenar $ABC$ üçgeninin $[AB]$ kenarını çap kabul eden bir çember $[AC]$ kenarını $A$ ve $D$ noktalarında, $[BC]$ kenarını da $B$ ve $E$ noktalarında kesiyor. $|DE| = 7$ ise, $|BC|$ nedir?
a) 10 b) $7\sqrt2$ c) $\dfrac{21}{2}$ d) $7\sqrt3$ e) 14
19. Soru
19. $8^{26} - 125^{48}$ sayısının yedi tabanına göre yazımının son iki basamağı nedir?
a) 21 b) 31 c) 41 d) 51 e) 61
20. Soru
20. Bir kasa elma, bir odada bulunan çocuklara, en çok elma alan çocukta elmaların $1 / 5$ i, en az elma alan çocukta elmaların $1 / 7$ si olacak şekilde dağıtılıyor. Odada en çok kaç çocuk vardır?
a) 5 b) 6 c) 21 d) 35 e) Hiçbiri
21. Soru
21. $AB/|CD$ olan bir $ABCD$ yamuğunda, $s(\angle C) + s(\angle D) = 270^\circ$ dir. $|AD| = 12,\ |DC| = 23$ ve $|BC| = 35$ ise, $|AB|$ nedir?
a) 50 b) 53 c) 57 d) 60 e) 30
İKİNCİ BÖLÜM
1. Soru
1. $AD/|BC$ ve $|AB| = |BC|$ olan bir $ABCD$ yamuğunda $[BC]$ ve $[AD]$ kenarlarının orta noktaları sırasıyla $E$ ve $F$ dir. $ABC$ nin iç açıortayı $F$ noktasından geçtigine göre, $|BD|/ |EF|$ yi bulunuz.
2. Soru
2. 15 voleybol takımından oluşan bir eleme grubunda, her takım diğer takımlardan her biriyle tam olarak bir kez karşılaşıyor. Voleybolde beraberlik olmadığı için, her karşılaşma, takımlardan birinin diğerini yenmesiyle sonuçlanıyor. Toplam yenilgi sayısı $N$ yi aşmayan bütün takımlar bir sonraki tura geçiyor. En az 7 takımın tur atlamasını olanaklı kılan N tam sayılarından en küçüğünü bulunuz.
3. Soru
3. 2007 den küçük olup, hem kendisi, hem de bütün pozitif bölenlerinin toplamı tek sayı olan tüm pozitif tam sayıları bulunuz.
