"Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama - 1999/Sorular" sayfasının sürümleri arasındaki fark

20:22, 25 Kasım 2017 tarihindeki hâli

[math][/math]

1. Soru

Tabanı $ABC$ eşkenar üçgeni ve yanal ayrıtları $[AE],\ [BF],\ [CD]$ olan $ABCDEF$ dik prizmasında $|AB| = 3,\ |CD| = 4$ tür. $G$ noktası $[AE]$ nin orta noktasıysa, $CFG$ üçgeninin çevresinin uzunluğu kaçtır?

(a) $9 + \sqrt{15}$ (b) 12 (c) 15 (d) $5 + 2\sqrt3$ (e) $5 + 2\sqrt{13}$

2. Soru

İki bisikletçi, uzunluğu 800m olan çemberseI bir yol üzerinde sabit hızIarIa hareket etmektedir. Bisikletçiler farklı yönlerde hareket ettiklerinde her 3 dakika sonunda karşılaşıyorlar. Ancak ayni yönde hareket ettikleri zaman, daha hızlı olan diğerini her 24 dakikanın sonunda soIIayıp geçiyor. Daha hızlı olan bisikletçinin hızı kaç $km/saat$ tir?

(a) 7 (b) 8 (c) 9 (d) 10 (e) 11

3. Soru

On tabanına göre $a1627b$ seklinde verilen 5 basamaklı sayı 56 ya bölündüğünde 4 kalanını veriyor. $a+b$ kaçtır?

(a) 11 (b) 12 (c) 13 (d) 14 (e) Hiçbiri

4. Soru

Köseleri bir çemberin üzerinde bulunan $ABCD$ dışbükey dörtgeninde $AD\cap BC = \{E\},\ AB \cap DC = \{F\},\ s(\angle A)= 61^\circ$ ise, $s(\angle AEB) + s(AFD)$ kaç derecedir?

(a) 58 (b) 60 (c) 61 (d) 65 (e) 75

5. Soru

İki torbadan birinde beş beyaz, diğerinde ise dört beyaz, bir siyah top vardır. Bu iki torbadan biri rastgele seçilerek, içinden yine rastgele bir top çekilecektir. Çekilişten önce bu iki torbadan birine bir siyah top daha eklenirse, çekilen topun siyah olma olasılığı en fazla kaç olur?

(a) $\dfrac16$ (b) $\dfrac 17$ (c) $\dfrac{11}{60}$ (d) $\dfrac{17}{60}$ (e) Hiçbiri

6. Soru

Kaç farklı $k$ gerçel sayısı için $\sqrt{k-11}$ ve $\sqrt{k+64}$ sayılarının her ikisi de tam sayı olur?

(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) Hiçbiri

7. Soru

Bir karınca $3m\times 25m$ boyutlarında bir dikdörtgen içinde, kenarlarla $45^\circ$ lik açılar yapan doğrular üzerinde ilerlemekte ve yalnızca kenarlara ulaştığında yön değiştirmektedir. Karınca, kısa kenarlardan biri üzerindeki bir noktadan yürümeye baslar ve karşı kenara ilk olarak orta noktasında ulaşırsa, başlangıç noktasının en yakın köseye uzaklığı kaçtır?

(a) 0 (b) $\dfrac12$ (c) $\dfrac23$ (d) 1 (e) $\dfrac32$

8. Soru

Bir saat kadranı üstündeki 1’den 12 ye kadar sayılardan bazılarının yerini değiştirerek, her komsu iki sayının toplamını asal hale getirmek olanaklıdır. Bu işlemi gerçekleştirmek için en az kaç sayının yeri değiştirilmelidir?

(a) 3 (b) 4 (c) 5 (d) 6 (e) Hiçbiri

9. Soru

On tabanına göre iki basamaklı iki sayının rakamlarının çarpımı 360 olduğuna göre, böyle iki sayının toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

(a) 117 (b) 136 (c) 140 (d) 146 (e) Hiçbiri

10. Soru

Bir eşkenar üçgenin kenarları, köseleri üçgenin çevrel çemberi üzerinde bulunan, tabanı ise bu çemberin bir çapı olan bir yamuğun üç kenarına paraleldir. Üçgenin alanının yamuğun alanına oranı kaçtır?

(a) 1 (b) $\dfrac{\sqrt3+1}{3}$ (c) $\dfrac{4-\sqrt3}{2}$ (d) $3-\sqrt3$ (e) Hiçbiri

11. Soru

$y^4 + 9x^2 - 4y^2 - 30x+ 29 = 0$ eşitliğini sağlayan $x$ ve $y$ gerçel sayıları için $19y^2 + 99x toplamı kaçtır?

(a) 199 (b) 200 (c) 201 (d) 203 (e) 207

12. Soru

$\{1,\ 2,\ \ldots,\ 20\}$ kümesinin, elemanlarının çarpımı 4 ile bölünen üç elemanlı kaç altkümesi vardır?

(a) 120 (b) 455 (c) 780 (d) 795 (e) 870

13. Soru

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 6,\ |BC| = 8,\ |AC| = 10$ dur. Bu üçgenin içine birbirlerine teğet olacak şekilde, birisi $[AB]$ ve $[AC]$; diğeri de $[BC]$ ve $[AC]$ kenarlarına teğet iki es çember çizilmiştir. Çemberlerin çapı kaçtır?

(a) $2\sqrt3$ (b) $\dfrac{20}{7}$ (c) \dfrac{12}{5} (d) 3 (e) Hiçbiri

14. Soru

$3^{3a}+3^{4b}+3^{5c} = 3^{7d}$ eşitliğini sağlayan $a,\ b,\ c,\ d$ pozitif tam sayıları için $a+b+c+d$ toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

(a) 278 (b) 287 (c) 782 (d) 872 (e) Hiçbiri

15. Soru

$1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 5,\ 5,\ 5,\ldots$ dizisinin ilk 100 teriminin toplamı kaçtır?

(a) 755 (b) 845 (c) 927 (d) 945 (e) Hiçbiri

16. Soru

$ABC$ dik üçgeninde $s(\angle B)= 90^\circ,\ |BC| = 28,\ |AC| = 100$ ve $D$ noktası da $[AB]$ üzerinde olmak üzere $[BD] = 21$ ise, $\sin(\angle ACD)$ kaçtır?

(a) $\dfrac34$ (b) $\dfrac{2\sqrt3}{5}$ (c) $\dfrac35$ (d) $\dfrac{2\sqrt2}{3}$ (e) $\dfrac14$

17. Soru

On kişiden oluşan bir grupta, herkes, kendi dışındaki dokuz kişinin yaslarını toplar. Bu toplamların oluşturduğu küme $\{89,\ 90,\ 91,\ 92,\ 93,\ 94,\ 95,\ 96,\ 97\}$ dir. Bu grupta aynı yaşta olan iki kişi kaç yaşındadır?

(a) 7 (b) 10 (c) 11 (d) 13 (e) 14

18. Soru

$S$, 15 pozitif tam sayıdan oluşan bir küme olsun. $S$ nin bos olmayan herhangi farklı iki altkümesindeki sayıların çarpımının da farklı olması için, $S$ deki sayılardan en büyük olanı en az kaç olmalıdır?

(a) 30 (b) 31 (c) 45 (d) 47 (e) Hiçbiri

19. Soru

$ABC$ üçgeninde, $A$ noktasından $[BD$ ve $[CE$ iç açıortaylarına indirilen dikme ayakları sırasıyla $E$ ve $G$ dir. $30s(\angle A) = 35s(\angle B) = 42s(\angle C)$ ise, $s(\angle CGF)$ kaç derecedir?

(a) 20 (b) 25 (c) 30 (d) 35 (e) 45

20. Soru

$a_0 = 1999,\ a_1 = 2000$ ve her $n \geq 0$ tam sayısı için $a_{n+2} =\dfrac{1+a_{n+1}}{a_n}$ ise $a_{2001}$ kaçtır?

(a) $\dfrac{998}{3}$ (b) 1999 (c) 2000 (d) 2001 (e) Hiçbiri

21. Soru

$a_0,\ a_1,\ldots,a_n,\ldots$ pozitif tam sayılar dizisinde $a_0$ asal olmayıp, diğer terimlerin her biri bir önceki terimin pozitif bölenlerinin sayısına eşittir. Bu dizinin hiçbir teriminin tam kare olmamasını sağlayan kaç tane $a_0$ vardır?

(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) Sonsuz sayıda (e) Hiçbiri