Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama - 1999/Sorular

Matematik Olimpiyatı sitesinden
Şuraya atla: kullan, ara

[math][/math]

1. Soru

Tabanı $ABC$ eşkenar üçgeni ve yanal ayrıtları $[AE],\ [BF],\ [CD]$ olan $ABCDEF$ dik prizmasında $|AB| = 3,\ |CD| = 4$ tür. $G$ noktası $[AE]$ nin orta noktasıysa, $CFG$ üçgeninin çevresinin uzunluğu kaçtır?

(a) $9 + \sqrt{15}$ (b) 12 (c) 15 (d) $5 + 2\sqrt3$ (e) $5 + 2\sqrt{13}$

Çözüm

2. Soru

İki bisikletçi, uzunluğu 800m olan çemberseI bir yol üzerinde sabit hızIarIa hareket etmektedir. Bisikletçiler farklı yönlerde hareket ettiklerinde her 3 dakika sonunda karşılaşıyorlar. Ancak ayni yönde hareket ettikleri zaman, daha hızlı olan diğerini her 24 dakikanın sonunda soIIayıp geçiyor. Daha hızlı olan bisikletçinin hızı kaç $km/saat$ tir?

(a) 7 (b) 8 (c) 9 (d) 10 (e) 11

Çözüm

3. Soru

On tabanına göre $a1627b$ seklinde verilen 5 basamaklı sayı 56 ya bölündüğünde 4 kalanını veriyor. $a+b$ kaçtır?

(a) 11 (b) 12 (c) 13 (d) 14 (e) Hiçbiri

Çözüm

4. Soru

Köseleri bir çemberin üzerinde bulunan $ABCD$ dışbükey dörtgeninde $AD\cap BC = \{E\},\ AB \cap DC = \{F\},\ s(\angle A)= 61^\circ$ ise, $s(\angle AEB) + s(AFD)$ kaç derecedir?

(a) 58 (b) 60 (c) 61 (d) 65 (e) 75

Çözüm

5. Soru

İki torbadan birinde beş beyaz, diğerinde ise dört beyaz, bir siyah top vardır. Bu iki torbadan biri rastgele seçilerek, içinden yine rastgele bir top çekilecektir. Çekilişten önce bu iki torbadan birine bir siyah top daha eklenirse, çekilen topun siyah olma olasılığı en fazla kaç olur?

(a) $\dfrac16$ (b) $\dfrac 17$ (c) $\dfrac{11}{60}$ (d) $\dfrac{17}{60}$ (e) Hiçbiri

Çözüm

6. Soru

Kaç farklı $k$ gerçel sayısı için $\sqrt{k-11}$ ve $\sqrt{k+64}$ sayılarının her ikisi de tam sayı olur?

(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) Hiçbiri

Çözüm

7. Soru

Bir karınca $3m\times 25m$ boyutlarında bir dikdörtgen içinde, kenarlarla $45^\circ$ lik açılar yapan doğrular üzerinde ilerlemekte ve yalnızca kenarlara ulaştığında yön değiştirmektedir. Karınca, kısa kenarlardan biri üzerindeki bir noktadan yürümeye baslar ve karşı kenara ilk olarak orta noktasında ulaşırsa, başlangıç noktasının en yakın köseye uzaklığı kaçtır?

(a) 0 (b) $\dfrac12$ (c) $\dfrac23$ (d) 1 (e) $\dfrac32$

Çözüm

8. Soru

Bir saat kadranı üstündeki 1’den 12 ye kadar sayılardan bazılarının yerini değiştirerek, her komsu iki sayının toplamını asal hale getirmek olanaklıdır. Bu işlemi gerçekleştirmek için en az kaç sayının yeri değiştirilmelidir?

(a) 3 (b) 4 (c) 5 (d) 6 (e) Hiçbiri

Çözüm

9. Soru

On tabanına göre iki basamaklı iki sayının rakamlarının çarpımı 360 olduğuna göre, böyle iki sayının toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

(a) 117 (b) 136 (c) 140 (d) 146 (e) Hiçbiri

Çözüm

10. Soru

Bir eşkenar üçgenin kenarları, köseleri üçgenin çevrel çemberi üzerinde bulunan, tabanı ise bu çemberin bir çapı olan bir yamuğun üç kenarına paraleldir. Üçgenin alanının yamuğun alanına oranı kaçtır?

(a) 1 (b) $\dfrac{\sqrt3+1}{3}$ (c) $\dfrac{4-\sqrt3}{2}$ (d) $3-\sqrt3$ (e) Hiçbiri

Çözüm

11. Soru

$y^4 + 9x^2 - 4y^2 - 30x+ 29 = 0$ eşitliğini sağlayan $x$ ve $y$ gerçel sayıları için $19y^2 + 99x toplamı kaçtır?

(a) 199 (b) 200 (c) 201 (d) 203 (e) 207

Çözüm

12. Soru

$\{1,\ 2,\ \ldots,\ 20\}$ kümesinin, elemanlarının çarpımı 4 ile bölünen üç elemanlı kaç altkümesi vardır?

(a) 120 (b) 455 (c) 780 (d) 795 (e) 870

Çözüm

13. Soru

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 6,\ |BC| = 8,\ |AC| = 10$ dur. Bu üçgenin içine birbirlerine teğet olacak şekilde, birisi $[AB]$ ve $[AC]$; diğeri de $[BC]$ ve $[AC]$ kenarlarına teğet iki es çember çizilmiştir. Çemberlerin çapı kaçtır?

(a) $2\sqrt3$ (b) $\dfrac{20}{7}$ (c) $\dfrac{12}{5}$ (d) 3 (e) Hiçbiri

Çözüm

14. Soru

$3^{3a}+3^{4b}+3^{5c} = 3^{7d}$ eşitliğini sağlayan $a,\ b,\ c,\ d$ pozitif tam sayıları için $a+b+c+d$ toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

(a) 278 (b) 287 (c) 782 (d) 872 (e) Hiçbiri

Çözüm

15. Soru

$1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 5,\ 5,\ 5,\ldots$ dizisinin ilk 100 teriminin toplamı kaçtır?

(a) 755 (b) 845 (c) 927 (d) 945 (e) Hiçbiri

Çözüm

16. Soru

$ABC$ dik üçgeninde $s(\angle B)= 90^\circ,\ |BC| = 28,\ |AC| = 100$ ve $D$ noktası da $[AB]$ üzerinde olmak üzere $[BD] = 21$ ise, $\sin(\angle ACD)$ kaçtır?

(a) $\dfrac34$ (b) $\dfrac{2\sqrt3}{5}$ (c) $\dfrac35$ (d) $\dfrac{2\sqrt2}{3}$ (e) $\dfrac14$

Çözüm

17. Soru

On kişiden oluşan bir grupta, herkes, kendi dışındaki dokuz kişinin yaslarını toplar. Bu toplamların oluşturduğu küme $\{89,\ 90,\ 91,\ 92,\ 93,\ 94,\ 95,\ 96,\ 97\}$ dir. Bu grupta aynı yaşta olan iki kişi kaç yaşındadır?

(a) 7 (b) 10 (c) 11 (d) 13 (e) 14

Çözüm

18. Soru

$S$, 15 pozitif tam sayıdan oluşan bir küme olsun. $S$ nin bos olmayan herhangi farklı iki altkümesindeki sayıların çarpımının da farklı olması için, $S$ deki sayılardan en büyük olanı en az kaç olmalıdır?

(a) 30 (b) 31 (c) 45 (d) 47 (e) Hiçbiri

Çözüm

19. Soru

$ABC$ üçgeninde, $A$ noktasından $[BD$ ve $[CE$ iç açıortaylarına indirilen dikme ayakları sırasıyla $E$ ve $G$ dir. $30s(\angle A) = 35s(\angle B) = 42s(\angle C)$ ise, $s(\angle CGF)$ kaç derecedir?

(a) 20 (b) 25 (c) 30 (d) 35 (e) 45

Çözüm

20. Soru

$a_0 = 1999,\ a_1 = 2000$ ve her $n \geq 0$ tam sayısı için $a_{n+2} =\dfrac{1+a_{n+1}}{a_n}$ ise $a_{2001}$ kaçtır?

(a) $\dfrac{998}{3}$ (b) 1999 (c) 2000 (d) 2001 (e) Hiçbiri

Çözüm

21. Soru

$a_0,\ a_1,\ldots,a_n,\ldots$ pozitif tam sayılar dizisinde $a_0$ asal olmayıp, diğer terimlerin her biri bir önceki terimin pozitif bölenlerinin sayısına eşittir. Bu dizinin hiçbir teriminin tam kare olmamasını sağlayan kaç tane $a_0$ vardır?

(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) Sonsuz sayıda (e) Hiçbiri

Çözüm