Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama - 2006/Sorular
[math][/math]
İçindekiler
- 1 1. Soru
- 2 2. Soru
- 3 3. Soru
- 4 4. Soru
- 5 5. Soru
- 6 6. Soru
- 7 7. Soru
- 8 8. Soru
- 9 9. Soru
- 10 10. Soru
- 11 11. Soru
- 12 12. Soru
- 13 13. Soru
- 14 14. Soru
- 15 15. Soru
- 16 16. Soru
- 17 17. Soru
- 18 18. Soru
- 19 19. Soru
- 20 20. Soru
- 21 21. Soru
- 22 22. Soru
- 23 23. Soru
- 24 24. Soru
- 25 25. Soru
- 26 26. Soru
- 27 27. Soru
- 28 28. Soru
- 29 29. Soru
- 30 30. Soru
- 31 31. Soru
- 32 32. Soru
- 33 33. Soru
- 34 34. Soru
- 35 35. Soru
- 36 36. Soru
1. Soru
1. Bir $ABC$ eşkenar üçgeninde $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarının orta noktaları sırasıyla $D$ ve $E$; $[DE$ ışınının çevrel çemberi kestiği nokta da $F$ olmak üzere, $\dfrac{DE}{DF}$ nedir?
a) $\dfrac12$ b) $\dfrac{\sqrt3}{3} c) $\dfrac23 (\sqrt3-1)$ d) $\dfrac23$ e) $\dfrac{\dfrac5-1}{2}$
2. Soru
2. $p$ ve $p^2 +2$ asal sayılarsa, $p^3 + 3$ sayısının en çok kaç asal böleni olabilir?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
3. Soru
3. $a_n = -1$,\ a_2 = 2$ ve $n \geq 3$ için, $a_n = \dfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}} ise, $a_{2005}$ kaçtır?
a) -2 b) -1 c) $-\dfrac12 d) $\dfrac12$ e)2
4. Soru
4. Kenar uzunlukları 1 olan 27 tane küpten her birinde, iki karşılıklı yüz birer nokta, başka iki karşılıklı yüz ikişer nokta, geri kalan iki karşılıklı yüz de üçer nokta ile işaretleniyor. Bu 27 küp ile $3 \times 3 \times 3$ boyutlarında bir küp oluşturursak, bu küpün yüzleri üstünde işaretlenmiş toplam nokta sayısı en az kaç olabilir?
a) 54 b) 60 c) 72 d) 90 e) 96
5. Soru
5. Bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üstünde $|AB| + |BD| = |AC|$ ve $m(BAD) = m(DAC) = 30^\circ$ olacak biçimde bir $D$ noktası bulunuyorsa, $m(ACB)$ nedir?
a) $30^\circ$ b) $40^\circ$ c) $45^\circ$ d) $48^\circ$ e) $50^\circ$
6. Soru
6. $3 + 3^2 + 3^{2^2} + 3^{2^3} +\ldots + 3^{2^{2006}}$ toplamı, 11 moduna göre aşağıdakilerden hangisine denktir?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 5 e) 10
7. Soru
7. $[\![\dfrac{m}{11}]\!]=[\![\dfrac{m}{10}]\!] eşitliğini sağlayan kaç pozitif tam sayı vardır?
a) 44 b) 48 c) 52 d) 54 e) 56
8. Soru
8. $d_1$ ve $d_2$ bir düzlem üzerinde birbirine paralel iki farklı doğru olmak üzere, $d_1$ üstünde 11 siyah nokta, $d_2$ üstünde de 16 beyaz nokta işaretleniyor. Siyah ve beyaz noktaları birleştiren doğru parçalarının, $d_1$ ve $d_2$ doğruları arasındaki şeridin iç bölgesinde bulunan kesişim noktalarının sayısı en çok kaçtır?
a) 5600 b) 5650 e) 6500 d) 6560 e) 6600
9. Soru
9. Kenar uzunlukları $|AB| = 6,\ |BC| = 7$ ve $|AC| = 8$ olan bir $ABC$ üçgeninin $A$ köşesine ait iç açıortay $BC$ yi $D$ noktasında kesiyor. $E$ noktası $[AC]$ üstünde olmak üzere $|CE| = 2$ ise, $|DE|$ kaçtır?
a) 4 b) $\dfrac{17}{5} c) $\dfrac72$ d) $2\sqrt3$ e) $3\sqrt2$
10. Soru
10. $5^n$ nin $\dfrac{2006!}{(1003!)^2}$ sayısını bölmesini sağlayan en büyük $n$ tam sayısı kaçtır?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 500
11. Soru
11. $4x^4 - 3x^2 + 7x - 3 = 0$ denkleminin farklı gerçel köklerinin toplamı kaçtır?
a) -1 b) -2 c) -3 d) -4 e) Hiçbiri
12. Soru
12. $\{1,\ 2,\ \ldots,\ 2006\}$ kümesi, boş olmayan ve hiçbiri ardışık herhangi iki sayı içermeyen üç kümeye kaç değişik biçimde ayrılabilir?
a) $3^{2006} - 3 \cdot 2006 + 1$ b) $2^{2005} - 2 c) $3^{2004} d) $3^{2005} - 1$ e) Hiçbiri
13. Soru
13. $|AB|=|AC|$ olan ikizkenar bir $ABC$ üçgeninin $AB$ kenarı üstünde alınan bir $D$ noktasından $BC$ ye çizilen paralel $AC$ yi $E$ noktasında kesiyor. $m(A) = 20^\circ,\ |DE| = 1, $|BC| = a$ 4ve $|BE|= a + 1$ ise, $|AB|$ aşağıdakilerden hangisidir?
a) $2a$ b) $a^2-a$ c) $a^2+1$ d) $(a+1)^2 e) $a^2+a$
14. Soru
14. $A\,B \in \{1,\ 2,\ \ldots,\ 9\}$ olmak üzere, on tabanındaki yazılımı $AABB$ şeklinde olan sayılardan kaç tanesi tam karedir?
a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 e) Hiçbiri
15. Soru
15. $x^2-5x-4\sqrt{x} + 13 = 0$ denkleminin kaç farklı gerçel kökü vardır?
a)0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
16. Soru
16. $x_1 + x_2 +\ldots + x_{13} \leq 2006$ eşitsizliğini sağlayan kaç $(x_1,\ x_2,\ldots,\ x_{13})$ pozitif tam sayı on üçlüsü vardır?
a) $\dfrac{2006!}{13! 1993!}$ b) $\dfrac{2006!}{14! 1992!}$ c) $\dfrac{1993!}{12! 1981!}$ d) $\dfrac{1993!}{13! 1980!}$ e) Hiçbiri
17. Soru
17. Bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üstünde $|BD| = 2,\ |DC|= 6$ olacak şekilde bir D noktası bulunmaktadır. $|AB| = 4$ ve $m(ACB) = 20^\circ$ olduğuna göre, $m(BAD)$ nedir?
a) $10^\circ$ b) $18^\circ$ c) $20^\circ$ d) $22^\circ$ e) $25^\circ$
18. Soru
18. $S = \{n : n3^n + (2n+ 1)5^n \equiv 0 \pmod 7\}$ ise, her $n \in S$ için, $n+ k \in S$ olmasını sağlayan en küçük pozitif $k tam sayısı nedir?
a)6 b) 7 c) 14 d) 21 e) 42
19. Soru
19. $x^4 + y^4 + z^4 + 1 = 4xyz$ eşitliğini sağlayan kaç $(x,\ y,\ z)$ gerçel sayı üçlüsü vardır?
a) 0 b) 4 c) 6 d) 10 e) Sonsuz çoklukta
20. Soru
20. Bir kareyi $k$ tane kareye ayırabiliyorsak, $k$ tam sayısına iyi sayı diyelim. 2006 dan büyük olmayan kaç iyi sayı Vardır?
a) 1003 b) 1026 c) 2000 d) 2003 e) 2004
21. Soru
21. Bir $ABC$ üçgeninde $m(A)= 70^\circ$ dir. İçteğet çemberinin merkezi $I$ olmak üzere, $|BC| = |AC| + |AI|$ olduğuna göre, $m(B)$ nedir?
a) $35^\circ$ b) $36^\circ$ c) $42^\circ$ d) $45^\circ$ e) Hiçbiri
22. Soru
22. $0 \leq x < 165,\ 0 \leq y < 165$ ve $y^2 \equiv x^3+x \pmod {165} koşullarını sağlayan kaç $(x,\ y)$ tam sayı ikilisi vardır?
a) 80 b) 99 c) 120 d) 315 e) Hiçbiri
23. Soru
23. $\displaystyle \left(1+\dfrac{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt4}{+sqrt2+\sqrt3+\sqrt6+\sqrt8+4}\right)^{10}$ sayısını aşmayan en büyük tam sayı kaçtır?
a) 2 b) 10 c) 21 d) 32 e) 36
24. Soru
24. $n$ takımın katıldığı bir hentbol turnuvasında, her takım, kendi dışındaki her takımla tam olarak bir maç yapıyor. Her maçta kazanan 2, kaybeden 0 puan alırken, beraberlik durumunda iki takım da 1 er puan kazanıyor. Turnuvanın bitiminde tüm takımların puanları farklı olup, sonuncu olan takım ilk üç sırada yer alan takımların hepsini yenmiş ise, $n$ en az kaç olabilir?
a) 8 b) 9 C) 10 d) 12 e) Hiçbiri
25. Soru
25. Kenar uzunlukları $|AB| = 7,\ |BC| = 6$ ve $|AC| = 5$ olan bir $ABC$ üçgeninde $[BC]$ nin orta noktası $E$ dir. $A$ köşesinden çizilen iç açıortaya $E$ den inilen dikmenin $AB$ yi kestiği nokta $D$ ise, $|AD|$ nedir?
a) 5 b) 6 c) $\dfrac92$ d) $3\sqrt2$ e) Hiçbiri
26. Soru
26. Kaç $p$ asal sayısı için, $m^3 + 3m - 2 \equiv 0 \pmod {p}$ ve $m^2 + 4m + 5 \equiv 0 pmod {p} koşullarını sağlayan bir $m$ tam sayısı bulunur?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Sonsuz çoklukta
27. Soru
27. $x,\ y,\ z$ pozitif gerçel sayıları $xy + yz + zx= 5$ koşulunu sağlıyorsa, $x^2 + y^2 + z^2 - xyz$ ifadesi aşağıdaki değerlerden hangisini alamaz?
a) 3 b) 4 c) 5 d) $3\sqrt3$ e) Hiçbiri
28. Soru
28. 10 şekeri olan Ali, her gün en az bir şeker yiyorsa, şekerlerinin tümünü günlere dağılımı itibariyle kaç değişik biçimde yiyebilir?
a) 64 b) 126 c) 243 d) 512 e) 1025
29. Soru
29. Bir $ABC$ üçgeninde içteğet çemberinin merkezi $I$; $[BC]$ ye değen dış teğet çemberinin merkezi $J$ olmak üzere, $m(B) = 45^\circ,\ m(A) = 120^\circ$ ve $|IJ| = \sqrt3$ ise, $|BC|$ kaçtır?
a) $\dfrac32$ b) $\dfrac{\sqrt3}{2}$ c) $\dfrac34$ d) $\dfrac{\sqrt6}{2}$ e) $\sqrt3-1$
30. Soru
30. $0\leq x <13,\ 0\leq y<13,\ 0\leq z<13$ olmak üzere $x-yz^2\equiv 1 \pmod{13}$ $xz+y\equiv 4 \pmod{13}$ denklik sistemini sağlayan kaç $(x,\ y,\ z)$ tam sayı üçlüsü vardır?
a) 10 b) 23 c) 36 d) 49 e) Hiçbiri
31. Soru
31. $a,\ b,\ c$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere, $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ polinomu $P(1) \geq 2$ ve $P(3) \leq 31$ koşullarını sağlıyorsa, $P(4)$ ün alabileceği kaç tam sayı değeri vardır?
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) Hiçbiri
32. Soru
32. “$\{1,\ 2,\ldots,\ 9\}$ kümesinin 5 elemanlı hangi 6 altkümesini alırsak alalım, bunlardan en az bir ortak elemana sahip $k$ tanesi bulunur” önermesinin doğru olmasını sağlayan en büyük $k$ tam sayısı nedir?
a) 1 b) 2 C) 3 d) 4 e) 5
33. Soru
33. Bir dışbükey $ABCD$ dörtgeninde $m(ABD)=40^\circ,\ m(DBC)= 70^\circ,\ m(BDA) = 80^\circ$ ve $m(BDC) = 50^\circ$ ise, $m(CAD)$ nedir?
a) $25^\circ$ b) $30\circ$ c) $35\circ$ d) $38\circ$ e) $40\circ$
34. Soru
34. 1000 den küçük olan ve 2 veya daha fazla ardışık pozitif tam sayının toplamı olarak yazılamayan kaç pozitif tam sayı vardır?
a) 6 b) 10 c) 26 d) 68 e) 72
35. Soru
35. $a,\ b,\ c$ gerçel sayılar olmak üzere, $P(x) = ax^2 + bx + c$ polinomunun farklı gerçel köklerinin sayısı 1, $P(P(P(x)))$ polinomunun farklı gerçel köklerinin sayısı da 3 ise, $abc$ ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
a) $-3$ b) $-2$ c) $2\sqrt3$ d) $3\sqrt3$ e) Hiçbiri
36. Soru
36. $n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere, $n$ sorudan oluşan bir sınavda, her soru en az bir öğrenci tarafından doğru yanıtlanıyor. Ayrıca hem her öğrenci çift sayıda soruyu doğru yanıtlıyor, hem de herhangi iki öğrenci için, her ikisinin de doğru yanıtladığı ortak soru sayısının çift olduğu gözleniyor. $n$ nin alamayacağı değerlerin sayısı nedir?
a) 3 b) 4 c) 5 d) Sonsuz çoklukta e) Hiçbiri