Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama - 2004/Sorular

[math][/math]

1. Soru

1. Köşeleri, yarıçapı 1 olan çemberin üstünde yer alan düzgün bir $n$-genin çevre uzunlugunun alanına oranı $\dfrac{4\sqrt3}{3}$ ise, n kaçtır?

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8

2. Soru

2. $2x + 5y = xy - 1$ eşitliğini sağlayan kaç $(x,\ y)$ tam sayı ikilisi vardır?

a) 1 b) 3 c) 4 d) 6 e) 12

3. Soru

3. Elemanlarının hepsi 102 den küçük olan ve herhangi iki elemanının toplamını içermeyen bir pozitif tam sayı kümesinin en çok kaç elemanı olabilir?

a) 49 b) 50 c) 51 d) 54 e) 62

4. Soru

4. $\{a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5\} = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}$ ise, $a_1+2a_2+3a_3+4a_4+5a_5$ toplamının alabileceği en büyük değerle en küçük değer arasındaki fark nedir?

a) 20 b) 15 c) 10 d) 5 e) 0

5. Soru

5. Kenar uzunlukları $a,\ b,\ c$ olan bir üçgende $a \leq 2 \leq b \leq 3$ ise, bu üçgenin alanı en çok kaç olabilir?

a) 3 b) 4 C) 5 d) 6 e) Hiçbiri

6. Soru

6. $n$ nin aşağıdaki değerlerinden hangisi için $a^2 + ab - 6b^2 = n$ eşitliğini sağlayan $a,\ b$ tam sayıları bulunur?

a) 17 b) 19 c) 29 d) 31 e) 37

7. Soru

7. Farklı ağırlıktaki dört taş, iki kefeli bir teraziyi en az kaç kez kullanarak hafiften ağıra doğru sıralanabilir?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

8. Soru

8. $x+y+z = 90$ eşitliğini sağlayan kaç $(x,\ y,\ z)$ pozitif tam sayı üçlüsü için $\dfrac{x}{n}=\dfrac{y}{n+1}=\dfrac{z}{n+2}$ koşulunu sağlayan bir $n$ pozitif tam sayısı vardır?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 9

9. Soru

9. Çevresinin uzunluğu 77 olan bir üçgenin dış bölgesinde kalan ve üçgene olan uzaklığı 1 i aşmayan noktaların oluşturduğu bölgenin alanı nedir?

a) $4\pi$ b) $3\pi$ c) $\dfrac{5\pi}{3}$ d) $2\pi$ e) $\dfrac{3\pi}{2}$

10. Soru

10. $a_1=\sqrt7$ ve $i\geq 1$ için $b_i = [\![a_i]\!]$, $a_{i+1} = \dfrac{1}{b_i-[\![b_i]\!]}$ olsun. $b_n$ nin 4 e bölünmesini sağlayan 2004 ten büyük en küçük $n$ tam sayısı nedir?

a) 2005 b) 2006 e) 2007 d) 2008 e) Hiçbiri

11. Soru

11. 40 satır ve 7 sütundan oluşan bir satranç tahtasının her birim karesine 0 ve 1 sayılarından birini yazıyoruz. Bu yazım sonucu, farklı herhangi iki satırda oluşan diziler birbirinden farklıysa, en çok kaç tane 1 kullanılmış olabilir?

a) 198 b) 128 e) 82 d) 40 e) Hiçbiri

12. Soru

12. $x$ bir gerçel sayı olmak üzere $(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)$ çarpımının alabileceği en küçük değer nedir?

a) $-\dfrac14$ b) $-\dfrac13$ C) $-\dfrac12$ d) $-1$ e) $-2$

13. Soru

13. Bir üçğenin iç açılarının tanjantları tam sayılarsa, bu sayıların toplamı kaçtır?

a) 4 b) 5 C) 6 d) 9 e) Hiçbiri

14. Soru

14. $i,\ o,\ p,\ t,\ y \in \{0,\ 1,\ 2,\ \ldots,\ 9\}$ olmak üzere, $top^2 = iyitop$ ise, $y -i$ kaçtır?

a) 1 b) 2 C) 3 d) 5 e) Hiçbiri

15. Soru

15. Dört 0, beş 1, ve bir 2 kullanarak on basamaklı kaç farklı tam sayı yazılabilir?

a) 1260 b) 1134 c) 756 d) 630 e) Hiçbiri

16. Soru

16. $x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 4x + 1 = 0$ denkleminin gerçel köklerinin toplamı nedir?

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

17. Soru

17. Kenar uzunluğu 6 olan bir $ABCD$ karesinin $[BC]$ ve $[CD]$ kenarları üzerinde, $|CR| + |RT| + |TC| = 12$ olacak biçimde sırasıyla R ve Tnoktaları alınıyor. $\tan (RAT)$ nedir?

a) $2\sqrt3 b) $\sqrt3$ c) $\dfrac13$ d) $\dfrac12$ e) 1

18. Soru

18. Asal çarpanlarına ayrıldığında tüm asal çarpanlarının kuvvetleri tek sayı olan pozitif tam sayıların oluşturduğu küme, en çok kaç ardışık tam sayı içerir?

a) 3 b) 7 C) 8 d) 10 e) 15

19. Soru

19. 1 ile başlayıp her adımda elimizdeki sayıya 1 ekleyerek veya çarpmaya göre tersinin negatifini alarak, sonlu sayıda adımda aşağıdakilerden hangisini elde edemeyiz?

a) -2 b) $\dfrac12$ c) $\dfrac53$ d) 7 e) Hiçbiri

20. Soru

20. Tüm x gerçel sayıları için $x^2 \geq C[\![x]\!](x-[\![x]\!]) eşitsizliğinin doğru olmasını sağlayan en büyük C gerçel sayısı nedir?

a) 0 b) 1 c) 4 d) 9 e) 25

21. Soru

21. $S_1$ ve $S_2$ çemberleri $A$ ve $B$ noktalarında kesişiyor. $B$ den geçen bir doğru $S_1$ i $B$ dışında $D$ noktasında ve $S_2$ yi ise yine $B$ dışında $C$ noktasında kesiyor. $D$ den $S_1$ e çizilen teğet ile $C$ den $S_2$ ye çizilen teğetin kesişim noktası $E$ ve $|AD| = 15,\ |AC| = 16,\ |AB| = 10$ ise, $|AE|$ kaçtır?

a) 20 b) 24 c) 25 d) 26 e) 31

22. Soru

22. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin 25 e bölünmesini sağlayan bir $x$ tam sayısı bulunur?

a) $x^3-3x^2+8x-1$ b) $x^3+3x^2-2x+1$ C) $x^3+14x^2+3x-8$ d) $x^3-5x^2+x+1$ e)Hiçbiri

23. Soru

23. Sonsuz bir satranç tahtasında 25 kare nasıl seçilirse seçilsin ortak köşesi olmayan $n$ tanesi bulunabiliyorsa, $n$ en çok kaç olabilir?

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

24. Soru

24. $x^3 - 2x^2 - x + 1 = 0$ denkleminin gerçel köklerinin küplerinin toplamı nedir?

a) -6 b) 2 c) 8 d) 11 e) Hiçbiri

25. Soru

25. Bir $ABC$ üçgeninde, $A$ açısına ait iç açıortayın ayağı $D$ olmak üzere, $[AC]$ kenarı üzerindeki $E$ noktası, $|CE| = |CD|$ ve $|AE| = 6\sqrt5$; $[AB$ ışını üzerindeki $F$ noktası da, $|DB| = |BF|$ ve $|AB| < |AF| = 8\sqrt5$ koşullarını sağlıyorsa, $|AD|$ nedir?

a) $10\sqrt5$ b) 8 c) $4\sqrt5$ d) $7\sqrt5$ e) Hiçbiri

26. Soru

26. $2005^{2003^{2004}+3}$ sayısı 3 tabanına göre yazıldıgında son iki basamak ne olur?

a) 21 b) 01 c) 11 d) 02 e) 22

27. Soru

27. İkisinde 1, sekizinde 2, on ikisinde 3, dördünde 4 ve beşinde 5 yazılı otuz bir taştan otuzu herhangi iki satırdaki sayıların toplamı eşit ve herhangi iki sütundaki sayıların toplamı eşit olacak biçimde $5 \times 6$ bir satranç tahtasına yerleştirilmişse, kullanılmayan taştaki sayı nedir?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

28. Soru

28. $x,\ y$ gerçel sayıları $4x^2 +9y^2 = 8^ eşitliğini sağlıyorsa, $8x^2 +9xy+ 18y^2 + 2x + 3y$ ifadesinin alabileceği en büyük değer nedir?

a) 23 b) 26 c) 29 d) 31 e) 35

29. Soru

29. $ABCD$ kirişler dörtgeninin $AC$ ve $BD$ köşegenleri $M$ noktasında kesişiyor. $|AB| = 5,\ |CD| = 3,\ m(AMB) = 60^\circ$ ise, dörtgenin çevrel çemberinin yarı çapının uzunluğu nedir?

a) $5\sqrt3 b) $\dfrac{7\sqrt3}{3}$ c) 6 d) 4 e) $\sqrt{34}$

30. Soru

30. $p^2 + 23$ sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç $p$ asal sayısı bulunur?

a) 0 b) 1 C) 2 d) 3 e) Hiçbiri

31. Soru

31. $n$ tam sayısının kaç farklı değeri için, düzlemde her biri kendi dışındakilerin tam olarak 2004 ü ile kesişen farklı $n$ doğru bulunabilir?

a) 12 b) 11 C) 9 d) 6 e) 1

32. Soru

32. $a,\ b,\ c,\ d$ farklı gerçel sayılar olmak üzere, $a$ ve $b$, $x^2 - 2cx - 5d = 0$ denkleminin, $c$ ve $d$ ise, $x^2 - 2ax - 5b = 0$ denkleminin kökleriyse, $a+b+c+d$ nedir?

a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30

33. Soru

33. $|AB| = 9,\ |CD| = 5$ ve $BC\|AD$ koşullarını sağlayan $ABCD$ yamuğunun $D$ açısına ait iç açıortay, $A$ ve $C4 açılarının iç açıortaylarını sırasıyla $M$ ve $N$ noktalarında; $B$ açısının iç açıortayı ise, yine $A$ ve $C$ açılarının iç açıortaylarını sırasıyla $L$ ve $K$ noktalarında kesiyor. $K$ noktası $[AD]$ üzerinde ve $\dfrac{|LM|}{|KN|}=\dfrac37$ ise, $\dfrac{|MN|}{|KL|}$ nedir?

a) $\dfrac{62}{63}$ b) $\dfrac{27}{35}$ c) $\dfrac23$ d) $\dfrac{5}{21}$ e) $\dfrac{24}{63}$

34. Soru

34. $n$ nin tüm pozitif tam sayı değerleri için $5n^{11} - 2n^5 - 3n$ sayısını bölen kaç tane pozitif tam sayı vardır?

a) 2 b) 5 c) 6 d) 12 e) 18

35. Soru

35. Bir çember üzerine, her biri saat yönünde kendisinden sonra gelen iki sayının farkının mutlak değerine eşit ve hepsinin toplamı 94 olacak biçimde $n$ tane tam sayı yerleştirilmesini olanaklı kılan en büyük $n$ sayısı nedir?

a) 188 b) 186 c) 141 d) 100 e) 47

36. Soru

36. $f$ fonksiyonu, her $x \neq 1$ gerçel sayısı için, $f(x) + f(\dfrac{1}{\sqrt[3]{1-x^3}} =x^3 eşitliğini sağlıyorsa, $f (-1)$ nedir?

a) -1 b) $\dfrac14$ c) $\dfrac12$ d) $\dfrac74$ e) Hiçbiri