Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama - 2017/Sorular

[math][/math]

1. Soru

1. 6054 basamaklı $A = \underbrace{1111\ldots1}_{2017} \underbrace{222\ldots2}_{2018} 5 \underbrace{000\ldots0}_{2018}$ sayısı veriliyor. $\sqrt{A}$ sayısının rakamları toplamı kaçtır?

A) 6056 B) 6055 C) 6054 D) 6045 E) 6040

2. Soru

2. 1059 doğal sayısının pozitif bölenlerinin kaç tanesi 9, 25, 49 doğal sayılarından en az ikisine tam bölünür?

A) 512 B) 726 C) 846 D) 896 E) 1308

3. Soru

3. $ABCD$ dikdörtgeninin $AB$ kenarı $x$-ekseni üzerindedir. Dikdörtgenin $C$ ve $D$ noktaları sırasıyla $x - 2 y = - 4$ ve $x + 3y = 6$ doğruları üzerindedir ve $C$ noktası koordinat düzleminin I. bölgesindedir. $Çevre(ABCD)=16$ ise $Alan(ABCD)=$?

A) 12 B) 14 C) 15 D) $ \dfrac{31}{2}$ E) 16

4. Soru

4 \left. \begin{align} xy+3zw=1\\

       xz-yw=2 

\end{align} \right\} sistemini gerçekleyen tüm $(x, y, z, w)$ tam sayı dörtlülerinin sayısı kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

5. Soru

5. $xyz$ rakamlari farkli üç basamaklı bir tek sayıdır. Kenar uzunlukları $x,\ y,\ z$ olan bir üçgen çizilebildiğine göre üç basamaklı tüm $xyz$ sayılarının sayisi kaçtır?

A) 84 B) 90 C) 100 D) 104 E) 123

6. Soru

6. Üç farkli rakamdan oluşan beş basamaklı kaç farkli şifre oluşturulabilir? (şifre sıfır ile de başlayabilir)

A) 6000 B) 18000 C) 24600 D) 28800 E) 36000

7. Soru

7. Tabani $BC=a$ olan $ABC$ ikizkenar üçgeninde, $D$ ve $E$ sırasıyla $BC$ ve $AC$ kenarlarının orta noktalarıdır. $|AD| = |DE|$ ise $Alan(ABC)=?$

A) $ \dfrac{a^2\sqrt3}{6}$ B) $ \dfrac{a^2\sqrt3}{8}$ C) $ \dfrac{a^2\sqrt3}{9}$ D) $ \dfrac{a^2\sqrt3}{12}$ E) $ \dfrac{a^2}{4}$

8. Soru

8. $x,\ y,\ z,\ w$ negatif olmayan tam sayılardır. $$x^2+y^2+z^2+w^2 =28$ denklemini gerçekleyen tüm $(x,\ y,\ z,\ w)$ dörtlülerinin sayisi kaçtır?

A)6 B)7 C)8 D) 10 E) 12

9. Soru

9. $a$ ve $b$ sıfırdan farklı tamsayılardir. $(a^2 —b)(a —b^2 ) = (a +b)^3$ denklemini gerçekleyen kaç farkli $(a,\ b)$ ikilisi vardır?

A) 3 B) 4 C) 6 D) 7 E) 8

10. Soru

10. 25 adet özdeş bilye, 25 adet özdeş kalem, 25 adet özdeş silgi ve 25 adet özdeş defter 2 kişi arasında ve her birinde 50 adet olacak şekilde kaç farklı biçimde paylaştirilir?

A) 11726 B) 11701 C) 11676 D) 11600 E) 11566

11. Soru

11. Tepe açisi $A$ olan $ABC$ ikizkenar üçgeninde $BC,\ AC,\ AB$ kenarlari üzerindeki açı ortay ayaklari sirasiyla $P,\ R,\ S$ olsun. $P,\ R,\ A,\ S$ noktalarından bir çember geçmektedir. $|BC| = 2$ ise $|AB| =$ ?

A) $ \dfrac{\sqrt{17}-1}{2}$ B) $ \dfrac{\sqrt{17}-2}{2}$ C) $ \dfrac{3}{2}$ D) $ \dfrac{5}{4}$ E) $ \dfrac{\sqrt{17}+1}{4}$

12. Soru

12. $f(2) = 1$ ve $\forall n = 1,\ 2,\ 3,\ 4 \ldots$ için $f(2n) = 2f(n),\ f(2n +1) = 2f(n) +1$ ise $f(121) =$ ?

A) 83 B) 85 C) 87 D) 89 E) 95

13. Soru

13. 1333555557777777999999999\underbrace{11\ldots11}_{11\text{ tane }11}\underbrace{13\ldots13}_{13\text{ tane }13} biçiminde devam eden sayinin soldan 2017 nci rakamı kaçtır?

A) 1 B) 3 C) 6 D) 7 E) 8

14. Soru

14. $A =\left\{f(x_l,\ x_2,\ x_3,\ldots,\ x_{2017}) : k = 1,\ 2,\ 3,\ldots,\ 2017$\text{ için }$x_k \in \{0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\}\right\}$ kümesinin elemanlarinin kaç tanesinde tek sayida 5 rakamı vardır?

A) $ \dfrac{10^{2016}+8^{2017}}{2}$ B) $ \dfrac{10^{2016}-8^{2016}}{2}$ 8 C) $ \dfrac{10^{2017}-8^{2017}}{2}$

D) $10\cdot 9^{2017}$ E) $9^{2018}$

15. Soru

15. $O$ merkezli, çapı $|AB| = 12$ olan bir çember veriliyor. $A$ ve $B$ noktalarında bu çembere dıştan teğet $r =2$ yarıçaplı iki çember çiziliyor. $A$ ve $B$ noktalarından geçen $AB$ doğrusu üzerinde $|KO| = |LO | = 12$ olacak şekilde birbirinden farklı $K$ ve $L noktalari aliniyor. $K$ noktasindan $L$ noktasina çemberlerin içinden geçmeyen en kısa mesafe kaçtır?

A) $4n\pi+8\sqrt3$ B) $4\pi+10\sqrt3$ C) $3\pi+10\sqrt3 D) $\pi+14\sqrt3$ E) $2\pi+12\sqrt3$

16. Soru

16. $ \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{9} $ Ş denklemini saglayan kaç farkli $(x, y)$ pozıtif tam sayı ikiililri vardir?

A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) 7

17. Soru

17. Dört basamaklı bir sayının birler basamağı silindiğinde tam kare olan üç basamaklı bir sayı elde edilmektedir, ayrıca bu sayının binler basamağı silindiğinde de tam kare olan üç basamaklı bir sayı elde edilmektedir. Bu özelliklere sahip dört basamaklı kaç farkli doğal sayı vardır?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

18. Soru

18. Rakamları toplamı 25 olan 6 basamaklı sayilarin kaç tanesinin birler, onlar ve yüzler basamağındaki rakamlar 5 ’ten küçük iken diğer basamaklardaki rakamlari en az 5 olmaktadır?

A) 1506 B) 1680 C) 1920 D) 2766 E) 3003

19. Soru

19. $s(A) = 60^\circ$ olan $ABC$ üçgeninin $|AB| < |AC|$ dir. $BD$ ve $CE$ açı ortay olacak şekilde $AC$ ve $AB$ kenarlari üzerinde sirasiyla $D$ ve $E$noktalari aliniyor. $BD$ ve $CE$ kenarlarının kesişimi $F$ ise $ $|\dfrac{|DF|}{|EF|} = ?

A) $ \dfrac{3}{2} B)$ z\dfrac{\sqrt3}{2}$ C) 1 D) $\sqrt2$ E) \sqrt3$

20. Soru

20. $x+ \dfrac{1}{x} =1$ ise $x^{2017} +x^{3017} - x^{4017} =$?

A) $- 2 B) $-1$ C) 0 D) 1 E) 2

21. Soru

21. $A=1\cdot 2017+3\cdot 2015+5\cdot 2013+\ldots+2013\cdot 5+2015\cdot 3+2017\cdot1$ olmak üzere $A + 1009 \cdot 2019$ toplaminin farkli asal bölenlerinin toplami kaçtır?

A) 1454 B) 1457 C) 1468 D) 1505 E) 1508

22. Soru

22. Bir torbada 1’den 10’a kadar numaralanmış aynı büyüklükte 10 top vardir. Ali torbadan rastgele bir top çekip, numarasının $x$ olduğunu söylüyor ve torbaya geri atiyor. Sonra Ayşe torbadan rastgele bir top çekiyor ve numarasının $y$ olduğunu söylüyor ($y,\ x$ de olabilir). Bu durumda $6 < |3x — 2y| < 18$ eşitsizliğinin gerçekleşmesi olasılığı kaçtır?

A) $ \dfrac{9}{20}$ B) $ \dfrac{47}{100}$ C) $ \dfrac{11}{20}$ D) $ \dfrac{61}{100}$ E) $\dfrac{18}{25}$

23. Soru

23. $|AB| = 8,\ |BC| = 6$ olan $ABCD$ dikdörtgeni veriliyor. $ACD$ üçgeninin $O$ merkezli iç teğet çemberi çiziliyor. $O$ merkezli çemberine ve $AB,\ AC$ doğrularina teğet olan çemberin yarıçapı kaçtır?

A) $ \dfrac{3}{2}$ B) $ \dfrac{5}{4}$ C) $ \dfrac{4}{3}$ D) $\sqrt3$ E) $ \dfrac{\sqrt5}{2}$

24. Soru

24. \left. \begin{align*} x^2+y^2- \dfrac{2xy}{x-y}=1\\ \sqrt{x-y}=x^2-y^2 \end{align*} \right\} sistemini gerçekleyen $(x,\ y)$ gerçel sayi ikilileri içinde $x.y$ çarpımının maksimum değeri kaçtır?

A) 0 B) 6 C) 18 D) 42 E) 48

25. Soru

25. Ali evdeki geri alinmis saate göre 07:42 de evden ayrilip, sabit bir hızla bisikletiyle okula vardığında okuldaki saatin 08:22 olduğunu görüyor. Okulun saati ile saat 15:00 te okuldan eve doğru bisikletiyle geliş hızının 3 katı ile geri dönüyor ve evdeki saatin 14:56 olduğunu görüyor. Buna göre evdeki saat kaç dakika geri alınmıştır?

A) 17 B) 16 C) 15 D) 14 E) 13

26. Soru

26. Özdeş olan 7 kurşun kalem ve birbirinden farklı 5 tükenmez kalem, her kutuda aynı sayıda kalem olacak biçimde 6 farkli kutuya kaç farklı şekilde dağıtılır?

A) 5980 B) 6120 C) 6300 D) 6520 E) 6680

27. Soru

27. $ABCD$ paralelkenarinin iç bölgesinde $s(AEB) + S(DEC) = 180^\circ$ olacak şekilde bir $E$ noktasi aliniyor. $S(DAE) = 50^\circ$ ise $S(DCE) =$ ?

A) 30 B) 40 C) 45 D) 50 E) 60

28. Soru

28. $f$ gerçel (reel) sayılarda tanımlı bir fonksiyon olsun. $f(xy—x—y+1)=f(xy)+f(x)—f(y)+6x—3$ ve f\left(\dfrac{1}{3}\right) =1$ ise $f(33) =$ ?

A) $-81$ B) $-85$ C) $-87$ D) $-97$ E) $-99$

29. Soru

29. $n$, 2’den büyük pozitif bir tam sayı olmak üzere, $n$’ den $n^2$ ’ye kadar olan sayilarin toplami $A$ olsun. Buna göre $ \dfrac{A}{n} =$ ?

A) $n^3+n$ B) $ \dfrac{n^3+1}{2}$ C) $ \dfrac{n^3+n^2}{2}n D) $ \dfrac{n^2+2}{3}$ E) $ $\dfrac{n^3-n^2+n+1}{2}$

30. Soru

30. Her $k = 1,\ 2,\ 3,\ 4$ için $-4 \leq x_k \leq 6$ olsun. Bu koşul altinda $x_1+x_2 +x_3 +x_4 = 0$ denklemini gerçekleyen kaç farkli $(x_l,\ x_2,\ x_3,\ x_4)$ tam sayı dörtlüleri vardır?

A) 745 B) 824 C) 851 D) 913 E) 969

31. Soru

31. $A$ açisi dik olan $ABC$ üçgeninde $AB$ kenari üzerinde, $BCD$ ve $ADC$ üçgenlerinin iç teğet çemberlerinin yarıçapları eşit olacak şekilde bir $D$ noktasi aliniyor. $|AB|=6,\ |AC| = 8 ise $|AD|= ?

A) $\sqrt5$ B) $\sqrt6$ C) $2\sqrt2$ D) 3 E) $2\sqrt3$

32. Soru

32. $(1^2+1)1!+(2^2+1)2!+(3^2+1)3!+\ldots+(2016^2+1)2016!+(2017^2+1)2017!=$?

A) $2017\cdot2018!$ B) $2018\cdot 2018!$ C) $2017\cdot 2018!—2$ D) $2017\cdot2018!$—1 E) $2017\cdot 2017$!