Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama - 2016/Sorular

[math][/math]

1. Soru

1. Bir $ABC$ üçgeninde $BE$ ve $CD$ kenarortaylari birbirine dik ve $|BE| = 18,\ |CD| = \dfrac{27}{2}$ ise $AF$ kenarortayinin uzunluğu kaçtır?

a) $ \dfrac{43}{2}$ b) 22 c) $ \dfrac{45}{2}$ d) 23 e) 24

2. Soru

2. $$\dfrac{1}{3m} + \dfrac{1}{4n} + \dfrac{17}{12mn} = \dfrac{1}{2} $$ denklemini sağlayan $m,\ n$ pozitif tam sayıları için $m+n$ ifadesinin alabileceği farkli değerlerin toplami kaçtır?

a) 15 b) 17 c) 19 d) 21 e) 23

3. Soru

3. Bir kutuda renkleri kırmızı, beyaz, mavi ve yeşil olan toplam $n$ top bulunuyor. Kirmizi toplarin sayısı $ \dfrac{n}{3} + 20$, beyaz toplarin sayısı $ \dfrac{n}{5} + 15$, mavi topların sayısı $ \dfrac{n}{7} + 5$ tir. Yeşil top sayısı mavi top sayısından daha az ise, kutudaki kırmızı top sayısı beyaz top sayısından ne kadar fazladır?

a) 19 b) 33 c) 47 d) 61 e) 75

4. Soru

4. Başlangıçta $1,\ 2,\ \ldots,\ 2016$ şeker içeren 2016 öbek vardır. Her işlemde bir öbek seçiliyor ve seçilmiş Öbekten daha az şeker içermeyen her Öbekten (seçilmiş Öbek dahil) seçilmiş Öbekteki kadar şeker alinip yeniyor. Birkaç işlem sonucunda tek bir Öbek kaldıysa son öbekteki şeker sayısı $1,\ 2,\ \ldots,\ 21$ sayılarından kaçına eşit olabilir?

a) 1 b) 4 c) 6 d) 10 e) 21

5. Soru

5. $|AB| = 3,\ |BC| = 4,\ |CA| = 5$ koşullarını sağlayan bir $ABC$ üçgeninde $BC$ kenarının orta noktası $D$ dir. $C$ köşesinden geçen iç açıortayin $AB$ kenarini kestiği nokta $E$ olmak üzere $AD$ ve $EC$ doğruları $F$ noktasında kesişiyor. Buna göre $AEF$ üçgeninin alaninin $CDF$ üçgeninin alanina orani nedir?

a) $ \dfrac{4}{5}$ b) $\dfrac{27}{28}$ c) $\dfrac{35}{32} d) $\dfrac{4}{3}$ e) $\dfrac{25}{18}$

6. Soru

6. 30 dan küçük asal sayılar kümesi $P = \{p_1,\ p_2,\ \ldots ,\ p_{10}\}$ olmak üzere bir $p in P$ için en küçük asal böleni $p$ olan 100 den küçük pozitif tam sayıların sayısı $s_p$ ile gösteriliyor. Buna göre $s_{p_1} + s_{p_2} +\ldots + s_{p_{10}} kaçtır?

a) 67 b) 72 c) 75 d) 79 e) 83

7. Soru

7. Ardışık 3 pozitif tam sayinin toplami olarak yazılabilen ilk 21 sayinin toplamı kaçtır?

a) 708 b) 720 c) 744 d) 756 e) 762

8. Soru

8. $100 \times 100$ satranç tahtasının her birim karesi bir renge, her birim kare kendisiyle ortak kenar paylaşan en az 2 birim kareyle aynı renkte olacak şekilde boyanıyor. Tahtadaki farklı renk sayısı en fazla kaç olabilir?

a) 2264 b) 2450 c) 2500 d) 2724 e) Hiçbiri

9. Soru

9. Bir $ABCD$ dikdörtgeninin $AB$ kenari üzerinde $E \in [AF]$ olacak biçimde birbirinden farklı $E$ ve $F$ noktalari, $CD$ kenari üzerinde $G \in [CH]$ olacak biçimde birbirinden farklı $G$ ve $H$ noktaları $E,\ F,\ G,\ H$ çemberdeş olacak şekilde seçiliyor. $|AE| = 2,\ |DH| = 3,\ |CH| = 7$ ise $|EF| + |CG|$ kaçtır?

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

10. Soru

10. 3 asal sayinin kareleri toplami olarak yazılabilen ve 1 eksiği tam kare olan kaç asal sayı vardır?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Sonsuz çoklukta

11. Soru

11. $x^2 + (x + 1)^2 + x^2(x + 1)^2 = (x^2 + x — 1)^2$ denklemini sağlayan $x$ gerçel sayılarının toplami kaçtır?

a) $-2$ b) $-1$ c) 0 d) 1 e) Hiçbiri

12. Soru

12. 18 Özdeş top $1,\ 2,\ \ldots,\ 19$ sayılarıyla numaralanmış 19 kutuya tek numarali kutularda tek, çift numaralı kutularda çift top bulunması koşuluyla kaç farklı biçimde dağıtılabilir?

a) 7239 b) 7315 c) 7448 d) 7505 e) 7600

13. Soru

13. Eş merkezli iki çemberin arasında kalan bölgenin alani $36\pi$ dir. Büyük çemberin bir $AB$ kirişi küçük çembere teğettir. $A$ ve $B$ noktalarında büyük çembere çizilen teğetler $C$ de kesişiyor. $|CA| = 10$ ise $ABC$ üçgeninin alanı nedir?

a) 28 b) 36 c) 40 d) 44 e) 48

14. Soru

14. $a + b + c + d + e = 0$ koşulunu sağlayan $a,\ b,\ c,\ d,\ e$ tam sayıları için $a^5 + b^5 + c^5 + d^5 + e^5$ ifadesi $15,\ 18,\ 21,\ 30,\ 35$ sayılarından kaç1na her zaman tam bölünür?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

15. Soru

15. $a$ bir pozitif gerçel sayi olmak üzere $21a + 2$ ve $24a + 9$ sayilari ardışık iki pozitif tam sayının kareleriyse $a$ n1n alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin farki kaçtır?

a) 1 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8

16. Soru

16. Bir tahtada başlangıçta 1 sayısı yazmaktadır. Ali her hamlede tahtada yazılı olan sayı $n$ olmak üzere bu sayıyı silip yerine $2n — 1$ veya $n+ 2$ yazıyor. Buna göre 7 hamle sonunda tahtada yazılı olan sayı 41, 67, 81, 97, 131 sayılarından kaç tanesine eşit olabilir?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

17. Soru

17. Kenar uzunluğu 1 olan bir $ABCD$ karesinde $AB$ ve $AD$ kenarlarının orta noktalari sirasiyla $E$ ve $F$ dir. $CE$ ve $CF$ doğruları $A$ merkezli ve $B$ den geçen çemberi karenin iç bölgesinde sirasiyla $K$ ve $L$ noktalarında kesiyor. Buna göre $|KL|$ uzunluğu nedir?

a) $ \dfrac{1}{4}$ b) $\dfrac{\sqrt2}{5}$ c) $ \dfrac{2\sqrt2}{9}$ d) $ \dfrac{\sqrt2}{4}$ e) Hiçbiri

18. Soru

18. $n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere herhangi ikisinin en büyük ortak bölenleri 2 ye eşit ve hepsinin en küçük ortak katları 2016 dan küçük olacak şekilde birbirinden farklı $a_1,\ a_2,\ \ldots,\ a_n$ pozitif tam sayıları bulunabiliyorsa $n$ en çok kaç olabilir?

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) Hiçbiri

19. Soru

19. Tüm $a,\ b,\ c$ gerçel sayıları için $a^2 + 2b^2 + 3c^2 \geq kc(a + b)$ eşitsizliğinin doğru olması sağlayan en büyük $k$ gerçel sayısı kaçtır?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) Hiçbiri

20. Soru

20. $1,\ 2,\ \ldots,\ n$ sayilari farkları 8 veya 14 olan sayilar aynı renkte Olacak biçimde en az üç farklı renge boyanmişsa, $n$ en fazla kaç olabilir?

a) 17 b) 19 C) 22 d) 25 e) Hiçbiri

21. Soru

21. $|AB| = 2$ ve $|AD| 2\sqrt2$ koşullarını sağlayan bir ABCD dikdörtgeninde $AD$ kenarının orta noktasi $M$ olmak üzere $BM$ ile $AC$ doğruları $K$ de kesişiyor. Buna göre $A,\ B ,\ K$ noktalarından geçen çemberin yarıçapı kaçtır?

a) $\sqrt2$ b) 1 c) $ \dfrac{\sqrt2}{2}$ d) $ \dfrac{1}{2}$ e) $ \dfrac{1}{3}$

22. Soru

22. $2016^2$ sayısını bölüp 2016 yı bölmeyen 2016 dan küçük kaç pozitif tam sayı vardır?

a) 35 b) 47 C) 63 d) 82 e) Hiçbiri

23. Soru

23. $x$ ve $y$ gerçel sayılar olmak üzere $2x^2 - 2xy + 5y^2 - 6y$ ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

a) $-5$ b) $-4$ c) $-3$ d) $-2$ e) $-1$

24. Soru

24. Uzunlukları $1,\ 2,\ \ldots,\ 20$ olan 20 çubuk $n$ torbaya, herhangi torbadaki çubuklardan üçgen yapılamayacak şekilde dağıtılabiliyorsa, $n$ en az kaç olabilir?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

25. Soru

25. Bir $ABCD$ karesinde $AB$ kenarının orta noktasi $E$ ve $A$ noktasindan $DE$ doğrusuna inilen dikmenin ayağı $F$ olmak üzere $|DF | = 4$ ise $|CF|$ kaçtır?

a) $ \dfrac{\sqrt5}{5}$ b) $ \dfrac{\sqrt5}{3}$ e) $ \dfrac{2\sqrt5}{3} $ d) $\sqrt5$ e) $2\sqrt5$

26. Soru

26. $1 \leq n \leq 100$ koşulunu sağlayan her $n$ tam sayısı için tahtaya $m^2+n$ ifadesinin 101 ile tam bölünmesini sağlayan en küçük $m$ pozitif tam say1s1, böyle bir $m$ yoksa $-1$ yazılıyor. Buna göre tahtaya yazılan sayilarin toplami kaçtır?

a) 1225 b) 2025 c) 2500 d) 5050 e) Hiçbiri

27. Soru

27. $\begin{align*} a^2+b^2+a^2b^2&=2\\ ab(a + b — 1) = 1 \end{align*}$ denkleni s1sten11n1 saglayan $a,\ b$ gerçel sayıları 1ç1n $ \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}$ ifadesı aşağıdakilerden hangisine eşit olabilir?

a) $ \dfrac{1}{4} b) $ \dfrac{1}{3} c) $ \dfrac{1}{2}$ d) $\dfrac{2}{3}$ e) 1

28. Soru

28. Bir çember etrafında her birinde birer bilye bulunan $n$ tane kütü bulunuyor. Her hamlede bir tane boş olmayan kütü seçiliyor ve bu kutudan bir bilye alınıp bü kutunun bir sağındaki veya bir solundaki kutuya aktarılıyor. Kaç $n \in \{6,\ 8,\ 14,\ 18,\21\}$ için çift sayıda hamle sonucunda tüm bilyeleri aynı kutuya toplayabiliriz?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

29. Soru

29. Kenarortaylarinin kesişim noktasi $G$ olan ve $|CA|^2 + |AB|^2 = 2|BC|^2$ koşulunu sağlayan bir $ABC$ üçgeninde $s(CAG)=15^\circ$ ise $s(BCG)$ aşağıdakilerden hangisi olabilir?

a) $15^\circ$ b) $30^\circ$ c) $45\circ$ d) $60\circ$ e) $75^\circ$

30. Soru

30. $a$ ve $b$ aralarında asal pozitif tam sayılar olmak üzere $(a + b,\ a - b),\ $(a + b,\ a^2 - ab + b^2),\ (a^2b + ab^2,\ a^3 + ab + b^3),\ (a + b, a^2 + 3ab + b^2),\ (a^2 + b^2, a^2 - b^2 + 7ab)$ ikililerinden kaç1 her zaman aralarinda asaldir?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

31. Soru

31. $(x^2 + y^2 — 25)(x + y) + 10xy = 0$ eşitliğini sağlayan $x,\ y$ gerçel sayilari için $x + y$ ifadesinin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

a) 2 b) 4 c) 6 d) 10 e) 12

32. Soru

32. $1,\ 2,\ \ldots,\ n$ sayıları işaretlenmiş olan bir sayı doğrusunda başlangıçta 1 sayısı üzerinde bir taş bulunuyor. Aslı ve Berk sirayla hamle yaparak bir oyun oynuyorlar. Sırası gelen oyuncu bir pozitif tam sayı seçiyor ve taşı seçtiği sayı kadar sağa veya sola kaydırarak bir başka işaretlenmiş noktanın üzerine yerleştiriyor. Her pozitif tam sayı en fazla bir kez seçilebiliyor ve hamle yapaniayan oyuncu oyunu kaybediyor. Oyun $n= 5,\ 500,\ 1000,\ 1024,\ 2016$ için birer kez oynanirsa, Asli bü oyunlarin kaç1n1 kazanmayi garantileyebilir?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5