Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama - 2006/Sorular
İçindekiler
BİRİNCİ BÖLÜM
[math][/math]
1. Soru
1. $\dfrac{15}{39}<\dfrac{6}{n}<\dfrac{7}{13}$ koşulunu sağlayan kaç $n$ pozitif tam sayısı vardır?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
2. Soru
2. Kendisinden ondalık yazılımındaki basamaklarının toplamını çıkardığımızda basamaklarının çarpımını elde ettiğimiz kaç pozitif tam sayı vardır?
a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13
3. Soru
3. Bir eşkenar $ABC$ üçgeninin $[AB]$ kenarı üstünde $E$ ve $[BC]$ kenarı üstünde $F$ noktası $|BE| = |FC|$ olacak biçimde alınıyor. $[EF]$ nin $BK$ orta noktası $K$ ise, $\dfrac{|BK|}{|AF|}$ nedir?
a) $\dfrac23$ b) $\dfrac35$ c) $\dfrac13$ d) $\dfrac25$ e) Hiçbiri
4. Soru
4. Kenar uzunlukları 1 olan 8 tane küpten her birinde, iki karşılıklı yüz birer nokta, başka iki karşılıklı yüz ikişer nokta, geri kalan iki karşılıklı yüz de üçer nokta ile işaretleniyor. Bu 8 küp ile +2 \times 2 \times 2$ boyutlarında bir küp oluşturursak, bu küpün yüzleri üstünde işaretlenmiş toplam nokta sayısı en az kaç olabilir?
a) 24 b) 32 c) 36 d) 40 e) 48
5. Soru
5. Her harf sıfırdan farklı bir rakamı göstermek üzere, $AAA + BBB +CCC = ABBC$ ise, $A + B + C$ kaçtır?
a) 14 b) 16 c) 18 d) 23 e) 24
6. Soru
6. Bir $ABC$ üçgeninde $[AC]$ nin orta noktası $D$ olmak üzere, $[BC]$ kenarı üstünde $s(BEA) = s(CED)$ olacak biçimde bir $E$ noktası alınıyor. $\dfrac{|AE|}{|DE|}$ nedir?
a) 2 b) $\dfrac32$ c) $\dfrac52$ d) $$\dfrac43$ e) Hiçbiri
7. Soru
7. 12 kişinin katıldığı bir satranç turnuvasında, her oyuncu, kendi dışındaki her oyuncuyla tam olarak bir kez karşılaşıyor. Her karşılaşmada kazanan 1, kaybeden 0 puan alırken, beraberlik durumunda iki oyuncu da 0,5 er puan kazanıyor. Turnuvanın bitiminde en az toplam 8 puan alan oyunculara başarı ödülü veriliyor. En çok kaç oyuncu başarı Ödülü alabilir?
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
8. Soru
8. $n$ pozitif tam sayısının kaç farklı değeri için $x_l + x_2 + \ldots + x_n = 3$ ve $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \ldots + \dfrac{1}{x_n} = 3$ eşitliklerini sağlayan pozitif $x_1,\ x_2,\ \ldots,\ x_n$ gerçel sayıları bulunur?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) Sonsuz çoklukta
9. Soru
9. Bir $ABC$ üçgeninde $s(\angle A) = 34^\circ$ ve $s(\angle B) = 48^\circ$ dir. İçteğet çemberinin $AB ,\ BC$ ve $CA$ kenarlarına değme noktaları sırasıyla $C_1,\ A_1$ ve $B_1$ ise, $S(\angle B_lA_lC_l)$ nedir?
a) $68^\circ b) $72^\circ c) $73^\circ$ d) $75^\circ$ e) $82^\circ$
10. Soru
10. $2n^2 + 5nm - 12m^2 = 28$ eşitliğini sağlayan kaç $(m,\ n)$ pozitif tam sayı ikilisi vardır?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) Sonsuz çoklukta
11. Soru
11. Aşağıdaki sayılardan en küçüğü hangisidir?
a)$\sqrt{10}-2\sqrt{2}$ b) $4\sqrt{2}-2\sqrt{7}$ c) $3-\sqrt{7}$ d) $2\sqrt{10}-6$ e) $2\sqrt{3}-\sqrt{10}$
12. Soru
12. Bir $ABC$ dik üçgeninin $[AC]$ hipotenüsü üstünde, $s(\angle DBC) = 33^\circ,\ |AC| = 2|BD|$ ve $|AC| > 2|CD|$ olacak şekilde bir $D$ noktası varsa, $s(\angle C)$ nedir?
a) $47^\circ$ b) $49^\circ$ c) $57^\circ$ d) $61^\circ$ e) $67^\circ$
13. Soru
13. Bir tam sayıya, ondalık yazılımındaki rakamlar ters sırada yazıldığında yine aynı sayı elde ediliyorsa, tersi-düzü-bir sayı diyoruz. 1000 ile 9999 arasında tersi-düzü-bir olmayan ardışık tam sayılardan oluşan bir dizinin en çok kaç terimi olabilir?
a) 11 b) 66 c) 109 d) 199 e) 202
14. Soru
14. $p, q$ asal sayılar olmak üzere, $p(p^2 + 3q^2 — 1) = q(q^2 + 3p^2 + 1)$ eşitliğini sağlayan kaç $(p, q)$ ikilisi vardır?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) Sonsuz çoklukta
15. Soru
15. Bir $ABC$ üçgeninde $|AC| = 8,\ |CB| = 3$ ve $s(\angle C) = 120^\circ$ dir. $\angle ACB$ açısının açıortayı $AB$ kenarını $D$ noktasında kestiğine göre, $|CD|$ kaçtır?
a) $\dfrac{\sqrt3+\sqrt8}{2}$ b) $\dfrac{11}{4}$ c) $\dfrac{4\sqrt3}{2}$ d) $\dfrac{4\sqrt2}{3}$ e) $\dfrac{24}{11}$
16. Soru
16. $x^2 — ax + 21 = 0$ denkleminin köklerinden birinin pozitif bir tam sayı olmasını sağlayan en küçük $a$ gerçel sayısı için $a — q$ nın değeri nedir?
a) $\dfrac13$ b) $\dfrac14$ c) $\dfrac15$ d) $\dfrac17$ e) Hiçbiri
17. Soru
17. Matematik öğretmeni, tahtanın soluna 1, sağına 2 yazıyor. Birinci öğrenci bu sayıların arasına toplamları olan 3 sayısını yazıyor. İkinci öğrenciden itibaren sırası gelen her öğrenci yine tahtada ardışık yazılı tüm sayı ikilileri için, bunların arasına toplamlarını yazıyor. Yedinci öğrenci de işlemlerini bitirdikten sonra, tahtada yazılı tüm sayıların toplamı kaç olur?
a) 3192 b) 3216 c) 3282 d) 3312 e) 3366
18. Soru
18. Bir çemberin bir $[AC]$ kirişi ile çembere $C$ noktasında çizilen teğete paralel bir $[BD]$ kirişi $E$ noktasında kesişiyor. $|AB| = 3|BE|$ ve $Alan(ADC) = 18$ ise, $Alan(CDE)$ nedir?
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) Hiçbiri
19. Soru
19. Akıntının hızının sabit olduğu bir nehirde akıntıya kapılmış giden bir sal üstünde bulunan delikanlı, sal tam bir köprünün altından geçerken, nehre atlayıp akıntıya karşı sabit bir hızla yüzmeye başlar. Sal, akıntıyla birlikte hareket etmeye devam eder. Delikanlı, üç dakika yüzdükten sonra, olimpiyat matematik defterini salda unuttuğunu hatırlayıp geri döner. Delikanlı saldan atladığı köprünün 100 metre ilerisinde salı yakalarsa, akıntının hızı nedir?
a) 1 km/saat b) 1,5 km/saat c) 2 km/saat d) 3 km/saat e) Hiçbiri
20. Soru
20. $d$ tam sayısının kaç farklı değeri için, her biri $d$ ile bölünen ve toplamları 999 olan 49 pozitif tam sayı bulunabilir?
a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8
21. Soru
21. Bir dışbükey $ABCD$ dörtgeninde $s(\angle A) = s(\angle D) = 60^\circ$ ve $|AC| = 18$ dir. $[AB]$ ve $[CD]$ kenarlarının orta dikmelerinin kesişme noktası $AD$ üstünde ise, $|BD|$ kaçtır?
a) 12 b) 16 c) $12\sqrt2$ d) 18 e) $12\sqrt3$
İKİNCİ BÖLÜM
1. Soru
1. $AD//BC$ olmak üzere bir $ABCD$ yamuğunun $A$ ve $B$ köşelerinden çizilen iç açıortaylar $[DC]$ kenarı üzerinde kesişiyor. $|BC | = 9$ ve $|AD| = 4$ ise, $|AB|$ yi bulunuz.
2. Soru
2. $x — yz = 11$ $mz + y = 13$ denklem sistemini sağlayan tüm $(x,\ y,\ z)$ tam sayı üçlülerini bulunuz.
3. Soru
3. $3 \times 3$ satranç tahtasının dokuz karesinden her birinde başlangıçta 0 yazılıdır. Her adımda, ortak bir kenara sahip iki kare seçilerek, üstlerindeki sayılardan her ikisine birden ya 1 ya da $—1$ eklenmektedir. Sonlu sayıda adını sonucunda, karelerdeki sayıların hepsini birden 2 yapmanın mümkün olmadığını gösteriniz.
