Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama - 2015/Sorular

Matematik Olimpiyatı sitesinden
Şuraya atla: kullan, ara

[math][/math]

1. Soru

1. Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = |AC|$ ve $s(A) = 80$ derecedir. Bu üçgenin $B$ açısının iç açıortayi ile $C$ açısının dış açıortayi $D$ noktasında kesişmektedirler. $s(ADC)$ kaç derecedir?

a) 50 b) 60 c) 65 d) 80 e) 100

2. Soru

2. Bir grup çocuk, içinde kırmızı ve beyaz şekerler bulunan bir torbadaki kırmızı şekerlerin $\frac{4}{11}$ ini ve beyaz şekerlerin $\frac{11}{17}$ sini yedikten sonra torbada her iki renkten eşit sayıda şeker kaldıysa, yenilen beyaz şekerlerin sayısı ile yenilen kirmizi şekerlerin sayısı arasındaki fark en az kaç olabilir?

a) 47 b) 53 c) 61 d) 75 e) 82

3. Soru

3. Bir pozitif tam sayıdan rakamlari toplami çıkarıldığında, bu sayının rakamları çarpımı elde ediliyorsa bu sayıya iyi sayı diyelim. Kaç iyi sayı vardır?

a) 1 b) 5 c) 9 d) 13 e) 20

4. Soru

4. Bir kutuda başlangıçta 10 kirmizi, 15 mavi, 20 yeşil ve 25 siyah top bulunuyor. Her hamlede 3 farkli renkli top seçilip kutudan çıkarılıyorsa, yapılabilecek hamle sayısı en fazla kaç olabilir?

&) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e) 23

5. Soru

5. Bir dışbükey çokgenin iç açılarının derece ile Ölçülmüş değerleri birbirlerinden farklı tam sayılardır. Bu çokgenin 3 tane iç açısı sırasıyla 55, 65 ve 75 derece olduğuna göre bu çokgenin en fazla kaç kenarı olabilir?

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

6. Soru

6. $A$ ve $B$ birer rakam olmak üzere, on tabanına göre yazılımı $2015AB$ olan sayı 71 ile tam bölünüyorsa, $A + B$ kaçtır?

a) 9 b) 11 c) 13 d) 15 e) 17

7. Soru

7. İki kavanozdan birinde 2, diğerinde 5 litre şekerli su bulunuyor. Her iki kavanozdan aynı anda $t$’şer litre şekerli su alınıp yer değiştiriliyor. Bu işlem sonucunda kavanozlardaki, başlangıçta farklı olan şeker oranları eşitlendiyse, $t$ kaçtır?

a) $\dfrac{10}{7}$ b) $\dfrac{9}{5}$ c) $\dfrac{3}{10}$ d) $\dfrac{3}{7}$ e) $\dfrac{13}{10}$

8. Soru

8. $1,\ 2,\ \ldots ,\ 20$ sayıları ile numaralandırılmış 20 top başlangıçta rastgele dizilmiştir. Her işlemde aralarında en az $l$ adet top bulunan iki topun yerlerini değiştirerek birkaç işlem sonucunda topları numaralarına göre artan sırada dizebiliyorsak, $l$ nin alabileceği en büyük değer nedir?

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

9. Soru

9. Köşeleri, alanı 4 olan bir $ABCD$ dışbükey dörtgeninin kenarlari üzerinde ve kenarlari da $AC$ ve $BD$ köşegenlerine paralel olan bir paralelkenarin alani en çok kaç olabilir?

a) 1 b) $\sqrt2$ c) 2 d) 2\sqrt2 e) 3

10. Soru

10. $n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $2014n^2 + 2018n + 2015$ sayısının birler basamağındaki rakamın alabileceği kaç farklı değer vardır?

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

11. Soru

11. $6^x — 3(3^x + 2^x) — 3^x + 12 = 0$ denklemini sağlayan $x$ gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

12. Soru

12. $1,\ 2,\ \ldots ,\ 100$ sayıları tahtaya, her biri 10 eleman içeren 10 gruba ayrılarak yazılmıştır. Once her grubun en küçük 2 elemanı ve daha sonra da kalan 80 sayının en küçük 10 tanesi siliniyor. Tahtada kalan 70 sayının en küçüğü en az kaç olabilir?

a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17

13. Soru

13. Bir $ABC$ üçgeninde iç açıortaylarin kesişme noktası $I$ dır. $I$ noktasından geçen ve $BC$ ye paralel olan doğru $AB$ ve $AC$ kenarlarını sırasıyla $K$ ve $L$ noktalarında kesmektedir. $|AB| = 9,\ |AC| = 15,\ |BC| = 8$ olduğuna göre $|KB|$ kaçtır?

a) $\dfrac{3}{2} $ b) $\dfrac{9}{5}$ c) 2 d) $\dfrac{9}{4}$ e) 3

14. Soru

14. Pozitif tam sayılardan oluşan bir kümede, herhangi iki elemanin 1 den büyük bir ortak böleni vardır, fakat herhangi üç elemanın 1 den büyük ortak böleni yoktur. 2015 sayısı bü kümede bulunuyorsa, bü küme en çok kaç elemanlı olabilir?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

15. Soru

15. Evden okula bisikletle giden Ali, yolun ilk yarısını $a$, ikinci yarisini da $b$ hızıyla giderek bu yolu 23 dakikada tamamlayabiliyor. Dönüşte de aynı yolu kullanan Ali, 10 dakika $a$, 10 dakika da $b$ hızıyla giderek evine varabiliyor. Buna göre, $\dfrac{a}{b}$ nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

a) $\dfrac{33}{20}$ b) $\dfrac{28}{13}$ c) $\dfrac{23}{10}$ d) $\dfrac{13}{5}$ e) $\dfrac{23}{7}$

16. Soru

16. Yan yana dizili 6 adet kartin her birinin üzerine mutlak değeri 3 ten küçük olan bir tam sayı yazılacaktır. Yazılan sayilarin çarpımı 1 den büyük olmak koşuluyla, bu işlem kaç farklı şekilde yapılabilir?

a) 1024 b) 2016 c) 3192 d) 4030 e) Hiçbiri

17. Soru

17. Köşegenleri $P$ noktasında kesişen bir $ABCD$ dışbükey dörtgeninde $|AB| = 3,\ |BC| = 13,\ |CD| = 22,\ |DA| = 18$ olduğuna göre P noktasının, bu dörtgenin kenarlarının orta noktalarina olan uzaklıkları toplami nedir?

a) 24 b) 26 C) 28 d) 30 e) 32

18. Soru

18. Kaç farkli $m$ pozitif tam sayısı için, $n^2 + 3$ ve $(n + 2)^2 + 2$ sayılarının her ikisini de $m$ nin kati yapan bir $n$ tam sayısı bulunabilir?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

19. Soru

19. Kaç farklı $c$ gerçel sayısı için $2x^2 + y^2 + 1 = cx(y + 1)$ denklemini sağlayan tam olarak bir $(x, y)$ gerçel sayı ikilisi vardır?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

20. Soru

20. Sonsuz bir satranç tahtasının 2015 adet birim karesi kırmızıya, geriye kalanlar ise beyaza boyanmıştır. Ortak kenara sahip olup farklı renklere boyanmış olan birim kare ikililerinin sayısı en az kaç olabilir?

a) 176 b) 180 c) 184 d) 188 e) 192

21. Soru

21. $O_1$ ve $O_2$ merkezli iki çember $A$ ve $B$ noktalarında kesişmektedirler. $B$ noktasından geçen bir doğru çemberleri sırasıyla $C$ ve $D$ noktalarında kesmektedir. $|CB| = |BD|,\ s(CAD) = 90^\circ$ ve $O_1$ ve $O_2$ merkezli çemberlerin yarıçapları sırasıyla 3 ve 4 olduğuna göre $|O_1O_2|$ kaçtır?

a) 3 b) $2\sqrt3$ c) $\dfrac{7}{2}$ d) 4 e) Hiçbiri

22. Soru

22. $1 + 7 + \ldots + 7^n$ sayısının 60 ile tam bölünmesini sağlayan en küçük 71 doğal sayısı kaçtır?

a) 5 b) 11 c) 17 d) 19 e) 23

23. Soru

23. $xy + yz + zx = 1$ ve $x,\ y,\ z \geq 0$ koşullarını sağlayan her $(x, y, z)$ gerçel sayı üçlüsü $$1+ \dfrac{z}{x+y} \geq K(1+z^2)$$ eşitsizliğini de sağlıyorsa, $K$ gerçel sayısının alabileceği en büyük değer nedir?

a)0 b)1 c) $\dfrac{9}{8}$ d) $\dfrac{2}{\sqrt3}$ e) Hiçbiri

24. Soru

24. Aslı her hamlede, başlangıçta beyaz renge boyalı $10 \times 10$ satranç tahtasının bir beyaz birim karesini seçip kırmızıya boyuyor ve bu kareye bu kareyle ortak kenar paylaşan beyaz birim kare sayısını yazıyor. 100 işlem sonucunda tahtadaki sayıların toplamı en az kaç olabilir?

a) 172 b) 182 c) 186 d) 190 e) Hiçbiri

25. Soru

25. Bir $ABC$ üçgeninde $|AC| = |AB| = 25$ ve $|BC| = 40$ tir. $[BC]$ nin orta noktası $D,\ B$ den $AC$ ye çizilen dikmenin ayağı ise $E$ dir. Buna göre, $D$ den geçen ve $AC$ doğrusuna $E$ de teğet olan çemberin çapı kaçtır?

a) $\dfrac{100}{3}$ b) 36 c) $\dfrac{112}{3}$ d) 38 e) Hiçbiri

26. Soru

26. $a,\ b,\ c$ tam sayılar olmak üzere, $3a^3 + 5b^3 — 7c^3$ ifadesi 8, 14, 27, 30 değerlerinden kaçına eşit olabilir?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

27. Soru

27. $a$ ve $b$ gerçel sayılar olmak üzere, $5(a^2 + b^2) - 8ab - 6a$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

a) $-7$ b) $-6$ c) $-5$ d) $-4$ e) $-3$

28. Soru

28. $1,\ 2,\ \ldots ,\ 20$ sayılarının her biri kırmızı ve mavi renklerden birine, her $k= 1,\ 2,\ \ldots ,\ a$ için farkları $k$ olan iki kırmızı ve iki mavi sayi bulunacak biçimde boyanabiliyorsa, $a$ nın alabileceği en büyük değer nedir?

a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18

29. Soru

29. Bir $w$ çemberine bü çemberin dış bölgesinde yer alan bir $A$ noktasından çizilen bir teğetin değme noktası $B$ dir. $A$ noktasından geçen bir doğru $w$ çemberini sirasiyla $C$ ve $D$ noktalarında kesiyor. $D$ den geçen ve $AB$ doğrusuna paralel olan doğru $w$ yı ikinci kez $AD$ doğrusuna göre $B$ ile farklı tarafta kalan bir $E$ noktasında kesiyor. $BC$ ile $AE$ doğruları $F$ noktasında kesişiyor. Buna göre $ \dfrac{|AC|}{|BC|}=2$ ise $\dfrac{|AF|}{|FE|}$ kaçtır?

a) 1 b) $\sqrt2 c) 2 d) $2\sqrt2$ e) 4

30. Soru

30. $k$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, her $a$ tam sayısı için $2^{n_1} +2^{n_2}+\ldots+2^{n_k} \equiv a \pmod {20}$ olacak biçimde $n_1,\ n_2\ , \ldots ,\ n_k$ negatif olmayan tam sayıları bulunabiliyorsa, $k$ nin alabileceği en küçük değer nedir?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

31. Soru

31. $x,\ y,\ z$ gerçel sayıları, $x + y + z = 1$ ve $xyz = xy + yz + zx$ koşullarını sağlıyorsa, $(x + yz)(y + zx)(z + xy)$ ifadesi 0, 1, 2, 5 sayılarından kaçma eşit olabilir?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

32. Soru

32. Başlangıçta, tahtaya 1 ve 2 sayilari yazılmıştır. Aslı ve Burak sırayla hamle yaparak bir oyun oynuyorlar ve sırası gelen oyuncu tahtadaki sayılardan istediği birinin rakamlari toplamını tahtadaki sayılardan istediği birine ekliyor. Tahtaya $N$ den büyük olan bir sayıyı ilk defa yazan oyuncu oyunu kazaniyor. Oyuna Asli başlamak üzere bu oyun, $N = 2013,\ 2014,\ 2015,\ 2016$ ve 2017 değerleri için birer kez oynanirsa, Asli kaç kez oyunu kazanmayi garantileyebilir?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5